Semigroup

Original article: w:Semigroup

Algebraic structures between magmas and groups: A semigroup is a magma with associativity. A monoid is a semigroup with an identity element.

수학에서, 반-그룹(semigroup)은 그것 위에 결합(associative) 내부 이항 연산(binary operation)과 함께 집합(set)으로 구성된 대수적 구조(algebraic structure)입니다.

반그룹의 이항 연산은 대부분 곱셈적으로 표시됩니다 (단지 표기법, 반드시 기본 산술 곱셈이 필요한 것은 아닙니다) : x·y, 또는 간단히 xy는 순서화된 쌍 (x, y)에 반그룹 연산을 적용한 결과를 나타냅니다. 결합성은 형식적으로 반그룹에서 모든 x, y, 및 z에 대해 (x·y)·z = x·(y·z)로 표현됩니다.

반그룹은 항등 원소 또는 역의 존재를 요구 없이 연산이 결합적이거나, 그룹의 일반화로 마그마(magmas)의 특별한 경우로 고려될 수 있습니다. 그룹 또는 마그마의 경우와 같이, 반그룹 연산이 교환적(commutative)일 필요는 없으므로, x·y가 반드시 y·x와 같을 필요는 없습니다; 결합적이지만 비-교환적인 연산의 잘 알려진 예제는 행렬 곱셈(matrix multiplication)입니다. 만약 반그룹 연산이 교환적이면, 그 반그룹은 교환 반그룹(commutative semigroup) (그룹의 유사한 경우에서 보다 덜 자주)이라고 불리거나 아벨 반그룹(abelian semigroup)이라고 불릴 수 있습니다.

모노이드(monoid)는 반그룹과 그룹 사이의 대수적 구조 중간이고, 항등 원소(identity element)를 가지는 반그룹이며, 따라서 그룹의 공리 중 하나를 제외한 모든 것을 준수합니다: 역의 존재는 모노이드에 필요하지 않습니다. 자연스러운 예제는 이항 연산으로 연쇄(concatenation)를 갖고 항등 원소로 빈 문자열을 갖는 문자열(strings)입니다. 비-빈 문자열로 제한하는 것은 모노이드가 아닌 반그룹의 예제를 제공합니다. 덧셈을 갖는 양의 정수(integers)는 모노이드가 아닌 교환 반그룹을 형성하고, 반면 비-음의 정수는 모노이드를 형성합니다. 항등 원소 없이 반그룹은 항등 원소를 단지 더함으로써 쉽게 모노이드로 바꿀 수 있습니다. 결과적으로, 모노이드는 그룹 이론보다는 반그룹의 이론에서 연구됩니다. 반그룹은 다른 방향에서 그룹의 일반화인 준그룹(quasigroups)과 혼동되어서는 안됩니다; 준그룹에서 연산은 결합적일 필요는 없지만 준그룹은 나눗셈(division)의 개념을 그룹으로부터 보존합니다; 반그룹 (또는 모노이드)에서 나눗셈은 일반적으로 가능하지 않습니다.

반그룹의 형식적인 연구는 20세기 초에 시작되었습니다. 초기 결과는 임의의 반그룹 변환 반그룹(transformation semigroup)으로 실현하는 반그룹에 대해 케일리 정리를 포함하며, 이것에서 임의적인 함수는 그룹 이론에서 전단사의 역할을 대체합니다. 유한 반그룹의 분류에서 심오한 결과는 크론–로즈 이론(Krohn–Rhodes theory)이며, 유한 그룹에 대해 조르당-횔더 분해(Jordan–Hölder decomposition)와 유사합니다. 그린의 관계(Green's relations)와 같은 반그룹을 연구하기 위한 일부 다른 기술은 그룹 이론에서 어떤 것과 닮지 않습니다.

