Constant (mathematics)

수학에서, 형용사 상수(constant)는 변동이-없음을 의미합니다. 명사 상수(constant)는 두 개의 다른 의미를 가질 수 있습니다. 그것은 고정되고 잘-정의된 숫자 또는 다른 수학적 대상(mathematical object)을 참조할 수 있습니다. 용어 수학적 상수(mathematical constant) (및 역시 물리적 상수(physical constant))는 때때로 이 의미를 다른 것과 구별하기 위해 사용됩니다. 상수(constant)는 상수 함수(constant function) 또는 그 값(value)을 역시 참조할 수 있습니다 (상수를 식별하기 위한 공통적인 용도입니다). 그러한 상수는 연구된 문제의 주요 변수(들)에 의존하지 않는 변수(variable)에 의해 공통적으로 표현됩니다. 이것은, 예를 들어, 주어진 함수의 모든 역도함수(antiderivative)를 얻기 위해 특정 역도함수에 더해지는 (적분 변수에 의존하지 않는) 임의의 상수 함수인 적분 상수(constant of integration)에 대한 경우입니다.

예를 들어, 일반적인 이차 함수는 다음으로 공통적으로 쓰입니다:

ax^{2}+bx+c\,,

여기서 a, b 및 c는 상수 (또는 매개변수)이며, 반면에 x는 변수, 연구되는 함수의 인수에 대한 자리표시자입니다. 이 함수를 나타내기 위해 보다 명확한 방법은 다음입니다:

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

이것은 x의 함수-인수 상태를 명백하게 만들고, 따라서 암시적으로 a, b 및 c의 상수 상태를 만듭니다. 이 예제에서, a, b 및 c는 다항식의 계수(coefficient)입니다. c는 x를 포함하지 않는 항에서 발생하하므로, 다항식의 상수 항(constant term of the polynomial)이라고 불리고, x⁰의 계수로 생각될 수 있습니다; 차수(degree) 영의 임의의 다항식 항 또는 표현은 하나의 상수입니다.^[1]^: 18

Constant function

상수는 그의 인수를 무시하고 항상 같은 값을 제공하는 상수 함수(constant function)를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. $f(x)=5$ 와 같은, 하나의 변수의 상수 함수는 x-축에 평행한, 수평 직선인 그래프를 가집니다. 그러한 함수는 항상 같은 값 (이 경우에서, 5)을 취하는데, 왜냐하면 그의 인수는 함수를 정의하는 표현에서 나타나지 않기 때문입니다.

Context-dependence

"상수(constant)"의 개념의 문맥-의존 본성은 기초 미적분학으로부터 이 예제에서 보일 수 있습니다:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}

"상수"는 어떤 변수에 의존하지 않음을 의미합니다; 그것은 변수의 변경에도 변경되지 않습니다. 위의 첫 번째 경우에서, 그것은 h에 의존하지 않음을 의미합니다; 두 번째에서, 그것은 x에 의존하지 않음을 의미합니다.

Notable mathematical constants

일부 값은 수학에서 자주 발생하고 전통적으로 특정 기호로 표시됩니다. 이들 표준 기호와 그들 값은 수학적 상수라고 불립니다. 예제는 다음을 포함합니다:

0 (영).
1 (일), 영 뒤의 자연수.
$π$ (파이), 원주와 원의 지름의 비율(ratio)을 나타내는 상수, 대략적으로 3.141592653589793238462643...^[2]
e, 대략적으로 2.718281828459045235360287...
i, i² = −1을 만족하는 허수 단위(imaginary unit).
${\sqrt {2}}$ (2의 제곱근), 단위 변(변의 길이 1)을 갖는 정사각형의 대각선의 길이, 대략적으로 1.414213562373095048801688.
φ (황금 비율(golden ratio:황금비)), 대략적으로 1.618033988749894848204586, 또는 대수적으로, $1+{\sqrt {5}} \over 2$ .

Constants in calculus

미적분학(calculus)에서, 상수는 연산에 따라 여러가지 다른 방식으로 처리됩니다. 예를 들어, 상수 함수의 도함수(derivative)는 영입니다. 이것은 도함수는 변수에 관하여 함수의 변화의 비율을 측정하기 때문이고, 상수는, 정의에 의해, 변하지 않기 때문에, 그의 도함수는 따라서 영입니다. 반대로, 상수 함수를 적분(integrating)했을 때, 상수는 적분 변수에 곱해집니다. 극한(limit)을 평가하는 동안, 상수는 평가 전과 후에서 동일하게 유지됩니다.

하나의 변수의 함수의 적분은 종종 적분의 상수(constant of integration)를 포함합니다. 이것은 미분 연산자(differential operator)의 역으로써 적분 연산자의 본성으로 인해 발생하는데, 이는 적분의 목표가 미분 전의 원래 함수를 복구하는 것임을 의미합니다. 상수 함수의 미분은 영이고, 위에서 언급한 것처럼, 미분 연산자는 선형 연산자이므로, 오직 상수 항이 다른 함수는 같은 도함수를 가집니다. 이를 인식하기 위해, 적분의 상수는 부정 적분(indefinite integral)에 더합니다; 이것은 모든 가능한 해가 포함되는 것을 보증합니다. 적분 상수는 일반적으로 'c'로 쓰이고 고정된 값을 가지지만 정의되지 않은 값을 갖는 상수를 나타냅니다.

Examples

만약 $f$ 가 모든 각 $x$ 에 대해 $f(x)=72$ 를 만족하는 상수 함수이면

f'(x)=0

\int f(x)\,dx=72x+c

References

^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed. Springer. p. 240. ISBN 978-3540665724.

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[1] Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.

[2] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed. Springer. p. 240. ISBN 978-3540665724.

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