함수의 극한

Original article: Limit of a function

수열의 극한은 그의 인덱스가 자연수를 취함으로써, 자연수가 증가하는 방향으로의 극한, 즉 n → ∞일 때의 극한만을 다룹니다. 이것은 그의 인덱스가 자연수로 기인해서 생기는 문제입니다.

반면에 함수의 극한은 인수에 대해 실수를 취함으로써, x → 1와 같은 접근이 가능해 집니다. 극한에서 접근은 어떤 값에 점점 다가가는 것으로 표현되므로, 1에 접근하는 것은 두 가지 방향이 있습니다. 즉, 큰 쪽 (또는 위 쪽)에서 접근하는 경우와 작은 쪽 (아래 쪽)에서 접근하는 방법이 있습니다. 물론 접근한다는 것은 1 자체가 되지는 않지만, 계산할 때에는 1과 같습니다 ($0.{\dot {9}}$를 생각해 보십시오).

이것을 표현하는 방법은 다음과 같습니다.

$1+0$ 또는 $1+$ 또는 $1^{+}$: 1보다 크지만, 1에 점점 접근하는 상태

$1-0$ 또는 $1-$ 또는 $1^{-}$: 1보다 작지만, 1에 점점 접근하는 상태

예를 들어, f(x) = 2x + 1일 때, x → 1에서의 극한은 다음과 같이 씁니다:

$\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=3$

이것은 x = 1에서의 함숫값 f(1) = 3과 같습니다.

물론 이때에는 하나의 값을 가지기 때문에, 수열의 극한에서와 마찬가지로, x → 1에서 함수 f(x)는 수렴하고, 그의 극한은 3이라고 말합니다.

다른 예제로, 함수 $\textstyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$에 대해 x → 1에서의 극한은 얼마일까요?

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}$

이 식은 약분을 할 수 있는 경우입니다. 왜냐하면, x → 1라는 것은 1은 아니고, 따라서 x – 1은 영이 아니기 때문입니다. 그러므로 다음의 극한을 가집니다:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2$

물론 1이외의 점에서는 분모가 영이 되지 않기 때문에, 함숫값 구하듯이 대입해서 구할 수 있기 때문에 함숫값이 극한입니다.

반면에 다른 예제로, 함수 $\textstyle f(x)={\frac {1}{x-1}}$에 대해 x → 1에서의 극한은 1/0 모양이므로 값을 정할 수 없기 때문에 발산합니다.

좌극한과 우극한

간혹은 극한의 방향을 정해야 구할 수 있는 경우가 있습니다.

예를 들어 다음 함수 $\textstyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{|x-1|}}$에 대해 x → 1에서의 극한은 절댓값을 놔두고는 계산이 불가능하므로, 절댓값을 없애기 위해서 1보다 큰 경우와 1보다 작은 경우로 나누어서 생각해야 합니다.

그래서 먼저 1보다 큰 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

$\lim _{x\to 1+0}{\frac {x^{2}-1}{|x-1|}}=\lim _{x\to 1+0}{\frac {x^{2}-1}{(x-1)}}$

절댓값 안의 값이 양수이므로 그냥 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$\lim _{x\to 1+0}{\frac {x^{2}-1}{(x-1)}}=\lim _{x\to 1+0}(x+1)=2+0=2$

이것은 1보다 오른쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 우극한이라고 부릅니다.

반면에, 1보다 작은 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

$\lim _{x\to 1-0}{\frac {x^{2}-1}{|x-1|}}=\lim _{x\to 1-0}{\frac {x^{2}-1}{-(x-1)}}$

절댓값 안의 값이 음수이므로 부호를 반대로 해서 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$\lim _{x\to 1-0}{\frac {x^{2}-1}{-(x-1)}}=\lim _{x\to 1-0}-(x+1)=-2+0=-2$

이것은 1보다 왼쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 좌극한이라고 부릅니다.

이런 경우에 1에서의 극한은 어떻게 구할까요? 이전 함수에서와 다르게 어떤 점에서의 극한을 구할 때 그의 좌극한과 우극한으로 따로 구해야 할 경우에는 좌극한과 우극한이 같을 때에만 극한이 존재한다고 말합니다. 이 경우에 1에서의 극한은 존재하지 않습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 원이 $y$-축과 만나는 점을 $\mathrm {P}$, 원 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$과 만나는 점을 $\mathrm {Q}$라 하고 직선 $\mathrm {PQ}$와 $x$축이 만나는 점을 $\mathrm {R}$이라고 하자. 이때, $r$이 0에 한없이 가까워질 때, 점 $\mathrm {R}$이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하여라. (단 두 점 $\mathrm {P,Q}$의 $y$-좌표는 양수이다.)

