두 정점
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
m
≠
n
{\displaystyle m\neq n}
증명1 아폴로니우스의 원 증명: 원주각이 90도임을 보이는 방법
M
,
N
,
P
{\displaystyle \mathrm {M,N,P} }
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
M
,
N
{\displaystyle \mathrm {M,N} }
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
선분
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
M
,
N
{\displaystyle \mathrm {M,N} }
M
,
N
{\displaystyle \mathrm {M,N} }
먼저,
M
,
N
{\displaystyle \mathrm {M,N} }
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
P
A
:
P
B
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {PA:PB} =m:n}
M
A
:
M
B
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {MA:MB} =m:n}
∴
P
A
:
P
B
=
A
M
:
B
M
{\displaystyle \mathrm {PA:PB} =\mathrm {AM:BM} }
그러므로
P
M
{\displaystyle \mathrm {PM} }
△
A
P
B
{\displaystyle \triangle \mathrm {APB} }
∠
P
{\displaystyle \angle \mathrm {P} }
내각의 이등분선 입니다.
또한, 다음의 식이 성립합니다.
N
A
:
N
B
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {NA:NB} =m:n}
∴
P
A
:
P
B
=
A
N
:
B
N
{\displaystyle \mathrm {PA:PB} =\mathrm {AN:BN} }
그러므로
P
N
{\displaystyle \mathrm {PN} }
△
A
P
B
{\displaystyle \triangle \mathrm {APB} }
∠
P
{\displaystyle \angle \mathrm {P} }
외각의 이등분선 입니다.
위의 두 사실로부터 원주각
∠
M
P
N
=
90
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {MPN} =90^{\circ }}
따라서
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
M
N
{\displaystyle \mathrm {MN} }
증명2 두 점
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
A
P
:
B
P
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AP:BP} =m:n}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
정점
A
(
x
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle \mathrm {A} (x_{1},y_{1}),\mathrm {B} (x_{2},y_{2})}
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {P} (x,y)}
A
P
:
B
P
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AP:BP} =m:n}
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
:
(
x
−
x
2
)
2
+
(
y
−
y
2
)
2
=
m
:
n
{\displaystyle {\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}:{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=m:n}
n
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
=
m
(
x
−
x
2
)
2
+
(
y
−
y
2
)
2
{\displaystyle n{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}=m{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}}
n
2
{
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
}
=
m
2
{
(
x
−
x
2
)
2
+
(
y
−
y
2
)
2
}
{\displaystyle n^{2}\left\{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}\right\}=m^{2}\left\{(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}\right\}}
⋮
{\displaystyle \quad \quad \vdots }
x
2
+
y
2
−
2
(
m
2
x
2
−
n
2
x
1
)
m
2
−
n
2
x
−
2
(
m
2
y
2
−
n
2
y
1
)
m
2
−
n
2
y
+
m
2
x
2
2
+
m
2
y
2
2
−
n
2
x
1
2
−
n
2
y
1
2
m
2
−
n
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {2(m^{2}x_{2}-n^{2}x_{1})}{m^{2}-n^{2}}}x-{\frac {2(m^{2}y_{2}-n^{2}y_{1})}{m^{2}-n^{2}}}y+{\frac {m^{2}{x_{2}}^{2}+m^{2}{y_{2}}^{2}-n^{2}{x_{1}}^{2}-n^{2}{y_{1}}^{2}}{m^{2}-n^{2}}}=0}
중심:
C
(
m
2
x
2
−
n
2
x
1
m
2
−
n
2
,
m
2
y
2
−
n
2
y
1
m
2
−
n
2
)
{\displaystyle \mathrm {C} \left({\frac {m^{2}x_{2}-n^{2}x_{1}}{m^{2}-n^{2}}},{\frac {m^{2}y_{2}-n^{2}y_{1}}{m^{2}-n^{2}}}\right)}
반지름:
r
=
m
n
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
|
m
2
−
n
2
|
{\displaystyle r={\frac {mn{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}{|m^{2}-n^{2}|}}}
자취의 의미로 만들어진 원의 중심은, 선분
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
(
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
,
m
y
2
+
n
y
1
m
+
n
)
{\displaystyle \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},\;{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}
(
m
x
2
−
n
x
1
m
−
n
,
m
y
2
−
n
y
1
m
−
n
)
{\displaystyle \left({\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}},\;{\frac {my_{2}-ny_{1}}{m-n}}\right)}
의 중점에 해당하고,
또한, 당연하게도, 반지름은, 중점, 즉 중심에서 두 점
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
응용예제 응용예제1 두 점
A
(
−
2
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {A} (-2,0)}
B
(
6
,
0
)
{\displaystyle \mathrm {B} (6,0)}
A
P
¯
:
B
P
¯
=
k
:
1
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AP} }}:{\overline {\mathrm {BP} }}=k:1}
k
≠
1
{\displaystyle k\neq 1}
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
C
{\displaystyle \mathrm {C} }
(
14
,
0
)
{\displaystyle (14,0)}
(1)
k
{\displaystyle k}
(2) 원
C
{\displaystyle \mathrm {C} }
x
{\displaystyle x}
(3) 원
C
{\displaystyle \mathrm {C} }
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
A
P
B
{\displaystyle \mathrm {APB} }
y
{\displaystyle y}
x
>
14
{\displaystyle x>14}
해설: mowoum:아폴로니우스의 원#응용예제1
응용예제2 두 점
A
(
2
,
5
)
{\displaystyle \mathrm {A} (2,5)}
B
(
5
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (5,2)}
1
:
2
{\displaystyle 1:2}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
a
,
b
,
r
{\displaystyle a,b,r}
a
+
b
+
r
2
{\displaystyle a+b+r^{2}}
해설: mowoum:아폴로니우스의 원#응용예제2
응용예제3 두 점
A
(
−
6
,
0
)
,
B
(
0
,
6
)
{\displaystyle {\rm {A(-6,0),\;{\rm {B(0,6)}}}}}
A
P
¯
:
B
P
¯
=
2
:
1
{\displaystyle {\overline {\rm {AP}}}:{\overline {\rm {BP}}}=2:1}
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
(1) 이때 점
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
(2) 삼각형
P
A
B
{\displaystyle {\rm {PAB}}}
해설: mowoum:아폴로니우스의 원#응용예제3