유한 반그룹의 이론은 구문 모노이드(syntactic monoid)를 통한 유한 반그룹과 유한 오토마타(finite automata) 사이의 자연스러운 연결 때문에 1950년대 이래 이론적 컴퓨터 과학에서 특히 중요해져 왔습니다. 확률 이론(probability theory)에서, 반그룹은 마르코프 프로세스(Markov processes)와 결합됩니다. 응용 수학(applied mathematics)의 다른 영역에서, 반그룹은 선형 시간-불변 시스템에 대해 토대 모델입니다. 부분 미분 방정식(partial differential equations)에서, 반그룹은 공간 진화가 시간과 무관한 임의의 방정식과 결합됩니다.

특별한 응용 분야에 나타나는 수많은 특수 클래스의 반그룹, 덧셈 속성을 갖는 반그룹이 있습니다. 이들 클래스 중 일부는 그룹의 일부 추가 속성이 아니라 모든 속성을 나타내지 않음으로써 그룹에 더 가깝습니다. 이들 중 우리는 다음을 언급합니다: 정규 반그룹(regular semigroups), 정통적 반그룹(orthodox semigroups), 인볼루션을 갖는 반-그룹(semigroups with involution), 역 반그룹(inverse semigroups), 및 취소 반그룹(cancellative semigroups). 역시 자명한 그룹(trivial group)을 제외한 임의의 그룹을 포함하지 않는 흥미로운 반그룹의 클래스가 있습니다; 후자의 종류의 예제는 밴드(bands)와 그것들의 교환적 부분클래스—반격자(semilattices)이며, 이는 역시 순서화된 대수적 구조(ordered algebraic structures)입니다.

Definition

반그룹은 결합 속성을 만족시키는 이항 연산 "⋅" (즉, 함수 $\cdot :S\times S\rightarrow S$)와 함께 집합 $S$입니다:

모든 $a,b,c\in S$에 대해, 방정식 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$이 유지됩니다.

더 간결하게, 반그룹은 결합 마그마(magma)입니다.

Examples of semigroups

• 빈 반그룹(Empty semigroup): 빈 집합(empty set)은 이항 연산으로 빈 함수(empty function)를 갖는 반그룹을 형성합니다.
• 하나의 원소를 갖는 반그룹(Semigroup with one element): 연산 a · a = a를 갖는 본질적으로 단 하나 (구체적으로, 동형까지(up to) 단 하나), 한원소 {a}가 있습니다.
• 두 원소를 갖는 반그룹(Semigroup with two elements): 본질적으로 다른 5가지가 있습니다.
• "플립-플롭(flip-flop)" 모노이드: 스위치에 대한 세 개의 연산 - 설정, 재설정, 및 아무것도 안함을 나타내는 세 개의 원소를 갖는 반그룹.
• 덧셈을 갖는 양의 정수(integers)의 집합. (포함된 0과 함께, 이것은 모노이드(monoid)가 됩니다.)
• 최솟값 또는 최댓값을 갖는 정수(integers)의 집합. (포함된 양의/음의 무한대와 함께, 이것은 모노이드가 됩니다.)
• 행렬 곱셈을 갖는 주어진 크기의 정사각 비-음의 행렬(nonnegative matrices).
• 링의 곱셈을 갖는 링(ring)의 임의의 아이디얼(ideal).
• 반그룹 연산으로 문자열의 연쇄(concatenation)를 갖는 고정된 알파벳 Σ에 걸쳐 모든 유한 문자열의 집합 — 소위 "Σ에 걸쳐 자유 모노이드(free semigroup)". 포함된 빈 문자열과 함께, 이 반그룹은 Σ에 걸쳐 자유 모노이드(free monoid)가 됩니다.
• F의 모든 합성곱 거듭제곱(convolution powers)을 갖는 확률 분포(probability distribution) F, 이때 합성곱이 연산으로 사용됩니다. 이것은 합성곱 반그룹이라고 불립니다.
• 변환 반그룹(Transformation semigroups)과 모노이드(monoids).
• 토폴로지적 공간(topological space)에서 자체로의 함수의 합성을 갖는 연속 함수(continuous functions)의 집합은 항등원으로 항등 함수(identity function)를 갖는 모노이드를 형성합니다. 보다 일반적으로, 카테고리의 임의의 대상의 자기-사상(endomorphisms)은 합성 아래에서 모노이드를 형성합니다.
• 초평면의 배열(arrangement of hyperplanes)의 면의 곱.

