일차부등식

일차부등식은 다항방정식 꼴로 주어진 부등식에서 최고차항이 1인 부등식을 말합니다. 실수 $a,b,x$에 대하여 다음과 같은 꼴을 가집니다.

$ax>b\;(a\neq 0)$

일차방정식에서 처럼 일차이기 때문에 $a\neq 0$이며, 실수의 대소 관계에 따라 해집합을 결정할 수 있습니다. 즉, 일차부등식의 해집합은 $a$의 부호에 따라 2가지로 결정됩니다.

${\begin{aligned}&{\text{if}}\;a>0,\;x>{\frac {b}{a}}\\&{\text{if}}\;a<0,\;x<{\frac {b}{a}}\end{aligned}}$

만약 부등식 $ax>b$에 대한 해집합을 구할 때에는 일차항의 계수가 $0$이 되는 경우를 추가해야 합니다.

${\text{if}}\;a>0,\;x>{\frac {b}{a}}$

${\text{if}}\;a<0,\;x<{\frac {b}{a}}$

${\text{if}}\;a=0,\;\left\{{\begin{aligned}b\geq 0&\;{\text{no solution}}\\b<0&\;{\text{all real numbers}}\end{aligned}}\right.$

여기서 일차부등식의 등호의 존재 유무에 따라 해 없음과 해는 모든 실수의 등호의 위치가 바뀌는 점은 기억해 두시기 바랍니다.

사칙연산

변수의 영역이 주어진 경우에 이에 대한 사칙연산은 다음과 같이 이루어집니다.

즉, $0<a<x<b,\;0<c<y<d$일 때, $x+y,x-y,xy,{\frac {x}{y}}$의 값의 범위는 다음과 같습니다.

${\begin{aligned}&a+c<x+y<b+d\\&a-d<x-y<b-c\\&ac<xy<bd\\&\displaystyle {\frac {a}{d}}<{\frac {x}{y}}<{\frac {b}{c}}\end{aligned}}$

이런 것을 혹시 공식화해서 암기하고 있나요? 복잡하지 않은 것을 공식화하는 것은 좋은 방법이 아닙니다. 만약 조건이 바뀌게 되면(음수를 포함하는 경우) 또 공식을 만드나요?

자 그럼 어떻게 해결해 두어야 할까요? 생각보다 간단합니다.

• 두 개를 합하는 경우에는 가장 큰 것 2개를 합했을 때가 가장 커지고, 가장 작은 것 2개를 더했을 때 가장 작아집니다.
• 뺄 때에는 가장 큰 것에서 가장 작은 것을 빼면 가장 큰 값이 나옵니다. 반대로 가장 작은 것에서 가장 큰 것을 빼면 가장 작은 숫자가 나옵니다.
• 곱셈일 때에는 가장 큰 수 2개를 곱했을 때 가장 커지고, 가장 작은 수 2개를 곱했을 때 가장 작아집니다. 음수가 포함되면 달라집니다.
• 나눗셈일 때에는 분자가 가장 크고 분모가 가장 작을 때 가장 큰 값이 만들어집니다. 반대로 분자가 가장 작고 분모가 가장 크면 가장 작은 숫자가 됩니다. 분모에 0이 오는 경우는 영역이 구해지지 않습니다.

음수를 포함하는 경우

덧셈, 뺄셈은 음수가 포함되더라도 위에서 소개된 방법을 그대로 적용하면 됩니다.

곱셈일 때에는 부호를 고려해야 하기 때문에 조금 달라집니다. 부호가 양수가 되는 각각의 경우의 값을 구해서 비교를 합니다. 음수의 경우에도 같은 방법을 이용합니다.

예를 들어 다음 영역을 구해보겠습니다.

$-5<x<3,-3<y<4$

이 경우에 양수를 만들 수 있는 경우는 양수$\times$양수와 음수$\times$음수가 있습니다. 양수$\times$양수의 최댓값은 $12$이고, 음수$\times$음수의 최댓값은 $15$입니다. 그러므로 최댓값은 $15$입니다.

반대로 음수를 만드는 경우는 양수$\times$음수와 음수$\times$양수가 있습니다. 양수$\times$음수의 최솟값은 $-9$이고, 음수$\times$양수의 최솟값은 $-20$입니다. 그러므로 최솟값은 $-20$입니다.

$-20<xy<15$

나눗셈은 분모가 0이 되는 경우는 있을 수 없으므로 분모는 하나의 부호만 갖습니다.

분자가 부호가 1개인 경우에는 나눗셈의 결과가 1개의 부호만 가지게 됩니다.

예를 들어 다음의 경우에 ${\frac {x}{y}}$의 영역을 구해보겠습니다.

$3<x<9,-3<y<-1$

결과는 음수의 값만 갖기 때문에 절댓값이 가장 큰 값이 최솟값이 됩니다. 절댓값을 계산할 때에는 부호를 무시하기 때문에 위에서 소개한 방법을 이용합니다. 즉 $9/(-1)$이 최솟값입니다. 최댓값은 절댓값이 가장 작아지는 경우이며, $3/(-3)$입니다.

∴ $-9<{\frac {x}{y}}<-1$

분자가 2개의 부호를 갖는 경우에는 조금 다릅니다.

예를 들어 다음의 경우에 ${\frac {x}{y}}$의 영역을 구해보겠습니다.

$-3<x<9,-3<y<-1$

최댓값은 양수일 때, 발생하므로 분자가 음수여야 합니다. 또한 절댓값이 가장 큰 경우이기 때문에, $(-3)/(-1)$입니다.

반면에 최솟값은 음수인 경우이므로, 분자가 양수여야 합니다. 또한 절댓값이 가장 큰 경우이기 때문에, $9/(-1)$입니다.

∴ $-9<{\frac {x}{y}}<3$

등호에 대한 이야기

See also: 함수의 극한

주어지는 영역의 양쪽에 전부 등호가 있으면 새롭게 만들어지는 영역에도 등호를 전부 가집니다. 또한, 전부 등호가 없으면, 새롭게 만들어지는 영역에도 등호가 없습니다.

그러나, 한쪽에만 등호가 있을 때에는 생각을 해봐야 합니다. 예를 들어 다음의 경우을 보겠습니다.

$1\leq x<3,2<y\leq 5$

등호가 있는 것과 없는 것을 구별하기 위해서 등호가 없는 3보다 작다는 $3-0$으로 두고 계산하면 해결이 됩니다.

예를 들어 덧셈에 최댓값은 $3-0+5=8-0$이므로 8보다 작다가 되어 등호가 없습니다.

반대로 최솟값은 2보다 크다는 $2+0$으로 두면, $2+0+1=3+0$이 되므로 3보다 크다가 되어 마찬가지로 등호가 없습니다.

뺄셈에 해당하는 $y-x$를 생각해 보겠습니다. 최댓값은 $5-(3-0)=2+0$이므로 등호가 없습니다. 최솟값은 $2+0-(3-0)=-1+0$이므로 등호가 없습니다.

다른 뺄셈 $x-y$를 생각해 보겠습니다. 최댓값은 $3-0-(2+0)=1-0$이므로 등호가 없습니다. 최솟값은 $1-5=-4$이므로 등호가 있습니다.