다항식의 덧셈 뺄셈

다항식(polynomial)은 문자의 거듭제곱에 상수 배수가 곱해진 여럿의 합을 표현하는 수식을 말합니다.

하나의 변수, $x$ 에 대한 다항식의 일반 형식은 다음과 같습니다:

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

여기서 비-음의 정수 $n$ 은 차수이고, $a_{i}\;(a=n,\cdots ,0)$ 는 계수입니다. 고등학교 교과과정에서는 보통 사차 이내의 다항식을 다루지만, 특수한 몇 개의 다항식은 별도로 기억해 둘 필요가 있습니다.

다항식 사이의 덧셈, 뺄셈은 오직 동류항끼리 계산이 되어 간단히될 수 있고, 다른 항들은 정리만 가능합니다. 동류항은 모든 변수가 같고, 해당 변수의 차수 모두가 같은 단항식을 말합니다.

다항식을 정리할 때에는 차수가 높은 것에서 낮은 것으로, 즉 내림차순으로 정리 하던지, 반대인 오름차순으로 정리할 수 있습니다.

주로 내림차순을 많이 사용하는데, 여기서도 특별한 경우를 제외하고는 내림차순을 사용할 것입니다. 내림차순을 많이 사용하는 이유 중 하나는 다항 방정식에서 근의 개수가 그의 차수만큼 발생하기 때문에, 중요한 것을 앞에 두어 강조하기 위함입니다.

다항식의 덧셈

다항식은 덧셈에 대해 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립함으로써, 이를 이용해서 계산을 합니다.

또한, 괄호 안에 있는 항들은 먼저 풀어야 계산할 수 있습니다. 여러 개의 괄호가 충첩된 경우에서, 괄호를 푸는 순서는 중요하지 않지만, 계산의 실수를 줄이기 위해 가장 안쪽의 괄호를 먼저 푸는 것이 좋겠습니다.

예를 들어, $P(x)=11x^{2}-5x+1$ , $Q(x)=x^{2}+4x-7$ 일 때,

{\begin{aligned}P(x)+Q(x)&=(11x^{2}-5x+1)+(x^{2}+4x-7)\\&=11x^{2}-5x+1+x^{2}+4x-7\\&=11x^{2}+x^{2}+4x-5x+1-7\\&=(11+1)x^{2}+(4-5)x+(1-7)\\&=12x^{2}-x-6\\\end{aligned}}

덧셈과 마찬가지의 방법을 이용하지만, 분배법칙 적용시에 부호가 바뀌는 부분에 주의를 해야 합니다.

{\begin{aligned}P(x)-Q(x)&=(11x^{2}-5x+1)-(x^{2}+4x-7)\\&=11x^{2}-5x+1-x^{2}-4x+7\\&=11x^{2}-x^{2}-4x-5x+1+7\\&=(11-1)x^{2}-(4+5)x+(1+7)\\&=10x^{2}-9x+8\\\end{aligned}}