Graph of a cubic function with 3 real roots (where the curve crosses the horizontal axis—where y = 0critical points . Here the function is f (x ) = (x 3 + 3x 2 − 6x − 8)/4 수학(mathematics) 에서, 삼차 함수 는 다음 형식의 함수(function) 입니다:
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
여기서 계수 a , b , c , 및 d 는 실수이고, 변수 x 는 실수 값을 취하고, a ≠ 0다항 함수(polynomial function) 이고, 실수 함수(real function) 입니다. 특히, 도메인(domain) 과 코도메인(codomain) 은 실수의 집합입니다.
f (x ) = 0삼차 방정식(cubic equation) 을 산출합니다:
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}
그의 해는 함수의 근(roots) 으로 불립니다.
삼차 함수는 하나 또는 셋의 실수 근을 가집니다 (적어도 하나의 실수 근의 존재는 모든 홀수-차수 다항 함수에 대해 참입니다).
삼차 함수의 그래프(graph) 는 단일 변곡점(inflection point) 을 가집니다. 게다가, 삼차 함수는 극댓값과 극솟값을 같이 가질 수 있고, 그렇지 않으면, 단조적(monotonic) 이라서 극값을 가지지 않습니다. 삼차 함수의 그래프는 그것의 변곡점에 관해 대칭입니다; 즉, 삼차 함수는 변곡점을 중심으로 반 바퀴 회전 아래에서 불변, 즉, 변곡점에 대해 점대칭입니다.
극점 및 변곡점 The roots , stationary points , inflection point and concavity of a cubic polynomial x 3 − 3x 2 − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue). 삼차 함수의 극점은 접선의 함수의 기울기가 영인 점입니다. 따라서 삼차 함수 f 도함수(derivative) 가 영인 것을 만족시킵니다:
f
′
(
x
)
=
3
a
x
2
+
2
b
x
+
c
=
0
{
α
,
β
}
{\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=0\;\;\{\alpha ,\beta \}}
만약 이 이차방정식이 서로 다른 두 개의 실근을 가지면, 두 개의 극점이 있으며, 하나는 극댓점이고, 다른 하나는 극솟점입니다. 만약 오직 하나의 실근을 가지면, 오직 하나의 임계점 이 있으며, 이것은 변곡점(inflection point) 입니다. 만약 실근을 가지지 않으면, (실수) 극점은 없습니다. 후자의 두 가지 경우에서, 삼차 함수는 엄격하게 단조적(monotonic) , 즉, 증가함수 또는 감소함수입니다.
함수의 변곡점은 해당 함수가 오목성(concavity) 을 변경하는 곳입니다. 변곡점은 이차 도함수(second derivative) 가 영이고, 삼차 도함수가 비-영일 때 발생합니다 (선행 계수가 영이 아니기 때문에 만족시킵니다).
f
″
(
x
)
=
6
a
x
+
2
b
=
0
{\displaystyle f''(x)=6ax+2b=0}
따라서 삼차 함수는 항상 단일 변곡점이 있으며, 이것은 다음에서 발생합니다:
x
=
−
b
3
a
.
{\displaystyle x=-{\frac {b}{3a}}.}
평행이동과 홀수함수 Cubic functions of the form
y
=
x
3
+
p
x
.
{\displaystyle y=x^{3}+px.}
similar to such a curve. 삼차 함수는 변곡점에 대해 대칭이므로, 변곡점을 원점으로 이동하면, 대칭점이 원점인 홀수 함수가 됩니다.
