선분의 내분점과 외분점

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이-차원 평면에 놓여 있는 두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2},y_{2})$를 이은 선분 $\mathrm {AB}$를 $m:n$ $(m>0,n>0)$으로 내분하는 점 $\mathrm {P} (x,y)$는 $x$-축에 수선의 발을 내린 각각의 점 $\mathrm {A_{1}} (x_{1},0)$, $\mathrm {B_{1}} (y_{1},0)$, $\mathrm {P_{1}} (x,0)$에 대해 기하학적 상황은 바뀌지 않습니다.

그러므로, 수선의 발을 내린 점들에 대해 내분점은 수직선 위의 내분점으로 그의 개념이 줄어듭니다.

또한, 수선의 발을 $y$-축으로 내리면, 같은 기하학적 상황에서, 좌표가 $x$에서 $y$-좌표로 바뀔 뿐입니다.

한편, 이런 상황은 평면에서 하나의 차원을 증가한 삼-차원 공간에 대해 여전히 유지됩니다.

즉, 공간에 놓여있는 두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1},z_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2},y_{2},z_{2})$를 이은 선분 $\mathrm {AB}$를 $m:n$ $(m>0,n>0)$으로 내분하는 점 $\mathrm {P} (x,y,z)$는 각각의 축에 수선의 발을 내린 점에 대해 수직선 위의 내분점을 구하는 것과 동일합니다.

단지, 세 축이 존재하므로, 내분점을 구하는 식을 세번 계산할 뿐입니다.

따라서, 그의 내분점은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathrm {P} \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}}\right)$

게다가, 외분점 역시 내분점과 같은 개념으로 이해될 수 있습니다.

따라서, 외분점은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathrm {P} \left({\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},{\frac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}},{\frac {mz_{2}-nz_{1}}{m-n}}\right)$

여기서 $m\neq n$이 만족해야 하는데, $m=n$인 외분점은 기하학적으로 존재할 수 없습니다.

두 점의 중점은 $1:1$로 내분하는 점과 같으므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathrm {P} \left({\frac {x_{2}+x_{1}}{2}},{\frac {y_{2}+y_{1}}{2}},{\frac {z_{2}+z_{1}}{2}}\right)$

삼각형의 무게중심

이-차원 평면에서 삼각형의 무게중심과 삼-차원 공간에서 삼각형의 무게중심은 그의 기하학적 상황이 달라지지는 않습니다. 단지, 삼각형을 구성하는 꼭짓점의 좌표가 평면에서는 2개의 순서쌍인데 비해서 공간에서는 3개의 순서쌍으로 이루어지는 것만이 다릅니다.

따라서, 세 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1},z_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2},y_{2},z_{2})$, $\mathrm {C} (x_{3},y_{3},z_{3})$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm {ABC}$의 무게중심의 좌표 $\mathrm {G} (x,y,z)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\mathrm {G} \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}},{\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}}\right)$