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제1

응용예제2

그림과 같이 ${\overline {\mathrm {AB} }}=2$인 선분 $\mathrm {AB}$를 지름으로 하는 원 $O_{1}$과 반지름의 길이가 $r$인 원 $O_{2}$가 점 $\mathrm {B}$에서 내접하고 있다. 점 $\mathrm {A}$에서 원 $O_{2}$에 그은 접선의 접점을 $\mathrm {P}$, 이 접선이 원 $O_{1}$과 만나는 점 중 $\mathrm {A}$가 아닌 점을 $\mathrm {Q}$라 할 떼, $\lim _{r\rightarrow 0+}{\frac {\overline {\mathrm {PQ} }}{r}}$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제2

응용예제3

그림과 같이 ${\overline {\rm {AB}}}=2,\;\angle {\rm {{B}={\frac {\pi }{2}}}}$인 직각삼각형 ${\rm {ABC}}$에서 중심이 ${\rm {A}}$, 반지름의 길이가 1인 원이 두 선분 ${\rm {{AB},{\rm {AC}}}}$와 만나는 점을 각각 ${\rm {D,E}}$라 하자.

호 ${\rm {DE}}$의 삼등분점 중 점 ${\rm {D}}$에 가까운 점을 ${\rm {F}}$라 하고, 직선 ${\rm {AF}}$가 선분 ${\rm {AF}}$가 선분 ${\rm {BC}}$와 만나는 점을 ${\rm {G}}$라 하자.

$\angle {\rm {{BAG}=\theta }}$라 할 때, 삼각형 ${\rm {ABG}}$의 내부와 부채꼴 ${\rm {ADF}}$의 외부의 공통부분의 넓이를 $f(\theta )$, 부채꼴 ${\rm {AFE}}$의 넓이를 $g(\theta )$라 하자. $40\times \lim _{\theta \to 0+}{\frac {f(\theta )}{g(\theta )}}$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <{\frac {\pi }{6}})$ [3점] [2021학년도 수능 가형 24번]

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제3

응용예제4

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 최댓값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 14번]

(가) $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)g(x)}{x^{3}}}=2$

(나) $\lim _{x\to 0}{\frac {f(x)g(x)}{x^{2}}}=-4$

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제4

응용예제5

그림과 같이 ${\overline {\rm {AB}}}=1$, $\angle {\rm {{B}={\frac {\pi }{2}}}}$인 직각삼각형 ${\rm {ABC}}$에서 $\angle {\rm {C}}$를 이등분하는 직선과 선분 ${\rm {AB}}$의 교점을 ${\rm {D}}$, 중심이 ${\rm {A}}$이고 반지름의 길이가 ${\overline {\rm {AD}}}$인 원과 선분 ${\rm {AC}}$의 교점을 ${\rm {E}}$라 하자. $\angle {\rm {{A}=\theta \;}}$일 때, 부채꼴 ${\rm {ADE}}$의 넓이를 $S(\theta )$, 삼각형 ${\rm {BCE}}$의 넓이를 $T(\theta )$라 하자. $\lim _{\theta \to 0+}{\frac {\{S(\theta )\}^{2}}{T(\theta )}}$의 값은? [4점] [2019학년도 수능 가형 18번]

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제5

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 마름모 ${\rm {ABCD}}$가 있다. 점 ${\rm {C}}$에서 선분 ${\rm {AB}}$의 연장선에 내린 수선의 발을 ${\rm {E}}$, 점 ${\rm {E}}$에서 선분 ${\rm {AC}}$에 내린 수선의 발을 ${\rm {F}}$, 선분 ${\rm {EF}}$와 선분 ${\rm {BC}}$의 교점을 ${\rm {G}}$라 하자. $\angle {\rm {{DAB}=\theta }}$일 때, 삼각형 ${\rm {CFG}}$의 넓이를 $S(\theta )$라 하자.

$\lim _{\theta \to 0+}{\frac {S(\theta )}{\theta ^{5}}}$의 값은? (단, $0<\theta <{\frac {\pi }{2}}$) [4점] [2018학년도 수능 가형 17번]

해설: mowoum:함수의 극한#응용예제6

응용예제7

최고차항의 계수가 1이고 $f(1)=0$인 삼차함수 $f(x)$가

$\lim _{x\to 2}{\frac {f(x)}{(x-2)\left\{f'(x)\right\}^{2}}}={\frac {1}{4}}$

을 만족시킬 때, $f(x)$의 값은? [4점] [2018학년도 수능 나형 18번]

해설: mowoum:함수의_극한#응용예제7

응용예제8

네 실수 $\alpha ,\beta ,\gamma \;(\alpha <\beta <\gamma ),m$에 대하여 삼차함수 $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$와 일차함수 $g(x)=x-m$이 다음 조건을 만족시킨다.

(ㄱ) 다항식 $f(x)$를 다항식 $g(x)$로 나누었을 때 나누어떨어지지 않는다.
(ㄴ) $\lim _{x\to k}{\frac {f(x)}{f(x-2)g(x)}}$의 값이 존재하지 않는 실수 $k$의 값은 1, 3뿐이다.

이때, $f(2)+g(2)$의 값은?

해설: mowoum:함수의_극한#응용예제8

응용예제9

그림과 같이 곡선 $y={\frac {1}{2}}x^{2}$ 위의 원점이 아닌 점 ${\rm {P}}$에 대하여 원점을 지나고 $y$축 위의 점 ${\rm {Q}}$를 중심으로 하는 원 ${\rm {O_{1}}}$이 있다. 원 ${\rm {O_{1}}}$의 넓이를 $S$라고 할 때, $\lim _{x\to \infty }{\frac {\{f(x)\}^{2}}{S}}$의 값을 구하고 그 풀이 과정을 논술하시오.

해설: mowoum:함수의_극한#응용예제9