이차방정식의 실근의 부호

이차방정식에서 판별식을 통해 어떤 근을 가질 것인지를 알 수 있었습니다. 여기서는 근의 부호(양수인지, 음수인지)를 알 수 있는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이 문제를 이차방정식의 실근의 부호 문제라고 부릅니다.

이 문제를 이차방정식의 실근의 분리를 적용해서 풀어도 상관없습니다.

예를 들어 두 근이 모두 양수인 경우는 어떻게 알 수 있을까요?

우선은 판별식을 해야 합니다. 허수는 대소 관계의 정의가 없기 때문에 양수/음수의 개념 자체가 없습니다. 그러므로 반드시 실근이 나와야 하기 때문에 판별식 $D\geq 0$ 여야 합니다.

이제 나온 두 실근이 모두 양수인 경우는 근의 합과 곱이 전부 양수인 경우입니다.

이를 정리하면 다음과 같습니다.

실계수 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 두 근을 $\alpha ,\beta$ 라 하고, $D=b^{2}-4ac$ 일 때, 다음이 성립합니다.

조건	관계식
두 근이 모두 양수	$D\geq 0,\;\alpha +\beta >0,\;\alpha \beta >0$
두 근이 모두 음수	$D\geq 0,\;\alpha +\beta <0,\;\alpha \beta >0$
두 근이 서로 다른 부호	$\alpha \beta <0$

서로 다른 두 근이라는 표현이 있으면, 판별식에서 등호를 제거해야 합니다. 또한 일차항의 계수가 짝수인 경우에는 $D/4=b'^{2}-ac$ 를 이용해는 것이 좋습니다.

두 근의 합과 곱이 모두 양수라고해서 항상 실근을 갖는 것은 아닙니다. 예를 들어, $\alpha =1+i,\beta =1-i$ 라면, $\alpha +\beta =2,\alpha \beta =2$ 를 가집니다. 즉, 두 근의 합과 곱이 양수임에도 불구하고 두 허근을 갖는 경우도 있습니다.

서로 다른 부호인 경우

서로 다른 부호일 때에는 판별식을 하지 않는 것이 조금 다르게 느껴집니다. 그 이유는 서로 다른 부호이면, $\alpha \beta ={\frac {c}{a}}<0$ 이므로 $a,c$ 가 서로 다른 부호를 가집니다. 그러므로 $ac<0$ 이기 때문에 판별식 $D=b^{2}-4ac>0$ 이므로 항상 서로 다른 두 실근을 가집니다. 서로 다른 부호는 실근을 가질 때에만 발생하기 때문에 허근을 거르는 과정을 할 필요가 없습니다.