사차방정식

사차 방정식이란, 최고차항의 차수가 4인 다항 방정식을 말합니다. $x$ 에 관한 사차 방정식의 일반적인 모양은

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0

와 같습니다. 여기서 계수 $a,b,c,d,e$ 는 실수만을 다루게 됩니다.

일반해가 존재하지만 고등학교 교과과정에서는 사용하지 않고, 인수분해 공식을 이용하거나 인수정리를 통해서 인수분해를 한 후에 해를 구합니다.

복이차방정식

인수분해에서 소개한 복이차식 꼴의 방정식을 다룹니다. 해를 구하는 방법은 복이차식에서의 인수분해 방법을 그대로 이용합니다.

치환을 이용하는 경우

인수분해에서 소개한 공통인수가 있는 경우에 치환을 해서 차수를 줄인 후에 인수분해를 합니다.

예를 들어, $\left(x^{2}+2x\right)^{2}-3\left(x^{2}+2x\right)=0$ 의 방정식은 다음과 같이 풉니다.

해설) $x^{2}+2x=t$ 로 치환하면 다음과 같이 풀 수 있습니다.

{\begin{aligned}&t^{2}-3t=0\\&t(t-3)=0\\&\therefore t=0\;{\text{or}}\;t=3\\\end{aligned}}

그러나 원래 풀어야 할 것은 $x$ 에 대한 방정식이므로 역치환을 해서 다시 한번 풀어줍니다.

{\begin{aligned}&x^{2}+2x=0\;{\text{or}}\;x^{2}+2x=3\\&x(x+2)=0\;{\text{or}}\;(x-1)(x+3)=0\\&\therefore \;x=0\;{\text{or}}\;x=-2\;{\text{or}}\;x=1\;{\text{or}}\;x=-3\\\end{aligned}}

자기-상반 방정식

상반 방정식은, 만약 차수의 순서대로 정리된 두 방정식이 그의 계수에서 반대의 순서로 정리되면, 서로 상반 방정식이라고 부릅니다.

한편, 하나의 방정식에서 계수가 대칭적인 형태를 띄면, 자기-스스로 대칭적인 구조를 띄었기 때문에, 자기-상반 방정식(Self-reciprocal equations or Self-reflected equations)이라고 부릅니다.

사차방정식의 경우에서, 계수 사이의 관계가 $d=b,e=a$ 를 만족할 때, 자기-상반 방정식이 됩니다.

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0

이 경우 양변을 $x^{2}$ 으로 나눈 다음, ${x+{1 \over x}}=t$ 로 치환할 수 있습니다.

예를 들어, $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ 을 $x^{2}$ 으로 나누어 줍니다.

\displaystyle {x^{2}}+{1 \over x^{2}}+\left({x}+{1 \over x}\right)+1=0

여기서 ${x^{1}}+{1 \over x}=t$ 로 치환하면, 다음과 같습니다. 주의할 점은 양변을 제곱했을 때, ${x^{2}}+{1 \over x^{2}}+2=t^{2}$ 이므로 ${x^{2}}+{1 \over x^{2}}=t^{2}-2$ 이 된다는 점입니다.

t^{2}-2+t+1=t^{2}+t-1=0

이차방정식 근의 공식으로부터, $t={{-1\pm {\sqrt {5}}} \over 2}$ 으로 구해집니다. 이제 역치환을 해서 $x$ 에 대한 근을 구해보겠습니다.

아래 과정은 완전하게 계산이 되지 않더라도 크게 신경쓰지 않아도 됩니다. 문제에서는 이렇게 복잡한 답을 원하지 않고, $x+{\frac {1}{x}}$ 와 같은 것을 물어봅니다.

계산방법1

{\begin{aligned}&{x}+{1 \over x}=t\\&tx=\left(x+{1 \over x}\right)x\\&tx=x^{2}+1\\&x^{2}-tx+1=0\\&\therefore x={{t\pm {\sqrt {t^{2}-4}}} \over 2}\\&t={{-1\pm {\sqrt {5}}} \over 2}\\&\therefore x={1 \over 4}\left({-1\pm {\sqrt {5}}}\pm {{2{\sqrt {-10\pm 2{\sqrt {5}}}}} \over 2}\right)\\\end{aligned}}

계산방법2

이 방법은 구해진 근을 숫자로 대입해서 구하는 방식입니다.

