Absolute Infinite
절대적 무한(absolute Infinite, 기호: Ω)는 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 제안된 무한대(infinity)에 대한 아이디어의 확대입니다.
그것은, 임의의 생각할 수 있거나 상상도 할 수 없는 양, 유한 또는 초월유한(transfinite)보다 더 큰 숫자로써 생각될 수 있습니다.
칸토어는 절대적 무한을 신(God)과 연결시켰고,[1] 그것은 반사 원리(reflection principle)를 포함하는, 다양한 수학적(mathematical) 성질을 가지고 있다고 믿었습니다: 절대 무한의 모든 각 속성은 어떤 더 작은 대상에 대해 역시 유지됩니다.[2]
Cantor's view
칸토어는 말했습니다:
실제 무한은 세 가지 관계에 의해 구분되었습니다: 첫째, 그것이 최고의 완전성에서, 완전한 독립에서, 외계의 존재에서 실현되었기 때문에, Deo에서, 여기서 나는 그것을 절대적 무한 또는 단순히 절대적이라고 부릅니다; 두 번째 그것이 의존하는, 창조적 세계에서 표현되는 것을 확대하는 것; 세 번째 수학적 크기, 숫자 또는 순서-유형으로 생각할 때 추상에서 생각될 수 있기 때문입니다. 후자의 두 관계에서, 여기서 그것은 제한적이고 더 많은 증식을 할 수 있고 따라서 유한한 것에 친숙한 것으로 자체로 분명히 드러나며, 나는 그것을 초월-유한(Transfinitum)이라고 부르고 절대적인 것과 강하게 대조합니다.[3]
칸토어는 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에게 보낸 편지에서 역시 그 아이디어를 언급했습니다 (원본에는 대괄호 안의 텍스트가 없습니다):[6]
중복도(multiplicity)는 만약 그것이 모든 각 부분-다중도가 첫 번째 원소(element)를 가지는 조건을 충족하면 바른-순서화(well-ordered)된 것이라고 불립니다; 그러한 중복도를 나는 짧게 "수열"이라고 부릅니다.
...
이제 나는 모든 [보통의] 숫자의 시스템을 관찰하고 그것을 Ω로 표시합니다.
...
크기에 따른 자연스러운 순서에서 시스템 Ω는 "수열"입니다.
이제 이 수열에 대한 추가적인 원소로 0을 인접하고, 분명히 첫 번째 위치에 그것을 배치하겠습니다; 그런-다음 우리는 수열 Ω′을 얻습니다:
0, 1, 2, 3, ... ω0, ω0+1, ..., γ, ...
그 중에서 우리는 그것에서 발생하는 모든 각 숫자 γ가 모든 그것의 (0을 포함하여) 선행하는 원소의 수열의 유형 [즉, 순서-유형]임을 우리 스스로 쉽게 확신할 수 있습니다. (수열 Ω는 ω0+1에 대해 먼저 이 속성을 가집니다. [ω0+1는 ω0이어야 합니다.])
이제 Ω′ (그리고 따라서 역시 Ω)은 일치된 중복도이 될 수 없습니다. 만약 Ω′이 일치되면, 바른-순서화된 집합으로서, 숫자 δ는 시스템 Ω의 모든 숫자보다 더 클 것이라는 것에 해당입니다; 숫자 δ는, 어쨌든, 시스템 Ω에 역시 속하는데, 왜냐하면 그것은 모든 숫자를 포함하기 때문입니다. 따라서 δ는 δ보다 더 클 것이며, 이것은 모순입니다. 그러므로:
모든 [보통의] 숫자의 시스템 Ω는 불일치, 절대적으로 무한 중복도입니다.
The Burali-Forti paradox
모든 순서-숫자의 모음이 논리적으로 존재할 수 없다는 아이디어는 많은 사람들에게 역설적(paradoxical)으로 보입니다. 이것은 가장 큰 순서-숫자(ordinal number)가 있을 수 없다고 말하는 체사레 부랄리-포르티의 "역설"(Cesare Burali-Forti's "paradox")과 관련됩니다. 이들 모든 문제는, 논리적으로 정의될 수 있는 모든 각 속성에 대해, 해당 속성을 가진 모든 대상의 집합이 존재한다는 아이디어로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 어쨌든, (위의) 칸토어의 논증에서와 같이, 이 아이디어는 어려움을 초래합니다.
