Absorbing element

수학(mathematics)에서, 흡수하는 원소(absorbing element 또는 소멸하는 원소(annihilating element))는 해당 집합(set)에 대한 이항 연산(binary operation)에 관한 집합의 특별한 유형의 원소입니다. 흡수하는 원소를 집합의 임의의 원소와 결합한 결과는 흡수하는 원소 자체입니다. 반-그룹(semigroup) 이론에서, 흡수하는 원소는 영 원소(zero element)라고 불리는데,^[1]^[2] 왜냐하면 영의 다른 개념과 혼동의 위험이 없기 때문이며, 주목할 만한 예외와 함께: 덧셈의 표기법 아래에서 영은, 꽤 자연스럽게, 모노이드의 중립 원소를 나타낼 수 있습니다. 이 기사에서, "영 원소"와 "흡수하는 원소"는 동의어입니다.

Definition

비공식적으로, (S, •)를 (마그마(magma)로 알려진) 그것 위에 닫힌 이항 연산 •을 갖는 집합 S로 놓습니다. 영 원소는 S에서 모든 s에 대해, z • s = s • z = z를 만족하는 원소 z입니다. 정제는 왼쪽 영의 개념이며,^[2] 여기서 우리는 z • s = z임을 오직 요구하고, 오른쪽 영에서 s • z = z임을 요구합니다.

흡수하는 원소는 반-그룹, 특히 반-링(semiring)의 곱셈의 반-그룹(semigroup)에 대해 특히 흥미롭습니다. 0을 갖는 반-링의 경우에서, 흡수하는 원소의 정의는 그것이 흡수 0을 요구하는 것이 없도록 때때로 완화됩니다; 그렇지 않으면, 0이 유일한 흡수하는 원소일 것입니다.^[3]

Properties

만약 마그마가 왼쪽 영 z와 오른쪽 영 ''z′ 둘 다를 가지면, 그것은 영을 가지는데, 왜냐하면 z = z • z′ = z′이기 때문입니다.
마그마는 많아야 하나의 영 원소를 가질 수 있습니다.

Examples

흡수하는 원소의 가장 잘 알려진 예제는 기본 대수에서 비롯되며, 여기서 영에 의한 곱해진 임의의 숫자는 영입니다. 영은 따라서 흡수하는 원소입니다.
임의의 링(ring)의 영은 역시 흡수하는 원소입니다. 링 R의 원소 r에 대해, r=r(1+0)=r+r0이므로, r0=0인데, 왜냐하면 영은 링 R에서 임의의 r에 대해 r+a=r인 고유한 원소 a이기 때문입니다.
IEEE-754 표준에 정의된 것처럼 부동 점(Floating point) 산술은 Not-a-Number ("NaN")라는 특수 값을 포함합니다. 그것은 모든 연산에 대한 흡수하는 원소입니다; 즉, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, 등.
집합 X에 걸쳐 이항 관계(binary relations)의 집합은, 관계의 합성(composition of relations)과 함께, 영을 갖는 모노이드(monoid)를 형성하며, 여기서 영 원소는 빈 관계(empty relation) (빈 집합(empty set))입니다.
x • y = min(x, y)을 갖는 닫힌 구간 H = [0, 1]은 역시 영을 갖는 모노이드이고, 영 원소는 0입니다.
더 많은 예제:

도메인	연산		흡수자
실수	⋅	곱셈	0
정수		최대 공통 약수	1
n-×-n 정사각 행렬(matrices)		행렬 곱셈		모든 영들의 행렬
확장된 실수		최솟값/하한	−∞
확장된 실수		최댓값/상한	+∞
집합(Set)	∩	교집합	∅	빈 집합
집합 M의 부분집합	∪	합집합	M
부울 논리(Boolean logic)	∧	논리 곱	⊥	허위
부울 논리(Boolean logic)	∨	논리 합	⊤	진리

Notes

^ J.M. Howie, pp. 2–3
^ ^a ^b M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15
^ J.S. Golan p. 67

References

Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

External links

Absorbing element at PlanetMath

[1] J.M. Howie, pp. 2–3

[kkm-2] M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15

[3] J.S. Golan p. 67

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