도함수#다항함수의 도함수 에서, 다항함수의 기본이 되는
y
=
x
n
{\displaystyle y=x^{n}}
y
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle y'=nx^{n-1}}
만약 다항함수의 일반꼴,
y
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
의 도함수가 구해지기 위해서, 실수배(계수), 합(또는 차)를 처리해야 합니다.
실수배, 합, 차의 미분법 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
=
c
f
(
x
)
{\displaystyle y=cf(x)}
y
′
=
lim
h
→
0
c
f
(
x
+
h
)
−
c
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
c
{
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
}
h
=
c
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
c
f
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=\lim _{h\to 0}{\frac {cf(x+h)-cf(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {c\left\{f(x+h)-f(x)\right\}}{h}}\\&=c\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=cf'(x)\\\end{aligned}}}
두 함수
y
=
f
(
x
)
,
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=f(x),y=g(x)}
y
=
f
(
x
)
±
g
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\pm g(x)}
y
′
=
lim
h
→
0
{
f
(
x
+
h
)
±
g
(
x
+
h
)
}
−
{
f
(
x
)
±
g
(
x
)
}
h
=
lim
h
→
0
{
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
}
±
{
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
}
h
=
lim
h
→
0
{
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
}
h
±
lim
h
→
0
{
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
}
h
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{f(x+h)\pm g(x+h)\right\}-\left\{f(x)\pm g(x)\right\}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{f(x+h)-f(x)\right\}\pm \left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{f(x+h)-f(x)\right\}}{h}}\pm \lim _{h\to 0}{\frac {\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}}\\&=f'(x)\pm g'(x)\\\end{aligned}}}
따라서,
y
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
2
x
2
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}
의 도함수는
y
′
=
n
a
n
x
n
−
1
+
(
n
−
1
)
a
n
−
1
x
n
−
2
+
⋯
+
2
a
2
x
+
a
1
{\displaystyle y'=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +2a_{2}x+a_{1}}
곱의 미분법 위의 경우는 다항함수가 전개 후에, 동류항끼리 완전히 정리가 된 후에 적용할 수 있는 경우에 사용할 수 있습니다. 그러나, 곱으로 이루어진 다항함수를 전개하지 않고 미분하는 것이 도함수를 구하는 것에서 편의를 느낄 수 있습니다. 왜냐하면, 미분을 하면, 차수가 감소하기 때문에, 먼저 미분을 하고, 전개 후에, 정리하는 것이 대체적으로 더 편합니다.
두 함수
y
=
f
(
x
)
,
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=f(x),y=g(x)}
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)g(x)}
y
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
{
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
}
g
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
{
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
}
h
=
lim
h
→
0
{
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
}
h
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
+
lim
h
→
0
f
(
x
)
lim
h
→
0
{
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
}
h
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{f(x+h)-f(x)\right\}g(x+h)+f(x)\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{f(x+h)-f(x)\right\}}{h}}\lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{g(x+h)-g(x)\right\}}{h}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\end{aligned}}}
예를 들어,
y
=
(
3
x
2
−
x
)
(
2
x
+
3
)
{\displaystyle y=(3x^{2}-x)(2x+3)}
y
′
=
(
3
x
2
−
x
)
′
(
2
x
+
3
)
+
(
3
x
2
−
x
)
(
2
x
+
3
)
′
=
(
6
x
−
1
)
(
2
x
+
3
)
+
(
3
x
2
−
x
)
⋅
2
=
18
x
2
+
14
x
−
3
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=(3x^{2}-x)'(2x+3)+(3x^{2}-x)(2x+3)'\\&=(6x-1)(2x+3)+(3x^{2}-x)\cdot 2\\&=18x^{2}+14x-3\\\end{aligned}}}
한편, 세 개 이상의 미분가능한 함수의 곱해진 함수에 대해서, 예를 들어,
y
=
f
g
h
{\displaystyle y=fgh}
y
′
=
{
f
g
h
}
′
=
{
f
g
}
′
h
+
{
f
g
}
h
′
=
{
f
′
g
+
f
g
′
}
h
+
f
g
h
′
=
f
′
g
h
+
f
g
′
h
+
f
g
h
′
{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=\left\{fgh\right\}'\\&=\left\{fg\right\}'h+\left\{fg\right\}h'\\&=\left\{f'g+fg'\right\}h+fgh'\\&=f'gh+fg'h+fgh'\\\end{aligned}}}
같은 논리로 n
한편, 위에서 곱해진 함수가 같은 함수라면, 즉,
y
=
{
f
(
x
)
}
2
{\displaystyle y=\left\{f(x)\right\}^{2}}
y
′
=
2
f
(
x
)
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'=2f(x)f'(x)}
이고,
y
=
{
f
(
x
)
}
3
{\displaystyle y=\left\{f(x)\right\}^{3}}
y
′
=
3
{
f
(
x
)
}
2
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'=3\left\{f(x)\right\}^{2}f'(x)}
이므로, 이 추론을 계속해서 적용하면,
y
=
{
f
(
x
)
}
n
{\displaystyle y=\left\{f(x)\right\}^{n}}
y
′
=
n
{
f
(
x
)
}
n
−
1
f
′
(
x
)
{\displaystyle y'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}f'(x)}
극한과 미분 경우 1 극한에서 불확정 형식의 하나인 0 / 0
예를 들어,
lim
x
→
1
x
n
+
x
−
2
x
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{n}+x-2}{x-1}}}
먼저, 인수분해를 통해서 계산할 수 있습니다.