{\begin{aligned}&{x}+{1 \over x}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\\&2x+{\frac {2}{x}}=-1\pm {\sqrt {5}}\\&2x^{2}+\left(1\pm {\sqrt {5}}\right)x+2=0\\&\therefore x={\frac {-1-{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}-16}}}{4}}\\&{\text{또는}}\;x={\frac {-1+{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{2}-16}}}{4}}\\\end{aligned}}

위의 2가지 계산방법의 결과를 정리하면 아래와 같이 4개의 근을 얻을 수 있습니다.

{\begin{aligned}\therefore x&={1 \over 4}\left(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={1 \over 4}\left(-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={{1 \over 4}\left(-1-{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}\\&={{1 \over 4}\left(-1-{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}\end{aligned}}

준-자기-상반 방정식

좀더 일반적인 모양인 준-자기-상반 방정식(Quasi-self-reciprocal equations)도 있습니다. 다음과 같이 식이 구성되어지면 준-자기-상반 방정식이 됩니다.

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bkx+ak^{2}=0

이 경우에는 $x+{k \over x}=t$ 로 치환해서 문제를 해결할 수 있습니다.

근과 계수의 관계

사차방정식 $\textstyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 의 네 근을 $\textstyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ 라고 하면, 방정식의 계수와 근들은 다음의 관계가 성립합니다.

\textstyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =-{b \over a}

\textstyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\beta \gamma +\beta \delta +\gamma \delta ={c \over a}

\textstyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \gamma \delta +\beta \gamma \delta =-{d \over a}

\textstyle \alpha \beta \gamma \delta ={e \over a}

여기서 출제가 되는 것은 모든 것의 합과 곱이 출제가 됩니다. 왜냐하면, 모든 근의 합은 항상 같으며, 곱은 모양은 같지만 부호는 최고차가 짝수이면 양, 홀수일 때에는 부호가 음이 되기 때문입니다.

응용예제

응용예제1

다음 조건을 만족시키는 다항식 $f(x)$ 는 1개 이상 존재합니다.

(가)

f(x)

는 이차항의 계수가 1인 이차식입니다.

(나)

f\left(x^{2}\right)

은

f(x)

로 나누어떨어진다.

다항식 $f(x)$ 가 될 수 있는 모든 다항식들의 합을 $P(x)$ 라고 할 때, $P(3)$ 의 값을 구하고, 그 풀이과정을 쓰시오.

해설: mowoum:사차방정식#응용예제1

응용예제2

"사차 방정식의 모든 근의 합은 $- (x n -1 의 계수) / (x n 의 계수)$ 입니다."를 이용하여 방정식 $x^{4}+x+1=0$ 의 근을 $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta$ 라고 할 때,

A=\left({\frac {1}{\alpha ^{3}}}-{\frac {1}{\alpha ^{4}}}\right)+\left({\frac {1}{\beta ^{3}}}-{\frac {1}{\beta ^{4}}}\right)+\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}}-{\frac {1}{\gamma ^{4}}}\right)+\left({\frac {1}{\delta ^{3}}}-{\frac {1}{\delta ^{4}}}\right)

의 값은?

해설: mowoum:사차방정식#응용예제2

응용예제3

$x$ 에 관한 사차방정식 $x^{4}-ax^{3}+(a+6)x^{2}-ax+1=0$ 이 서로 다른 네 개의 양근을 가질 때, 정수 $a$ 를 모두 구하고 그 과정을 서술하시오.

해설: mowoum:사차방정식#응용예제3

응용예제4

${\sqrt {2}}+i$ 가 $x$ 에 관한 사차방정식 $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ 의 해일 때, 유리수 $a,b,c,d$ 의 값을 구하여라.

해설: mowoum:사차방정식#응용예제4

응용예제5

$x$ 에 대한 사차방정식 $x^{4}-3x^{2}+k=0$ 의 네 근 중 두 근의 합이 1이 된다고 한다. 가장 큰 근과 가장 작은 근의 차이가 $p+{\sqrt {q}}$ 일 때, 두 유리수 $p,q$ 에 대하여 $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $k$ 는 실수이다.)