Basic concepts

Identity and zero

반그룹 $S$ (또는 더 일반적으로, 마그마)의 왼쪽 항등원(left identity)은 $S$에서 모든 $x$에 대해, $e\cdot x=x$임을 만족하는 원소 $e$입니다. 마찬가지로, 오른쪽 항등원(right identity)은 $S$에서 모든 $x$에 대해 $x\cdot f=x$임을 만족하는 원소 $f$입니다. 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원은 둘 다 한-쪽 항등원(one-sided identities)이라고 불립니다. 반그룹은 하나 이상의 왼쪽 항등원을 가질 수 있지만 오른쪽 항등원은 없을 수 있고, 그 반대도 마찬가지입니다.

양-쪽 항등원(two-sided identity, 또는 그냥 항등원)은 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원 둘 다인 원소입니다. 양-쪽 항등원을 갖는 반그룹은 모노이드(monoids)라고 불립니다. 반그룹은 많아야 하나의 양-쪽 항등원을 가질 수 있습니다. 반그룹이 양-쪽 항등원을 가지고 있으면, 양-쪽 항등원은 반그룹에서 유일한 한-쪽 항등원입니다. 반그룹이 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원 둘 다를 가지고 있으면, 그것은 양-쪽 항등식을 가집니다 (이는 따라서 고유한 한-쪽 항등식입니다).

항등원 없는 반그룹 $S$는 원소 $e\notin S$를 $S$에 인접시키고 모든 $s\in S\cup \{e\}$에 대해 $e\cdot s=s\cdot e=s$를 정의함으로써 형성된 모노이드에 삽입될(embedded) 수 있습니다. 표기법 $S^{1}$은 필요하다면 항등원에 인접시킴으로써 $S$에서 얻은 모노이드를 나타냅니다(모노이드에 대해 $S^{1}=S$).

유사하게, 모든 각 마그마는 많아야 하나의 흡수 원소(absorbing element)를 가지며, 이는 반그룹 이론에서 이를 영(zero)이라고 불립니다. 위의 구성과 유사하게, 모든 각 반그룹 $S$에 대해, $S$를 삽입하는 0을 갖는 반그룹, $S^{0}$을 정의할 수 있습니다.

Subsemigroups and ideals

반그룹 연산은 그 부분집합의 모음 위에 연산을 유도합니다: 반그룹 S의 부분집합 A와 B가 주어졌을 때, 그것들의 곱 A · B는, 공통적으로 AB로 쓰이며, 집합 { ab | A에서 a와 B에서 b }.입니다. (이 개념은 그것이 그룹에 대한 것과 동일하게 정의됩니다.) 이 연산의 관점에서, 부분집합 A는 다음과 같이 불립니다:

• 만약 AA가 A의 부분집합이면 부분반그룹(subsemigroup),
• 만약 AS가 A의 부분집합이면 오른쪽 아이디얼(right ideal), 및
• 만약 SA가 A의 부분집합이면 왼쪽 아이디얼(left ideal)입니다.

만약 A가 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼 둘 다이면 그것은 아이디얼(ideal, 또는 양-쪽 아이디얼(two-sided ideal))이라고 불립니다.

만약 S가 반그룹이면, S의 부분반그룹의 임의의 모음의 교집합은 역시 S의 부분반그룹입니다. 따라서 S의 부분반그룹은 완비 격자(complete lattice)를 형성합니다.

최소 아이디얼을 가지지 않는 반그룹의 예제는 덧셈 아래에서 양의 정수의 집합입니다. 교환적(commutative) 반그룹의 최소 아이디얼은, 그것이 존재할 때, 그룹입니다.