먼저, 일반적인 삼차 함수
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
x
{\displaystyle x}
b
3
a
{\displaystyle {\frac {b}{3a}}}
y
=
a
(
x
−
b
3
a
)
3
+
b
(
x
−
b
3
a
)
2
+
c
(
x
−
b
3
a
)
2
+
d
{\displaystyle y=a\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)^{3}+b\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+c\left(x-{\frac {b}{3a}}\right)^{2}+d}
이것을 전개하면, 결과가 홀수함수가 되므로, 이차항의 계수와 상수항은 계산할 필요가 없습니다. 선행 계수는
a
{\displaystyle a}
y
=
a
x
3
+
3
a
⋅
b
2
9
a
2
x
−
2
b
⋅
b
3
a
x
+
c
x
=
a
x
3
+
(
c
−
b
2
3
a
)
x
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=ax^{3}+3a\cdot {\frac {b^{2}}{9a^{2}}}x-2b\cdot {\frac {b}{3a}}x+cx\\&=ax^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)x\\\end{aligned}}}
삼차함수와 직선 삼차함수가 극대와 극소를 가지려면, 그것의 도함수가 두 개의 실근을 가져야 합니다. 이때, 삼차함수의 극대 또는 극소를 지나면서
x
{\displaystyle x}
먼저 삼차함수를
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
(
a
>
0
)
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;(a>0)}
y
=
k
1
{\displaystyle y=k_{1}}
x
=
α
{\displaystyle x=\alpha }
x
=
p
1
{\displaystyle x=p_{1}}
y
=
f
(
x
)
,
y
=
k
1
{\displaystyle y=f(x),\;y=k_{1}}
α
{\displaystyle \alpha }
p
1
{\displaystyle p_{1}}
f
(
x
)
−
k
1
=
0
{
α
,
α
,
p
1
}
{\displaystyle f(x)-k_{1}=0\;\;\{\alpha ,\;\alpha ,\;p_{1}\}}
따라서, 삼차함수는 아래와 같이 식을 만들 수 있습니다:
f
(
x
)
−
k
1
=
a
(
x
−
α
)
2
(
x
−
p
1
)
⋯
(
1
)
{\displaystyle f(x)-k_{1}=a(x-\alpha )^{2}(x-p_{1})\cdots (1)}
다음으로, 삼차함수를 미분하면, 두 개의 실근
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\;\beta }
f
′
(
x
)
=
2
a
(
x
−
α
)
(
x
−
p
1
)
+
a
(
x
−
α
)
2
=
a
(
x
−
α
)
(
2
x
−
2
p
1
+
x
−
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=2a(x-\alpha )(x-p_{1})+a(x-\alpha )^{2}\\&=a(x-\alpha )(2x-2p_{1}+x-\alpha )\\\end{aligned}}}
따라서,
β
=
2
p
1
+
α
3
{\displaystyle \beta ={\frac {2p_{1}+\alpha }{3}}}
(
p
1
,
0
)
{\displaystyle (p_{1},0)}
(
α
,
0
)
{\displaystyle (\alpha ,0)}
2
:
1
{\displaystyle 2:1}
β
{\displaystyle \beta }
한편, 삼차함수와
y
=
k
2
{\displaystyle y=k_{2}}
x
=
α
{\displaystyle x=\alpha }
x
=
p
2
{\displaystyle x=p_{2}}
f
(
x
)
−
k
2
=
a
(
x
−
β
)
2
(
x
−
p
2
)
⋯
(
2
)
{\displaystyle f(x)-k_{2}=a(x-\beta )^{2}(x-p_{2})\cdots (2)}
게다가, 삼차함수의 변곡점에 대한 대칭성에 의해,
α
=
2
p
2
+
β
3
{\displaystyle \alpha ={\frac {2p_{2}+\beta }{3}}}
(
p
2
,
0
)
{\displaystyle (p_{2},0)}
(
β
,
0
)
{\displaystyle (\beta ,0)}
1
:
2
{\displaystyle 1:2}
α
{\displaystyle \alpha }
게다가, 삼차함수는 변곡점에 대해 대칭이므로, 극댓점과 극솟점의 중점이 변곡점이 됩니다. 따라서, 위의 그림에서 비율 2에 해당하는 부분이 절반씩 나뉘게 됩니다.
이 사실은 극댓점과 극솟점이 아니더라도, 삼차 함수의 위의 한 점과 그 점을 변곡점에 대해 대칭한 점, 두 점으로 바꿔어도 변하지 않습니다 (그러나, 변곡점은 대칭이동되지 않으므로 이 상황을 만족하지 않습니다).
이 때에는 위와는 다르게 다음과 같이 식을 만들 수 있습니다. 삼차 함수,
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
=
k
11
x
+
k
12
{\displaystyle y=k_{11}x+k_{12}}
x
=
α
{\displaystyle x=\alpha }
x
=
p
1
{\displaystyle x=p_{1}}
f
(
x
)
−
(
k
11
x
+
k
12
)
=
a
(
x
−
α
)
2
(
x
−
p
1
)
{\displaystyle f(x)-(k_{11}x+k_{12})=a(x-\alpha )^{2}(x-p_{1})}
이것을 미분하면,
f
′
(
x
)
−
k
11
=
2
a
(
x
−
α
)
(
x
−
p
1
)
+
a
(
x
−
α
)
2
=
a
(
x
−
α
)
(
2
x
−
2
p
1
+
x
−
α
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)-k_{11}&=2a(x-\alpha )(x-p_{1})+a(x-\alpha )^{2}\\&=a(x-\alpha )(2x-2p_{1}+x-\alpha )\\\end{aligned}}}
이때,
f
′
(
α
)
=
k
11
{\displaystyle f'(\alpha )=k_{11}}
f
′
(
α
)
=
k
11
{\displaystyle f'(\alpha )=k_{11}}
k
21
{\displaystyle k_{21}}
x
{\displaystyle x}
식 자체는 위의 것과 동일하기 때문에, 좌표의 위치도 동일함을 알 수 있고, 따라서 거리비가 같습니다.
