이차방정식의 근과 계수의 관계

Main article: Vieta's formulas

이차방정식의 일반식의 계수와 구해진 두 근의 합과 곱 사이의 관계식에 대한 이야기입니다.

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$를 각각

$\alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$, $\beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

라 하면

$\alpha +\beta ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

$\alpha \beta ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\times {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

두 근의 합과 곱이 이차방정식의 계수 사이의 비값으로 나타남을 알 수 있습니다.

이차방정식의 근과 계수의 관계 다른 증명

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근을 각각 $\alpha ,\beta$라고 하면,

$\alpha ,\beta$을 근으로 갖는 이차방정식을 $(x-\alpha )(x-\beta )=0$으로 만들 수 있습니다.

원래 이차방정식 양변에 ${\frac {1}{a}}$를 곱하더라도 근은 변하지 않습니다. 또한 근과 최고차항이 같으면 서로 같은 방정식입니다.

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0\iff (x-\alpha )(x-\beta )=0$

전개해서 정리하면, 서로 계수가 같아야 하므로 다음의 식을 만족합니다.

${\frac {b}{a}}=-(\alpha +\beta ),{\frac {c}{a}}=\alpha \beta$

그러므로 두 근의 합과 곱은 아래와 같이 구해집니다.

${\begin{aligned}&\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}\\&\alpha \beta ={\frac {c}{a}}\\\end{aligned}}$

두 근의 차

이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$를 각각

$\alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$, $\beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$

라 하면, 두 근의 차이는 다음과 같이 구해집니다.

$\left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|$

$\left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|$

$\left|\alpha -\beta \right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{\left|a\right|}}$

보통 위 식은 잘 이용하지 않게 되는데, 왜냐하면 이차 방정식의 모든 계수를 알고 있을 때 사용할 수 있기 때문입니다. 따라서, 이런 공식을 직접 사용해서 답을 구하는 문제를 출제하지 않는 것이 좋겠습니다.

한편, 다음의 식을 이용해서 구하는 것이 좀 더 자주 이용됩니다.

$\left(\alpha -\beta \right)^{2}=\left(\alpha +\beta \right)^{2}-4\alpha \beta$

이차방정식의 인수분해

이차다항식의 인수분해는 중등과정에서 배운 방법이나, 인수정리를 이용해서 할 수 있습니다. 그러나 이 두 경우는 유리수 범위 내에서 인수분해만 대부분 가능하게 합니다.

복소수를 배운 지금은 복소수 범위까지 확대를 해서 인수분해를 가능하면 좋겠습니다. 이 방법에 이용되는 것이 근과 계수의 관계입니다.

즉, 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$라 하면 다음의 과정이 성립합니다.

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)\\&=a\left\{x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \right\}\\&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\\end{aligned}}$

이 방법을 이용하면, 계수가 실수인 이차식은 복소수 범위까지 항상 인수분해가 가능합니다.

응용예제

응용예제1

실수 $x,\;y$가 $x^{2}+y^{2}+xy=3$을 만족할 때, $x+y+xy$의 최댓값과 최솟값의 합은?

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제1

응용예제2

이차방정식 $x^{2}-7x+7=0$의 두 근을 $\alpha ,\;\beta$ ($\alpha <\beta$)라 놓습니다. 그림과 같이 ${\overline {\mathrm {AB} }}=\alpha ,\;{\overline {\mathrm {CD} }}=\beta$인 이등변 삼각형 $\mathrm {ABC}$에 내접하는 정사각형 $\mathrm {EFGH}$의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 $x$에 대한 이차방정식이 $x^{2}+mx+n=0$일 때, 두 상수 $m,\;n$에 대하여 $mn$의 값은?

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제2

응용예제3

이차방정식 $f(x)=0$의 두 근의 합이 –6일 때, 방정식 $f(3x-5)=0$의 두 근의 합을 구하면?