원소가 생성하는 주요 아이디얼(principal ideals)의 관점에서 원소를 특징짓는 다섯 가지 동치 관계(equivalence relations)의 집합, 그린의 관계(Green's relations)는 반그룹의 아이디얼과 관련된 구조의 개념을 분석하는 데 중요한 도구입니다.

모든 각 원소가 반그룹의 임의의 다른 원소와 교환하는 성질을 갖는 부분집합은 반그룹의 중심(center)이라고 불립니다. 반그룹의 중심은 실제로 부분반그룹입니다.

Homomorphisms and congruences

반그룹 준동형(semigroup homomorphism)은 반그룹 구조를 보존하는 함수입니다. 두 반그룹 사이의 함수 f: S → T는 만약 다음 방정식이 S에서 모든 원소 a, b에 대해 유지되면 준동형입니다:

f(ab) = f(a)f(b).

즉, 결과가 맵 f를 적용한 뒤에 또는 전에 반그룹 연산을 수행할 때 같습니다.

모노이드 사이의 반그룹 준동형은 만약 그것이 모노이드 준동형(monoid homomorphism)이면 항등원을 보존합니다. 그러나 모노이드 준동형이 아닌 반그룹 준동형, 예를 들어, $S^{1}$으로의 항등원 없이 반그룹 $S$의 정식의 삽입이 있습니다. 모노이드 준동형을 특징짓는 조건은 더 자세히 논의됩니다. $f:S_{0}\to S_{1}$를 반그룹 준동형이라고 놓습니다. $f$의 이미지도 반그룹입니다. 만약 $S_{0}$가 항등 원소 $e_{0}$를 갖는 모노이드이면, $f(e_{0})$는 $f$의 이미지에서 항등 원소입니다. 만약 $S_{1}$도 항등 원소 $e_{1}$을 갖는 모노이드이고 $e_{1}$이 $f$의 이미지에 속하면, $f(e_{0})=e_{1}$, 즉, $f$는 모노이드 준동형입니다. 특히, $f$가 전사적(surjective)이면 그것은 모노이드 준동형입니다.

두 개의 반그룹 S와 T는 만약 전단사(bijective) 반그룹 준동형 f : S → T가 존재하면 동형적(isomorphic)이라고 말합니다. 동형적 반그룹은 같은 구조를 가집니다.

반그룹 합동(semigroup congruence) $\sim$은 반그룹 연산과 호환되는 동치 관계(equivalence relation)입니다. 즉, 동치 관계인 부분집합 $\sim \;\subseteq S\times S$이고 $x\sim y\,$와 $u\sim v\,$는 S에서 모든 각 $x,y,u,v$에 대해 $xu\sim yv\,$를 의미합니다. 임의의 동치 관계와 마찬가지로, 반그룹 합동 $\sim$은 다음 합동 클래스(congruence classes)를 유도합니다:

$[a]_{\sim }=\{x\in S\mid x\sim a\}$

그리고 반그룹 연산은 다음 합동 클래스 위에 이항 연산 $\circ$을 유도합니다:

$[u]_{\sim }\circ [v]_{\sim }=[uv]_{\sim }$

$\sim$가 합동이기 때문에, $\sim$의 모든 합동 클래스의 집합은 $\circ$를 갖는 반그룹을 형성하며, 몫 반그룹(quotient semigroup) 또는 인수 반그룹(factor semigroup)이라고 불리고, $S/\!\!\sim$로 표시됩니다. 매핑 $x\mapsto [x]_{\sim }$는 몫 맵(quotient map), 정식의 전사(canonical surjection) 또는 투영(projection)이라고 불리는 반그룹 준동형입니다; 만약 S가 모노이드이면 몫 반그룹은 항등원 $[1]_{\sim }$를 갖는 모노이드입니다. 반대로, 임의의 반그룹 준동형의 커널(kernel)은 반그룹 합동입니다. 이들 결과는 보편 대수에서 첫 번째 동형 정리의 특정화에 지나지 않습니다. 합동 클래스와 인수 모노이드는 문자열 다시-쓰기 시스템에서 연구의 대상입니다.

