부등식의 영역에서의 최대 최소

일차부등식에서 $x$ 변수와 $y$ 변수의 영역이 각각 주어졌을 때, 이들 사이의 사칙연산에 대해 알아보았습니다.

만약 이것을 좌표평면 위에 부등식의 영역으로 표시했을 때에는 어떻게 구할 수 있을까요?

예를 들어, $1\leq x\leq 4,2\leq y\leq 4$ 의 영역에서 $x+y$ 의 최댓값은 다음과 같이 구해집니다.

구하려면 값을 $x+y=k$ 라고 둡니다.
$y=-x+k$ 로 일차함수로 바꿉니다.
부등식의 영역을 좌표평면 위에 표시합니다.
부등식의 영역을 지나면서 $y$ 절편의 영역을 표시합니다.
y절편의 최댓값을 구합니다.

오른쪽 그림에서처럼 부등식의 영역을 지나는 직선의 $y$ 절편은 $3\leq k\leq 8$ 의 사이를 움직입니다. 그러므로 최솟값은 3, 최댓값은 8입니다.

여기서는 $x,y$ 에 대한 각각의 영역이 주어진 경우입니다.

$x,y$ 변수가 부등식으로 각각 주어지면 직사각형 모양의 부등식의 영역이 만들어집니다.

만약, 연립부등식의 영역으로 주어지면, 먼저 부등식을 만족시키는 점 $(x,y)$ 의 영역을 좌표평면 위에 표시를 해야 합니다. 그 이후에 $f(x,y)=k$ 로 두고, 이 도형이 부등식의 영역을 지날 때에 $k$ 의 값을 범위를 기하학적으로 구해내야 합니다.

자주 사용되는 $\mathbf {f(x,y)=k}$ 의 꼴은 다음과 같은 것이 있습니다.

$x+y=k$	$\Rightarrow y=-x+k$ 의 $y$ 절편
$y-x^{2}=k$	$\Rightarrow y=x^{2}+k$ 의 $y$ 절편
$x^{2}+y^{2}=k$	$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=k$ 의 반지름의 제곱
${\frac {y}{x}}=k$	$\Rightarrow y=kx$ 의 기울기

최대/최소의 활용

재료	A(x)	B(y)
P	200g	200g
Q	150g	200g

어느 공장에서 생산하는 두 제품 A, B에 대하여 A, B를 각각 1개씩 만드는 데 펼요한 원료 P, Q의 양이 오른쪽 표와 같다. 하루에 공급되는 원료 P, Q의 총량이 각각 20kg, 17kg이고 A, B 제품 1개에 대하여 각각 2500원, 3000원의 이익을 얻는다고 할 때, 이 공장에서 A, B 제품을 생산하여 하루에 얻을 수 있는 최대 이익을 구하여라.

해설) 하루에 생산되는 제품 $\mathrm {A,B}$ 의 개수를 각각 $x,y$ 로 놓으면, 하루동안 제품을 생산하는데 필요한 원료는 다음과 같이 필요합니다.

원료 P:

200x+200y

원료 Q:

150x+200y

제품은 0개 이상 만들어지고, 주어진 원료의 총량을 알고 있기 때문에, 다음의 4개의 부등식이 만들어집니다.

$x\geq 0$
$y\geq 0$
$200x+200y\leq 20000\Rightarrow x+y\leq 100\cdots (1)$
$150x+200y\leq 17000\Rightarrow 3x+4y\leq 340\cdots (2)$

오른쪽 그림의 어두운 부분이 위 4개의 부등식을 만족하는 영역입니다.

또한, 생산된 $x,y$ 개의 제품으로 얻을 수 있는 이익 $k=2500x+3000y$ 를 정리해서 일차함수를 만듭니다.

y=\displaystyle -{\frac {5}{6}}x+{\frac {k}{3000}}\quad \cdots (3)

직선 (3)이 부등식의 영역의 좌표를 대입했을 때 y절편이 가장 크게 만들어지도록 그림을 표시합니다. 이 경우에는 (1),(2)직선의 교점을 지날 때가 최댓값이 됨을 알 수 있습니다.

교점은 (1),(2)의 연립방정식으로 구해지며, M(60,40)입니다.

이를 대입하면 이익의 최댓값은 다음과 같습니다.

k=2500\times 60+3000\times 40=270000

(원)

교점에 대한 고찰

이런 유형의 문제에서 교점이 최댓값인 경우가 많아서 무심코 넘겨버리기 쉬운 것이 있습니다. 즉,

교점이 최댓값이 되는 이유는 무엇일까요?

그 이유는 이익에 대한 직선이 주어진 두 직선의 기울기의 사이에 있기 때문입니다.

-1<-{\frac {5}{6}}<-{\frac {3}{4}}

그러면 기울기가 사이에 있지 않을 때에는 언제가 최댓값이 될까요?

만약 이익에 대한 직선의 기울기가 $-2$ 인 직선(빨간색)인 경우에는 좌표 (100,0)을 대입했을 때가 최댓값이 됩니다. 기울기가 $-2$ 인 경우는 제품 A의 이익이 제품 B의 이익의 2배라는 의미입니다. A를 파는게 훨씬 이익이니 A만 만들어 판다는 얘기입니다.

반대로 제품 B의 이익이 제품 A의 이익의 2배인 경우에는 기울기가 $-{\frac {1}{2}}$ 입니다. 이때에는 직선(보라색)이 좌표 (0,85)를 지날 때, 이익이 최댓값이 됩니다.

교점이 분수인 경우

이익에 대한 직선의 기울기가 조건의 기울기의 중간을 지나가면, 교점을 대입했을 때 최댓값을 갖습니다. 그러나 교점의 좌표가 자연수가 아니면, 그 값을 대입해서 이익을 구할 수 없습니다. 왜냐하면 완제품만 판매가 가능하기 때문입니다.

이때에는 어떤 값을 대입해야 할까요?

예를 들어 교점의 좌표가 $\left({\frac {179}{3}},{\frac {277}{7}}\right)$ 로 구해지면 각각의 최대 정수값은 59, 39이 맞습니다.

그러나 (59,39)를 대입했을 때가 이익의 최댓값이 아닐 수도 있습니다. 남아 있는 A의 2/3와 B의 4/7을 갖고 제품 A나 B를 1개 더 만들 수 있는 가능성이 있기 때문입니다.

남는 원료를 계산하는 방법은 조금 귀찮기 때문에 다음과 같이 가능성을 확인합니다.

만약 A를 1개 더 만들 수 있는 경우라면, (60,39)이 됩니다. 이때에 조건으로 주어지는 부등식을 만족하는지 확인을 해야 합니다.

반면에 B를 1개 더 만들 수 있는 경우라면, (59,40)이 됩니다. 이것도 조건으로 주어지는 부등식을 만족하는지 확인을 해야 합니다.

경우는 4가지가 있습니다.

둘다 만들지 못하는 경우는 (59,39)를 대입한 것이 최댓값입니다.
A만 만들 수 있는 경우는 (60,39)를 대입한 것이 최댓값입니다.
B만 만들 수 있는 경우는 (59,40)을 대입한 것이 최댓값입니다.
둘다 만들 수 있는 경우는 (60,39)와 (59,40)을 대입해서 큰 값이 최댓값입니다.