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제3

응용예제4

이차방정식 $x^{2}-px+q=0$의 두 실근을 $\alpha ,\beta$라 놓습니다. $\alpha ^{2},\beta ^{2}$이 이차방정식 $x^{2}+3px+4(q-1)=0$의 두 근일 때, 상수 $p,q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제4

응용예제5

0이 아닌 세 복소수 $\alpha ,\beta ,\gamma$가 $\alpha +\beta +\gamma =0$, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=0$을 만족할 때, ${\frac {\beta }{\alpha }}+{\overline {\left({\frac {\gamma }{\beta }}\right)}}$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제5

응용예제6

$x$에 관한 이차방정식 $x^{2}-ax-2a=0$이 서로 다른 두 실근을 가집니다. 두 실근의 절댓값의 합이 4일 때, 실수 $a$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제6

응용예제7

다항식 $f(x)=x^{2}-ax+b$가 다음 세 조건을 만족할 때, 가능한 서로 다른 $a+b+c+d$의 값의 합을 구하여라.

(ㄱ) $f(c)=f(d)=0$

(ㄴ) $a,b,c,d$는 100 이하의 서로 다른 자연수입니다.

(ㄷ) $c,d$는 각각 3개의 양의 약수를 가집니다.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제7

응용예제8

$x$에 이차방정식 $x^{2}-(3+{\sqrt {2}})x+m{\sqrt {2}}-4=0$은 적어도 하나의 정수근을 가집니다. 이때, $m$의 값과 두 근을 구하여라. (단, $m$은 자연수)

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제8

응용예제9

세 실수 $a,b,c$에 대하여 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근이 $p,q$이고, 이차방정식 $cx^{2}-bx+a=0$의 두 근이 $r,s$일 때, $p,q,r,s$의 대소 관계로 옳은 것은?

(단, $-1<p<0<q<1,\;r<s,\;ac\neq 0$이다.)

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제9

응용예제10

이차방정식 $x^{2}-5x+2=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 하면 다항식 $f(x)$는 $f(\alpha )=2\beta$, $f(\beta )=2\alpha$를 만족시킨다. $f(x)$를 이차식 $x^{2}-5x+2$로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제10

응용예제11

0이 아닌 복소수 $z$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 두 실수 $a,b$의 값을 각각 구하시오. (단, $i={\sqrt {-1}}$)

(ㄱ) $z-2$는 이차방정식 $x^{2}-ax+4=0$의 한 허근이다.

(ㄴ) $z-2i$는 이차방정식 $x^{2}-bx+4=0$의 한 근이다.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제11

응용예제12

세 유리수 $a,b,c$에 대하여 $x$에 대한 이차방정식

$ax^{2}+{\sqrt {3}}bx+c=0$

의 한 근이 $\alpha =2+{\sqrt {3}}$이고. 다른 한 근을 $\beta$라 할 때, $\alpha +{\frac {1}{\beta }}$의 값은?

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제12

응용예제13

계수와 상수항이 모두 정수인 일차식 $f(x)$와 이차식 $g(x)$가 모두 실수 $x$에 대하여

$f(x)g(x)+f(x)-3g(x)=-x^{3}+x^{2}+7$

을 만족시킨다. 방정식 $f(x)=g(x)$의 두 실근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제13

응용예제14

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2}+px+q=0$의 서로 다른 두 근을 $\alpha ,\;\beta$라 할 때, 이차식 $f(x)=x^{2}-4px+6q$가 다음 조검을 만족시킨다. 상수 $p,q$에 대하여 $p^{2}+q^{2}$의 값은?

(ㄱ) $f(x)$를 $x-\alpha ^{2}$으로 나눈 나머지는 $-p^{2}\alpha -pq+9$이다.

(ㄴ) $f(-p\beta -q)=p^{3}+p^{2}\alpha -pq+9$

해설: mowoum:이차방정식의 근과 계수의 관계#응용예제14