S 위에 핵 합동(nuclear congruence)은 S의 자기-사상(endomorphism)의 커널이 되는 것입니다.

반그룹 S는 만약 포함에 의해 순서화된 S 위의 합동의 임의의 가족이 최대 원소를 가지면 합동 위에 최대 조건(maximal condition on congruences)을 만족시킵니다. 조온의 보조정리(Zorn's lemma)에 의해, 이것은 오름 체인 조건(ascending chain condition)이 유지한다고 말하는 것과 같습니다: S 위에 합동의 무한히 엄격하게 오름 체인은 없습니다.

반그룹의 모든 각 아이디얼 I는 x = y, 또는 x와 y 둘 다가 I 안에 있으면 x ρ y로 정의된 합동 ρ를 통해 인수 반그룹, 리스 인수 반그룹(Rees factor semigroup)을 유도합니다.

Quotients and divisions

다음 개념은 반그룹이 또 다른 반그룹에 포함되어 있다는 아이디어를 소개합니다.

반그룹 T는 만약 S에서 T로의 전사 반그룹 사상이 있으면 반그룹 S의 몫입니다. 예를 들어, $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,+)$는 정수의 나머지 모듈로 2를 취하여 구성된 사상을 사용하여 $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,+)$의 몫입니다.

반그룹 T는 반그룹 S를 나누고, 만약 T가 부분반그룹 S의 몫이면 $T\preceq S$로 표기합니다. 특히, S의 부분반그룹은 T를 나누지만, 그것이 반드시 S의 몫이 있다는 경우는 아닙니다.

그것들 관계의 둘 다는 전이적입니다.

Structure of semigroups

S의 임의의 부분집합 A에 대해 A를 포함하는 S의 가장 작은 부분반그룹 T가 있고, A가 T를 생성한다고 말합니다. S의 단일 원소 x는 부분반그룹 { xⁿ | n ∈ Z⁺ }를 생성합니다. 만약 이것이 유한이면, x는 유한 차수(finite order)라고 말하고, 그렇지 않으면 무한 차수(infinite order)라고 말합니다. 반그룹은 만약 모든 그것의 원소가 유한 순서이면 주기적(periodic)이라고 말합니다. 단일 원소에 의해 생성된 반그룹은 단일-생성(monogenic, 또는 순환(cyclic))이라고 말합니다. 만약 단생-생성 반그룹이 무한이면, 그것은 덧셈의 연산을 갖는 양의 정수의 반그룹과 동형적입니다. 만약 그것이 유한이고 비-빈이면, 그것은 적어도 하나의 거듭상등(idempotent)을 포함해야 합니다. 따라서 모든 각 비-빈 주기적 반그룹은 적어도 하나의 거듭-상등을 가집니다.

그룹이기도 한 부분반그룹은 부분그룹(subgroup)이라고 불립니다. 반그룹의 부분그룹과 그것의 거듭-상등 사이에는 밀접한 관계가 있습니다. 각 부분그룹은 정확하게 하나의 거듭상등, 즉 부분그룹의 항등 원소를 포함합니다. 반그룹의 각 거듭상등 e에 대해, e를 포함하는 고유한 최대 부분그룹이 있습니다. 각 최대 부분그룹은 이러한 방법에서 발생하므로, 거듭상등과 최대 부분그룹 사이에 일-대-일 대응이 있습니다. 여기서 최대 부분그룹(maximal subgroup)이라는 용어는 그룹 이론에서 그것의 표준 사용과 다릅니다.

