이차방정식의 실근의 분리

이차방정식의 실근의 부호 문제는 기준점이 $0$ 입니다. 여기서 좀더 일반화시켜 기준점이 임의의 실숫값이 되는 것을 실근의 분리 문제라고 부릅니다.

실근의 부호에서는 판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱으로 부호의 판정을 했습니다. 반면에 실근의 분리에서는 판별식, 대칭축, 함숫값을 이용합니다.

이차계수의 부호가 음수이면, 아래와 같이 함숫값의 부호만 달라집니다. 외우는 것보다 그래프의 개형으로 확인을 하는 것이 필요합니다. 여기서 대칭축은 $x_{s}=-{\frac {b}{2a}}$ 라고 놓습니다.

$\alpha >p,\;\beta >p$	$D\geq 0,\;x_{s}>p,\;f(p)<0$
$\alpha <p,\;\beta <p$	$D\geq 0,\;x_{s}<p,\;f(p)<0$
$\alpha <p<\beta$	$f(p)<0$
$p<\alpha \leq \beta <q$	$D\geq 0,\;p<x_{s}<q,\;f(p)<0,\;f(q)<0$

두 근이 모두 클 경우

실계수 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0\;\;(a>0)$ 의 두 근을 $\alpha ,\beta \;(\alpha \leq \beta )$ 와 상수 $p$ 사이의 대소 관계를 이차함수 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프를 이용하여 다음과 같이 알 수 있습니다. 먼저, 오른쪽 그림처럼, 두 근이 모두 $p$ 보다 큰 경우에는 다음의 세가지 조건을 만족해야 합니다.

D\geq 0,\;x_{s}>p,\;f(p)>0

여기서 의문이 생깁니다. 꼭 세가지 조건을 다 만족해야 하나요?

조건이 많을수록 풀어야 할 연립부등식이 개수가 늘어나서 복잡해진다는 의미입니다. 그러므로 가능하면 조건이 적을수록 좋겠습니다.

만약 2가지 조건으로 가능한 경우가 있을까요?

예를 들어, $D\geq 0,\;x_{s}>p$ 이 조건만으로 두 근이 모두 $p$ 보다 큰 경우가 가능할까요? 그렇지만, 오른쪽 그림처럼 $f(p)<0$ 인 경우에는, 앞의 조건은 만족하지만 두 근이 모두 $p$ 보다 큰 경우가 아닙니다.

다른 예로 $D\geq 0,\;f(p)>0$ 인 2가지 조건으로 가능하지 않을까요?

그렇지만, 이것도 $p>\beta$ 보다 큰 그림으로 앞의 조건은 만족하지만, 두 근이 모두 $p$ 보다 큰 경우가 아닙니다.

마지막으로 $x_{s}>p,\;f(p)>0$ 인 2조건으로 가능하지 않을까요? 이 경우에는 $x$ 축 위에 이차함수가 전부 놓이는 경우(허근인 경우)에 2가지 조건을 만족하지만, 두 실근이 생기지 않기 때문에, 두 근이 $p$ 보다 큰 경우가 아닙니다.

그러므로 최소한 위에서 제시한 3가지 조건을 만족해야 두 근이 $p$ 보다 큰 경우의 그림을 그릴 수 있습니다.

두 근이 모두 작을 경우

두 근이 모두 $p$ 보다 작을 경우에는 다음의 세가지 조건을 만족해야 합니다.

D\geq 0,\;x_{s}<p,\;f(p)>0

두 근 사이에 놓이는 경우

두 근 사이에 $p$ 가 놓이는 경우( $\alpha <p<\beta$ )에 판별식이 필요없는 이유는 이차항의 계수가 양수이기 때문에 $f(-\infty )=+\infty$ 입니다. 즉, 좌측 끝점에서는 $x$ 축 위에서 그래프의 개형이 시작된다는 의미입니다. 중간에 함숫값이 음을 가질려면 반드시 $x$ 축을 지날 수밖에 없습니다. 또한 $f(+\infty )=+\infty$ 이므로, 우측 끝점은 $x$ 축 위에 놓일려면 또 한번 $x$ 을 지날 수 밖에 없습니다. 그러므로 항상 2개의 실근을 갖는 경우입니다.

대칭축의 위치도 판단할 수 없기 때문에 적용을 하지 않습니다.

그러나 문제에서 $p$ 와 $\alpha$ 사이의 거리보다 $p$ 와 $\beta$ 사이의 거리가 더 크다라는 조건이 있으면, $p$ 는 $\alpha$ 에 가까이 있는 경우이므로, $x_{s}<p$ 인 조건을 주어서 문제를 풀어야 합니다. 왜냐하면, 대칭축은 항상 $\alpha ,\beta$ 의 중간에 위치하기 때문입니다.

구간 사이에 두 근이 놓이는 경우

구간 $(p,q)$ 사이에 두 근이 놓이는 경우( $p<\alpha \leq \beta <q$ )에는 다음의 4가지를 만족해야 합니다.

D\geq 0,\;p<x_{s}<q,\;f(p)>0,\;f(q)>0

이런 문제에서도 서로 다른 두 근이라는 의미가 있을 때에는 판별식에 등호가 없어져야 합니다. 또한 끝점을 포함할 때에는 함숫값에 등호가 생겨야 합니다.

응용예제

응용예제1

서로 다른 두 실근을 갖는 이차방정식 $x^{2}+6x+k-2=0$ 의 한 근이 이차방정식 $x^{2}-x-6=0$ 의 두 근 사이에 존재하도록 하는 정수 $k$ 의 최댓값과 최솟값의 합은?

해설: mowoum:이차방정식의 실근의 분리#응용예제1

응용문제2

이차함수 $y=-x^{2}+ax+4$ 의 그래프와 직선 $y=2x+1$ 의 두 교점을 이은 선분 위에 두 교점이 아닌 점 $(3,7)$ 이 있을 때, 정수 $a$ 의 최솟값은?

해설: mowoum:이차방정식의 실근의 분리#응용예제2

응용예제3

$x$ 에 대한 이차방정식 $ax^{2}-bx+3c=0$ 의 두 근을 $\alpha ,\beta$ 라 할 때, $2\leq \alpha \leq 3$ , $4\leq \beta \leq 5$ 입니다. $a+b+c$ 의 값은? (단, $a,b,c$ 는 1보다 크고 14보다 작은 자연수입니다.)