두 경우의 비교 위의 두 경우가 달라보이지만, 물론 숫자는 달라질 수 있겠지만, 같은 경우로 볼 수 있습니다.
첫 번째 경우에서, 다음의 연립방정식의 근이
α
,
α
,
p
1
{\displaystyle \alpha ,\alpha ,p_{1}}
{
y
=
f
(
x
)
y
=
k
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y&=f(x)\\y&=k\\\end{aligned}}\right.}
연립방정식의 결과가, 선행 계수가 바뀌지 않기 때문에, 아래와 같이 쓰일 수 있습니다:
f
(
x
)
−
k
=
a
(
x
−
α
)
2
(
x
−
p
1
)
{\displaystyle f(x)-k=a(x-\alpha )^{2}(x-p_{1})}
한편, 다음 연립방정식을 생각해 보십시오:
{
y
=
f
(
x
)
+
x
y
=
k
+
x
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y&=f(x)+x\\y&=k+x\\\end{aligned}}\right.}
이런 그래프는 두 번째 경우의 그래프로 바뀌게 되는데, 왜냐하면 연립방정식의 결과는 같기 때문이고, 역시 연립방정식의 결과는 아래와 같이 쓸 수 있습니다:
f
(
x
)
+
x
−
(
x
+
k
)
=
a
(
x
−
α
)
2
(
x
−
p
1
)
{\displaystyle f(x)+x-(x+k)=a(x-\alpha )^{2}(x-p_{1})}
물론, 삼차함수와 일차함수의 식 자체가 달라지기 때문에, 첫 번째 경우는 극대 또는 극소에 접하고, 두 번째 경우는 극대 또는 극소가 아닌 점에서 접합니다.
변곡점을 통과하는 직선 삼차함수가 극값을 가질 때, 변곡점을 통과하는 직선과 삼차함수는 세 점에서 만납니다 (변곡점에 접하는 직선은 예외적으로 한 곳에서 만납니다). 이때, 삼차함수의 변곡점, 극점 및 교점 사이의 비율 관계가 있습니다.
문제를 단순화하기 하기 위해 평행이동을 해서, 변곡점의
x
{\displaystyle x}
그림처럼, 삼차함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
=
k
{\displaystyle y=k}
f
(
x
)
−
k
=
a
x
(
x
+
p
1
)
(
x
−
p
1
)
=
a
(
x
3
−
p
1
2
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-k&=ax(x+p_{1})(x-p_{1})\\&=a(x^{3}-p_{1}^{2}x)\\\end{aligned}}}
이제 극값을 구하기 위해, 양쪽 변을 미분하면,
f
′
(
x
)
=
a
(
3
x
2
−
p
1
2
)
{\displaystyle f'(x)=a(3x^{2}-p_{1}^{2})}
극값은 이 방정식을 0으로 만드는
x
{\displaystyle x}
α
=
p
1
3
{\displaystyle \alpha ={\frac {p_{1}}{\sqrt {3}}}}
즉, 그림처럼, 변곡점에서 극솟점까지의 거리,
α
{\displaystyle \alpha }
p
1
{\displaystyle p_{1}}
α
:
p
1
=
1
:
3
{\displaystyle \alpha :p_{1}=1:{\sqrt {3}}}
이 관계는, 삼차함수와 일차 함수의 식이 바뀌더라도, 만나는 좌표가 같기 때문에, 유지됩니다.
{
y
=
f
(
x
)
+
x
y
=
k
+
x
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y&=f(x)+x\\y&=k+x\\\end{aligned}}\right.}
삼차함수와 접선 사이의 넓이 이차함수,
f
1
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f_{1}(x)=ax^{2}+bx+c}
f
2
(
x
)
=
m
x
+
n
{\displaystyle f_{2}(x)=mx+n}
f
1
(
x
)
=
f
2
(
x
)
{
α
,
β
}
(
α
<
β
)
{\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\quad \{\alpha ,\beta \}\;(\alpha <\beta )}
이것으로부터, 아래와 같이 식을 적을 수 있습니다:
f
1
(
x
)
−
f
2
(
x
)
=
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
{\displaystyle f_{1}(x)-f_{2}(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )}
그런-다음, 계산의 편의를 위해,
x
{\displaystyle x}
−
α
{\displaystyle -\alpha }
따라서, 구하려는 넓이는
S
=
|
∫
0
β
−
α
a
{
x
2
−
(
β
−
α
)
x
}
d
x
|
=
|
a
[
x
3
3
−
(
β
−
α
)
x
2
2
]
0
β
−
α
|
=
|
a
6
(
β
−
α
)
3
|
=
|
a
|
6
(
β
−
α
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\left|\int _{0}^{\beta -\alpha }a\left\{x^{2}-(\beta -\alpha )x\right\}dx\right|\\&=\left|a\left[{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {(\beta -\alpha )x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\beta -\alpha }\right|\\&=\left|{\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3}\right|\\&={\frac {|a|}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}
이차함수와 일차함수의 꼴이 중요한 것이 아니라, 두 함수가 만나는 점, 즉, 두 함수를 연립한
x
{\displaystyle x}
이차함수와 유사한 상황이 삼차함수에서 발생합니다. 위에서와 마찬가지로, 극점 중 하나에서 접선을 그었을 때, 삼차함수와 접선 사이의 넓이를 생각해 보십시오.