순서가 유한할 때 더 자주 말할 수 있습니다. 예를 들어, 모든 각 비-빈 유한 반그룹은 주기적이고, 최소 아이디얼(ideal)과 적어도 하나의 거듭상등을 가집니다. 주어진 크기 (1보다 큼)의 유한 반그룹의 개수는 (분명히) 같은 크기의 그룹의 개수보다 큽니다. 예를 들어, 2개의 원소 {a, b}의 집합에 대한 16개의 가능한 "곱셈 테이블" 중에서, 8개는 반그룹을 형성하고, 반면에 이들 중 4개만 모노이드를 형성하고 2개만 그룹을 형성합니다. 유한 반그룹의 구조에 대한 자세한 내용에 대해 크론–로즈 이론(Krohn–Rhodes theory)을 참조하십시오.

Special classes of semigroups

Main article: Special classes of semigroups

• 모노이드(monoid)는 항등 원소(identity element)를 갖는 반그룹입니다.
• 그룹(group)은 모든 각 원소가 역 원소(inverse element)를 가지는 모노이드입니다.
• 부분반그룹(subsemigroup)은 반그룹 연산 아래에서 닫혀 있는 반그룹의 부분집합(subset)입니다.
• 취소 반그룹(cancellative semigroup)은 취소 속성(cancellation property)을 가지는 것입니다: a · b = a · c는 b = c를 의미하고 b · a = c · a에 대해 유사합니다. 모든 각 그룹은 취소 반그룹이고, 모든 각 유한 취소 반그룹은 그룹입니다.
• 밴드(band)는 그 연산이 거듭상등(idempotent)인 반그룹입니다.
• 반격자(semilattice)는 그 연산이 거듭상등이고 교환적(commutative)인 반그룹입니다.
• 0-단순(0-simple) 반그룹.
• 변환 반그룹(Transformation semigroups): 임의의 유한 반그룹 S는 많아야 |S| + 1 상태의 (상태-) 집합 Q의 변환에 의해 나타낼 수 있습니다. 그런-다음 S의 각 원소 x는 Q를 자체로 x: Q → Q 매핑하고 수열 xy는 Q에서 각 q에 대해 q(xy) = (qx)y에 의해 정의됩니다. 명확하게 순서-짓는 것은 결합적 연산이고, 여기서 함수 합성(function composition)과 동등합니다. 이 표현은 임의의 자동기계(automaton) 또는 유한-상태 기계(finite-state machine, FSM)에 대해 기본적입니다.
• 쌍주기 반그룹(bicyclic semigroup)은 사실 pq = 1 관계 아래에서 두 생성기 p와 q 위의 자유 반그룹(free semigroup)으로 설명될 수 있는 모노이드입니다.
• C₀-반그룹(C₀-semigroups).
• 정규 반그룹(Regular semigroups). 모든 각 원소 x는 xyx=x와 yxy=y를 만족시키는 적어도 하나의 역 y를 가집니다; 원소 x와 y는 때때로 "서로 역(mutually inverse)"이라고 불립니다.
• 역 반그룹(Inverse semigroups)은 모든 각 원소가 정확하게 하나의 역을 가지는 정규 반그룹입니다. 대안적으로, 정규 반그룹이 역이 있는 것과 임의의 두 거듭상등은 교환하는 것은 필요충분 조건입니다.
• 아핀 반그룹(Affine semigroup): Z^d의 유한하게-생성된 부분반그룹과 동형적인 반그룹. 이들 반그룹은 교환 대수(commutative algebra)에 응용을 가집니다.

Structure theorem for commutative semigroups

반격자(semilattices)의 관점에서 교환 반그룹에 대한 구조 정리가 있습니다. 반격자 (또는 더 정확하게 반격자-만남) $(L,\leq )$는 원소 $a,b\in L$의 모든 각 쌍이 $a\wedge b$로 표시되는 최대 아래쪽 경계(greatest lower bound)를 가지는 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)입니다. 연산 $\wedge$는 $L$을 추가적인 거듭상등(idempotence) 법칙 $a\wedge a=a$를 만족시키는 반그룹으로 만듭니다.

임의적인 반그룹에서 반격자로의 준동형 $f:S\to L$이 주어지면, 각 역 이미지 $S_{a}=f^{-1}\{a\}$는 (아마도 빈) 반그룹입니다. 게다가, $S$는 다음과 같은 의미에서 $L$에 의해 등급화(graded) 됩니다.

