이차방정식 만들기

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 이차방정식이 주어지면, 근의 공식으로 구해진 근과 주어진 이차방정식의 계수 사이의 관계에 대해 알아보았습니다.

이를 이용해서, 어떤 두 근을 가진 이차방정식은 어떻게 만들까요? 사용상의 편의에 따라 식을 어떻게 나타낼지는 여러분이 결정해야 됩니다.

먼저 근이 유리수의 형태로 주어지는 경우는 근을 인수의 형태로 변경해서 쉽게 만들어 냅니다. 예를 들어, 2와 3을 두 근으로 하는 이차방정식은 다음과 같습니다.

$a(x-2)(x-3)=0$

물론 최고차항의 계수는 조건이 주어짐에 따라 별도로 구해야 합니다.

이런 상황을 좀 더 일반화해서 나타내 보겠습니다.

즉, 두 수 $\alpha ,\beta$를 두 근으로 하는 이차방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$a(x-\alpha )(x-\beta )=0$

위 식을 전개해서 사용하는 경우도 많습니다.

$a\left\{x^{2}-(\alpha +\beta )+\alpha \beta \right\}=0$

여기서 주목할 것은 두 근의 합과 곱이 사용된다는 점입니다. 이 말은 두 근이 주어진 경우에 유용하게 사용될 수 있다는 것을 의미합니다. 또 한가지 주의할 점은 일차항의 계수를 구성할 때에는 두 근의 합에 $-1$을 곱해서 부호를 반대로 만들어야 한다는 점입니다.

대부분의 경우에는 두 근을 전부 주는 경우는 많지 않습니다. 그러므로 두 근의 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 만드는 경우는 드뭅니다. 대신에 근을 인수로 표현한 첫 번째 모양이 자주 쓰이는 편입니다.

켤레근

켤레복소수처럼 켤레근이 이차방정식이나 고차방정식을 작성하는데 도움이 됩니다. 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 켤레근은 다음과 같은 경우에 생깁니다.

1. $\mathbf {a,b,c}$가 유리수일 때, 무리수 $m+n{\sqrt {p}}$ ($m,n$은 유리수)가 근이면 $m-n{\sqrt {p}}$도 근입니다. 유리계수 이차방정식도 같은 의미입니다.
2. $\mathbf {a,b,c}$가 실수일 때, 무리수 $m+ni$ (m, n은 실수, i = √−1)가 근이면 $m-ni$도 근입니다. 실계수 이차방정식도 같은 의미입니다.

이것은 유리수 계수가 무리수 근을 가질 수 있는 경우는 근의 공식에서 만들어지는 경우밖에 없기 때문입니다. 물론 실계수에서 허근을 만들어지는 경우도 마찬가지입니다. 그래서 제곱근 앞쪽의 부호가 복부호가 되기 때문에 켤레근이 만들어집니다.

주목할 것은 켤레근이 되기 위해서는 반드시 계수 조건이 맞아야 한다는 점입니다. 그렇지 않을 때에는 인수분해를 해서 무리근이 만들어지기도 하기 때문에 켤레근을 이용해서는 안됩니다.

예를 들어, 다음 방정식은 무리수 근을 가지지만, 켤레근은 아닌데, 왜냐하면 방정식의 계수가 무리수이기 때문입니다.

$(x-2-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {3}})=0$

근의 공식 역산

켤레근에서 이차방정식을 만들 때에는 근의 공식을 역추적하는 방법도 있습니다.

예를 들어, 유리 계수인 이차방정식의 한 근이 $2+{\sqrt {3}}$인 이차방정식을 아래와 같이 만들 수 있습니다.

이 문제는 켤레근 문제이므로 근의 공식에 의해 만들어집니다.

그래서 완전제곱식을 만들어서 근의 공식을 유도하는 과정을 역으로 추적해서 이차방정식을 만들 수 있습니다.

$x=2+{\sqrt {3}}$	근의 유리수 부분 좌변 이동
$x-2={\sqrt {3}}$	양변 제곱
$(x-2)^{2}=3$	정리
$x^{2}-4x+1=0$	최고차항 보정
$a\left(x^{2}-4x+1\right)=0$

물론, 복소수 켤레근일 때에는 실수 부분을 좌변으로 넘긴 후에 같은 과정을 거쳐서 이차방정식을 만들 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 반지름의 길이가 $40m$, $\angle \mathrm {AOB} =90^{\circ }$인 부채꼴 모양에 넓이가 $450m^{2}$인 직사각형 모양이 내접하고 있습니다. 네 지점 $\mathrm {A,P,R,B}$를 연결하는 최단 거리의 길을 만들려고 할 때, 이 길의 전체 길이, 즉, ${\overline {\mathrm {AP} }}+{\overline {\mathrm {PR} }}+{\overline {\mathrm {RB} }}$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제1

응용예제2

이차방정식 $x^{2}-3x+1=0$의 두 근을 $\alpha ,\;\beta$라고 할 때, 이차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x)$가 $f\left({\frac {1}{\alpha }}\right)=2\alpha ,\;f\left({\frac {1}{\beta }}\right)=2\beta$을 만족할 때, $f(0)$의 값은?

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제2

응용예제3

이차방정식 $mx^{2}-20x+n=0$의 두 근이 모두 소수가 되도록 하는 자연수 $m,\;n$의 순서쌍 $(m,\;n)$의 개수는?

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제3

응용예제4

다음은 수현이와 수지가 이차방정식 $2x^{2}+ax+b=0$을 푼 후 나눈 대화입니다. 두 사람의 대화를 읽고 물음에 답하십시오. (단, a, b는 실수입니다.)

수현: 나는 a의 값을 잘못 보고 풀어서 근이 $x=2\pm {\sqrt {3}}$이 나왔어.

수지: 나는 b의 값을 잘못 봤는데, 근이 $x={\frac {3\pm i}{4}}$가 나왔어.

두 실수 a, b의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제4

응용예제5

삼차방정식 $x^{3}+ax^{2}+8x+b=0$의 한 근이 $1-i$일 때, $a-b$의 값은? (단, a, b는 실수)

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제5

응용예제6

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2}-px+p+3=0$이 허근 $\alpha$를 가질 때, $\alpha ^{3}$이 실수가 되도록 하는 모든 실수 $p$의 값의 곱은?

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제6

응용예제7

이차방정식 $x^{2}+ax+b=0$의 한 허근을 $\alpha$라 하고, 이차방정식 $x^{2}+cx+d=0$의 한 허근을 $\beta$라 하자. $\alpha +\beta$는 순허수, $\alpha \beta$는 실수일 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a,b,c,d$는 0이 아닌 실수이고, ${\overline {z}}$는 $z$의 켤레복소수이다.)

(ㄱ) $a+c=0$

(ㄴ) ${\overline {\alpha }}\beta =\alpha {\overline {\beta }}$

(ㄷ) $b=d$

해설: mowoum:이차방정식 만들기#응용예제7