도함수

Main articles: Derivative, Differential of a function, and Differential (infinitesimal)

주어진 구간에서 매끄러운 함수는 그 구간 내의 모든 점에서 미분가능합니다. 따라서, 특정점 $x=a$가 아니라, 함수 $y=f(x)$ 위의 임의의 점 $(x,f(x))$에서 도함수를 정의할 수 있습니다.

한편, 함수 $y=f(x)$ 위의 특정점, 즉 $x=a$에서 도함수의 정의는 다음의 2가지가 있습니다.

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdots (1)$

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\cdots (2)$

이때, 특정점이 아니라 임의의 점이 되면, 식 (1)을 사용했을 때,

$f'(x)=\lim _{x\to x}{\frac {f(x)-f(x)}{x-x}}$

와 같이 무의미한 (또는 이상한) 식이 도출됩니다.

따라서, 식 (2)에 대입해서, 임의의 점에서의 도함수는 다음과 같이 정의합니다.

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

보통, 특별한 언급없이 도함수라고 부를 때에는 임의의 점에서의 도함수를 의미하는 것으로 봐야 하고, 다움 위키에서도 특별한 언급이 없는 한, 임의의 점에서의 도함수를 줄여서 도함수라고 이를 것입니다.

임의의 점에서의 도함수의 가치

함수 $y=f(x)$ 위의 점 $x=a$에서 접선의 기울기, 즉, 순간변화율, 즉 그 점에서의 도함수는 그 점에서 미분가능하면 항상 구할 수 있습니다.

그러나, 같은 함수 $y=f(x)$에 대해 점 $x=a,b,c,\cdots$와 같이 그 점의 위치가 바뀌면, 그 점에서의 정의에 따라 계속해서, 순간변화율을 구해야 하는 불편한 점이 있습니다.

따라서, 임의의 점 $(x,f(x))$에서의 도함수를 구한 후에, 구하려는 특정점의 좌표를 대입함으로써, 그 점에서의 도함수를 즉시 구할 수 있습니다.

이것으로부터, 자주 사용하는 함수의 미분(도함수) 공식을 만들어 둠으로써 도함수를 구하는 과정없이, 즉시 접선의 기울기, 즉, 순간변화율을 구할 수 있습니다.

다항함수의 도함수

다항함수에서 차수가 가장 낮은 것으로부터 상수함수, 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 등의 순서입니다.

도함수는 접선의 기울기를 나타내므로, 그의 그래프가 직선인 상수함수와 일차함수는 접선이 자기 자신입니다.

따라서, 상수함수는 기울기가 영이므로,

$y=c$ (c는 상수) $\Rightarrow y'=0$

일차함수는 그 자신의 기울기를 가지므로,

$y=ax+b$ (a (≠ 0)는 상수) $\Rightarrow y'=a$

당연하게도, 도함수의 정의에 대입해서 구해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

이차 이상을 포함한 다항함수에서 가장 일반적인 모양은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$y=x^{n}\;\;$ (n는 자연수)

이 함수의 도함수는, 정의에 의해,

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\left\{(x+h)-x\right\}\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\right\}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\cdots +x^{n-1}\right\}\\&=x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots +x^{n-1}\\&=nx^{n-1}\\\end{aligned}}$

여기서 분자는 Factorization#Recognizable_patterns에서의 인수분해를 이용, 또는 이항정리를 통해서 구할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

함수 $f(x)$는 $x=0$에서 연속이지만 미분가능하지 않습니다. 다음 중에서 $x=0$에서 미분가능한 함수를 모두 고르면?

(가) $y=xf(x)$

(나) $y=x^{2}f(x)$

(다) $y={\frac {1}{1+xf(x)}}$

해설: mowoum:도함수#응용예제1

응용예제2

다항함수 $f(x)$가 $xf'(2)=x^{2}(x+3)-f(x)$를 만족할 때, $f(2)f'(2)$의 값은?

해설: mowoum:도함수#응용예제2