$S_{a}S_{b}\subseteq S_{a\wedge b}.$

만약 $f$가 위로의(onto)이면, 반격자 $L$은 $x\sim y$인 것과 $f(x)=f(y)$인 것이 필요충분 조건임을 만족하는 동치 관계 $\sim$에 의해 $S$의 몫(quotient)과 동형적입니다. 이 동치 관계는 위에서 정의한 대로 반그룹 합동입니다.

합동에 의해 교환 반그룹의 몫을 취할 때마다, 또 다른 교환 반그룹을 얻습니다. 구조 정리는 임의의 교환 반그룹 $S$에 대해, 이 동치 관계에 의한 $S$의 몫이 반격자임을 만족하는 가장 미세한 합동이 있다고 말합니다. 이 반격자를 $L$로 표시하여, $S$에서 $L$위로의 준동형 $f$를 얻습니다. 언급한 바와 같이, $S$는 이 반격자에 의해 등급화됩니다.

게다가, 성분 $S_{a}$는 모두 아르키메데스 반그룹(Archimedean semigroups)입니다. 아르키메데스 반그룹은 원소 $x,y$의 쌍이 주어지면, $x^{n}=yz$임을 만족하는 원소 $z$와 $n>0$이 존재하는 것입니다.

아르키메데스 속성은 반격자 $L$에서 순서화로부터 바로 이어지는데, 왜냐하면 이 순서화와 함께 $f(x)\leq f(y)$를 가지는 것과 일부 $z$와 $n>0$에 대해 $x^{n}=yz$인 것은 필요충분 조건이기 때문입니다.

Group of fractions

반그룹 S의 분수의 그룹(group of fractions) 또는 그룹 완비(group completion)는 생성자로서 S의 원소와 관계(relations)로서 S에서 참을 유지하는 모든 방정식 xy = z에 의해 생성된 그룹(group) G = G(S)입니다. S의 각 원소를 대응하는 생성기로 보내는 명백한 반그룹 준동형 j : S → G(S)이 있습니다. 이것은 S에서 그룹으로의 사상에 대해 보편적인 속성(universal property)을 가지고 있습니다: 임의의 그룹 H와 임의의 반그룹 준동형 k : S → H가 주어지면, k=fj를 갖는 고유한 그룹 준동형(group homomorphism) f : G → H가 존재합니다. 우리는 G를 S의 준동형적 이미지를 포함하는 "가장 일반적인" 그룹으로 생각할 수 있습니다.

중요한 질문은 이 맵이 삽입이라는 그것들의 반그룹을 특성화하는 것입니다. 이것이 항상 그런 것은 아닙니다: 예를 들어, S를 이항 연산으로 집합-이론적 교집합(set-theoretic intersection)을 갖는 일부 집합 X의 부분집합의 반그룹으로 취합니다 (이는 반격자의 예제입니다). A.A = A가 S의 모든 원소에 대해 유지되기 때문에, 이것은 G(S)의 모든 생성자에 대해서도 참이어야 합니다: 이는 따라서 자명한 그룹(trivial group)입니다. S가 취소 속성(cancellation property)을 가진다는 것은 삽입-가능성을 위해 분명히 필요합니다. S가 교환적일 때 이 조건은 역시 충분이고 반그룹(semigroup)의 그로텐디크 그룹(Grothendieck group)은 분수의 그룹의 구성을 제공합니다. 비-교환 반그룹에 대한 문제는 반그룹에 대한 첫 번째 실질적인 논문으로 추적될 수 있습니다. 아나톨리 말트체게프(Anatoly Maltsev)는 1937년에 삽입-가능성에 대한 필요충분조건을 제시했습니다.