구하려는 넓이는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
S
=
∫
α
β
(
k
−
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle S=\int _{\alpha }^{\beta }(k-f(x))dx}
이것을 계산하는 것은 시간 소모가 발생할 수 있기 때문에, 좀 더 쉬운 계산 방법이 필요해 보입니다.
먼저, 주어진 그림에서
α
{\displaystyle \alpha }
f
(
x
)
−
k
=
a
(
x
−
α
)
2
(
x
−
β
)
{\displaystyle f(x)-k=a(x-\alpha )^{2}(x-\beta )}
여기서
β
>
α
{\displaystyle \beta >\alpha }
평행이동 후의 넙이는 그것의 정적분의 절댓값입니다:
S
=
|
∫
0
β
−
α
a
x
2
(
x
−
(
β
−
α
)
)
d
x
|
=
|
a
∫
0
β
−
α
(
x
3
−
(
β
−
α
)
x
2
)
d
x
|
=
|
a
[
x
4
4
−
(
β
−
α
)
x
3
3
]
0
β
−
α
|
=
|
a
12
(
β
−
α
)
4
|
=
|
a
|
12
(
β
−
α
)
4
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\left|\int _{0}^{\beta -\alpha }ax^{2}(x-(\beta -\alpha ))dx\right|\\&=\left|a\int _{0}^{\beta -\alpha }(x^{3}-(\beta -\alpha )x^{2})dx\right|\\&=\left|a\left[{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {(\beta -\alpha )x^{3}}{3}}\right]_{0}^{\beta -\alpha }\right|\\&=\left|{\frac {a}{12}}(\beta -\alpha )^{4}\right|\\&={\frac {|a|}{12}}(\beta -\alpha )^{4}\\\end{aligned}}}
이 상황은, 위에서 설명한 것처럼, 접점이 극점이 아닌 접선과 삼차함수가 두 점
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
응용예제 응용예제1 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
(가) 방정식
f
(
x
)
−
x
=
0
{\displaystyle f(x)-x=0}
(나) 방정식
f
(
x
)
+
x
=
0
{\displaystyle f(x)+x=0}
f
(
0
)
=
0
,
f
′
(
1
)
=
1
{\displaystyle f(0)=0,\;f'(1)=1}
f
(
3
)
{\displaystyle f(3)}
해설: mowoum:삼차_함수#응용예제1
응용예제2 최고차항의 계수가 1인 삼차함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
(ㄱ) 곡선
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
위의 점
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
에서의 접선과 곡선
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
위의 점
(
2
,
0
)
{\displaystyle (2,0)}
에서의 접선은 모두
x
{\displaystyle x}
축이다.
(ㄴ) 점
(
2
,
0
)
{\displaystyle (2,0)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
(ㄷ) 방정식
f
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)}
는 오직 하나의 실근을 가진다.
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
≤
k
x
−
2
≤
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)\leq kx-2\leq f(x)}
를 만족시키는 실수
k
{\displaystyle k}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\;\beta }
α
−
β
=
a
+
b
2
{\displaystyle \alpha -\beta =a+b{\sqrt {2}}}
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
a
,
b
{\displaystyle a,\;b}
해설: mowoum:삼차_함수#응용예제2
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\left|\int _{0}^{\beta -\alpha }a\left\{x^{2}-(\beta -\alpha )x\right\}dx\right|\\&=\left|a\left[{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {(\beta -\alpha )x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\beta -\alpha }\right|\\&=\left|{\frac {a}{6}}(\beta -\alpha )^{3}\right|\\&={\frac {|a|}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d228dea10c1f5e697fde9a6c0352e8e588d33da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\left|\int _{0}^{\beta -\alpha }ax^{2}(x-(\beta -\alpha ))dx\right|\\&=\left|a\int _{0}^{\beta -\alpha }(x^{3}-(\beta -\alpha )x^{2})dx\right|\\&=\left|a\left[{\frac {x^{4}}{4}}-{\frac {(\beta -\alpha )x^{3}}{3}}\right]_{0}^{\beta -\alpha }\right|\\&=\left|{\frac {a}{12}}(\beta -\alpha )^{4}\right|\\&={\frac {|a|}{12}}(\beta -\alpha )^{4}\\\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6dbd645e4ba805a604834e17f243a18dbebe908)