보다 일반적으로, 애드리안 윌리엄 무어(A. W. Moore)가 지적한 바와 같이, 집합(set) 형성 과정은 끝이 없을 수 있고, 따라서 모든 집합의 전체성(totality of all sets), 또는 집합 계층(set hierarchy)과 같은 것은 없습니다. 임의의 그러한 전체성은 그 자체가 집합이어야 하며, 따라서 계층(hierarchy) 내 어딘가에 놓여 있고 따라서 모든 각 집합을 포함하지 못합니다.
이 문제에 대한 표준 해결책은 체르멜로의 집합 이론(Zermelo's set theory)에서 찾을 수 있으며, 이것은 임의의 속성으로부터 집합의 비-제한된 형성을 허용하지 않습니다. 오히려, 우리는 주어진 속성을 가지고 어떤 주어진 집합에 놓여있는 (체르멜로의 분리의 공리(Axiom of Separation)) 모든 대상들의 집합을 형성할 수 있습니다. 이것은 속성에 기반한 집합의 형성을 허용하지만, 제한된 의미에서, (바라건대) 이론의 일치성을 보존합니다.
이것이 논리적 문제를 해결하는 동안, 어떤 사람은 철학적 문제는 여전히 남아 있다고 주장할 수 있습니다. 개체가 존재하는 한, 개체의 집합이 존재해야 하는 것은 당연한 것 같습니다. 사실, 소박한 집합 이론(naive set theory)은 이 개념에 기초한다고 말할 수 있습니다. 비록 체르멜로의 수정이 클래스(class)를 임의의 (아마도 "큰") 엔터디를 설명하는 것을 허용할지라도, 이러한 메타-언어(meta-language)의 술어는 이론 내에서 공식적인 존재 (즉, 집합으로)를 가지지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 모든 집합의 클래스는 적절한 클래스(proper class)가 될 것입니다. 이것은 철학적으로 어떤 것에서 불만족스럽고 집합 이론(set theory)과 윌러드 밴 오먼 콰인(Willard Van Orman Quine)의 New Foundations과 같은 수학의 기초를 공식화하는 다른 방법에 대한 추가적인 작업을 동기 부여했습니다.
See also
Notes
- ^ §3.2, Ignacio Jané (May 1995). "The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set". Erkenntnis. 42 (3): 375–402. doi:10.1007/BF01129011.
Cantor (1) took the absolute to be a manifestation of God [...] When the absolute is first introduced in Grundlagen, it is linked to God: "the true infinite or absolute, which is in God, admits no kind of determination" (Cantor 1883b, p. 175) This is not an incidental remark, for Cantor is very explicit and insistent about the relation between the absolute and God.
- ^ Infinity: New Research and Frontiers by Michael Heller and W. Hugh Woodin (2011), p. 11.
- ^ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf
Translated quote from German:
[Ca-a, p. 378].Es wurde das Aktual-Unendliche (A-U.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengstens entgegen.
- ^ Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Georg Cantor, ed. Ernst Zermelo, with biography by Adolf Fraenkel; orig. pub. Berlin: Verlag von Julius Springer, 1932; reprinted Hildesheim: Georg Olms, 1962, and Berlin: Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-09849-6.
- ^ The Rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence, I. Grattan-Guinness, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), pp. 104–139, at p. 126 ff.
- ^ Gesammelte Abhandlungen,[4] Georg Cantor, ed. Ernst Zermelo, Hildesheim: Georg Olms Verlagsbuchhandlung, 1962, pp. 443–447; translated into English in From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, ed. Jean van Heijenoort, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, pp. 113–117. These references both purport to be a letter from Cantor to Dedekind, dated July 28, 1899. However, as Ivor Grattan-Guinness has discovered,[5] this is in fact an amalgamation by Cantor's editor, Ernst Zermelo, of two letters from Cantor to Dedekind, the first dated July 28 and the second dated August 3.
Bibliography
- The role of the absolute infinite in Cantor's conception of set
- Infinity and the Mind, Rudy Rucker, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1995, ISBN 0-691-00172-3; orig. pub. Boston: Birkhäuser, 1982, ISBN 3-7643-3034-1.
- The Infinite, A. W. Moore, London, New York: Routledge, 1990, ISBN 0-415-03307-1.
- Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus, A. W. Moore, Analysis 45, #1 (January 1985), pp. 13–20.