lim
x
→
1
x
n
+
x
−
2
x
−
1
=
lim
x
→
1
(
x
n
−
1
)
+
(
x
−
1
)
x
−
1
=
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
(
x
n
−
1
+
x
n
−
2
+
⋯
+
x
+
1
)
+
(
x
−
1
)
x
−
1
=
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}{\frac {x^{n}+x-2}{x-1}}&=\lim _{x\to 1}{\frac {(x^{n}-1)+(x-1)}{x-1}}\\&=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)+(x-1)}{x-1}}\\&=n+1\\\end{aligned}}}
위의 예제에서, 고등학교 교과과정에서 다루지 않는 인수분해를 해야 하기 때문에, 다른 접근법이 필요합니다. 게다가, 인수분해가 잘 되지 않을 때에는 아래의 방법을 이용할 수 있습니다.
다음으로, 미분을 통해서 해결할 수 있는데,
f
(
x
)
=
x
n
+
x
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{n}+x-2}
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)=0}
lim
x
→
1
x
n
+
x
−
2
x
−
1
=
lim
x
→
1
f
(
x
)
−
f
(
1
)
x
−
1
=
f
′
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}{\frac {x^{n}+x-2}{x-1}}&=\lim _{x\to 1}{\frac {f(x)-f(1)}{x-1}}\\&=f'(1)\\\end{aligned}}}
이때,
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
+
1
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}+1}
f
′
(
1
)
=
n
+
1
{\displaystyle f'(1)=n+1}
한편, 미분으로 다룰 때에는 위와 같이 분자 전체를 하나의 함수로 두는 것이 항상 유효 하고, 그 때에는 접근하는 지점의 함숫값이 항상 영이 나옵니다.
예제에서, 분자를 함수로 다룰 때,
g
(
x
)
=
x
n
+
x
{\displaystyle g(x)=x^{n}+x}
g
(
1
)
=
2
{\displaystyle g(1)=2}
g
′
(
1
)
{\displaystyle g'(1)}
g
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
+
1
{\displaystyle g'(x)=nx^{n-1}+1}
g
′
(
1
)
=
n
+
1
{\displaystyle g'(1)=n+1}
굳이 상수값을 포함하지 않도록 함수를 둘 필요는 없는데, 왜냐하면, 상수값은 미분하면 영이기 때문에, 함수에 포함 유무와 상관없이 미분한 결과는 같습니다.
마지막으로 0 / 0 ∞ / ∞ 로피탈의 규칙 을 사용하여 구할 수 있습니다. 물론 이 형태가 아니더라도 대수적 변환을 통해, 주어진 두 개의 형태로 만들 수 있으면, 로피탈의 규칙을 적용할 수 있습니다. 로피탈의 규칙 기사를 참조하십시오. 고등학교 교과과정에서는 다루어지지 않지만, 규칙이 간단하기 때문에, 객관식에서는 이것보다 빠른 방법이 없습니다. 이 예제보다 복잡한 경우에도 로피탈의 규칙은 항상 유효합니다.
경우 2 다항함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
lim
x
→
a
f
(
x
)
−
b
x
−
a
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-b}{x-a}}=c}
a , b , c
분모가 영으로 접근하기 때문에, 분자가 영으로 접근하지 않으면, 유한한 상수값으로 접근할 수 없습니다. 즉, 분자가 영으로 접근하지 않으면, 무조건 발산합니다. 따라서,
f
(
a
)
=
b
{\displaystyle f(a)=b}
이제 구해야할 극한값이 0 / 0 경우 1 에 해당하고, 가장 간편한 로피탈의 규칙을 이용할 수 있습니다. 즉,
f
′
(
a
)
=
c
{\displaystyle f'(a)=c}
고등학교 서술형에서, 로피탈의 규칙을 사용할 수 없기 때문에, 미분을 통해서 해결하는 방법은 알고 있어야 합니다. 응용예제 응용예제 1 두 다항함수
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),\;g(x)}
lim
x
→
0
f
(
x
)
+
g
(
x
)
x
=
3
,
lim
x
→
0
f
(
x
)
+
3
x
g
(
x
)
=
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x)+g(x)}{x}}=3,\quad \lim _{x\to 0}{\frac {f(x)+3}{xg(x)}}=2}
를 만족시킨다. 함수
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
h
′
(
0
)
{\displaystyle h'(0)}
해설: mowoum:다항함수의_미분법#응용예제1