Semigroup methods in partial differential equations

Further information: C0-semigroup

반그룹 이론은 부분 미분 방정식(partial differential equations)의 분야에서 일부 문제를 연구하기 위해 사용할 수 있습니다. 대략적으로 말하면, 반그룹 접근 방식은 시간-종속적 부분 미분 방정식을 함수 공간 위에 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)으로 고려하는 것입니다. 예를 들어, 공간 구간(interval) (0, 1) ⊂ R과 시간 t ≥ 0 위에 열 방정식(heat equation)에 대한 다음 초기/경계 값 문제를 생각해 보십시오:

${\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}$

X = L²((0, 1) R)를 도메인 구간 (0, 1)을 갖는 제곱-적분가능 실수-값 함수의 L^p 공간(L^p space)으로 놓고 A를 다음 도메인(domain)을 갖는 두 번째-도함수 연산자라고 놓습니다:

$D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},$

여기서 H²는 소볼레프 공간(Sobolev space)입니다. 그런-다음 위의 초기/경계 값 문제는 공간 X 위의 보통의 미분 방정식에 대한 초기 값 문제로 해석될 수 있습니다:

${\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}$

휴리스틱 수준에서, 이 문제에 대한 해는 u(t) = exp(tA)u₀이어야 합니다. 어쨌든, 엄격한 처리를 위해, 의미는 tA의 지수(exponential)에 부여되어야 합니다. t의 함수로서, exp(tA)는 X에서 자체로의 연산자의 반그룹이며, 시간 t = 0에서 초기 상태 u₀을 시간 t에서 상태 u(t) = exp(tA)u₀으로 가져갑니다. 연산자 A는 반그룹의 무한소 생성기(infinitesimal generator)라고 말합니다.

History

반그룹의 연구는 그룹(groups) 또는 링(rings)과 같은 더 복잡한 공리를 갖는 다른 대수적 구조의 연구보다 뒤처졌습니다. 많은 출처는 그 용어 (프랑스어)의 최초 사용을 1904년 J.-A. de Séguier in Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (추상 그룹 이론의 원론)으로 공인합니다. 그 용어는 1908년 영어로 Harold Hinton의 Theory of Groups of Finite Order로 사용되었습니다.

Anton Sushkevich는 반그룹에 대한 최초의 비-자명한 결과를 얻었습니다. 그의 1928년 논문 "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit" ("고유한 역가능성의 규칙 없이 유한 그룹에 관하여")는 유한 단순 반그룹(simple semigroups)의 구조를 결정하고 유한 반그룹의 최소 아이디얼 (또는 그린의 관계 J-클래스)이 간단한 것임을 보였습니다. 그 시점부터, David Rees, James Alexander Green, Evgenii Sergeevich Lyapin, Alfred H. Clifford, 및 Gordon Preston에 의해 반그룹 이론의 토대가 더 많이 놓였습니다. 후자의 두 사람은 각각 1961년과 1967년에 반그룹 이론에 관한 2권짜리 모노그래프를 출판했습니다. 1970년에, Semigroup Forum (현재 Springer Verlag에 의해 편집됨)이라는 새로운 정기 간행물은 전적으로 반그룹 이론에 전념하는 몇 안 되는 수학 저널 중 하나가 되었습니다.

반그룹의 표현 이론(representation theory)은 1963년 Boris Schein에 의해 집합 A 위의 이항 관계(binary relations)와 반그룹 곱에 대해 관계의 합성(composition of relations)을 사용하여 개발되었습니다. 1972년 대수적 회의에서 Schein은 A 위의 관계의 반그룹, B_A에 대한 문헌을 조사했습니다. 1997년 Schein과 Ralph McKenzie는 모든 각 준그룹이 이항 관계의 전이적 반그룹과 동형적임을 입증했습니다.

최근 몇 년 동안 이 분야의 연구자들은 대수적 오토마타 이론(algebraic automata theory), 특히 유한 오토마타에 대해, 및 역시 함수형 해석(functional analysis)의 응용에 초점을 맞춘 논문뿐만 아니라 역 반그룹(inverse semigroups)과 같은 반그룹의 중요한 클래스에 나타나는 전용 논문으로 더욱 전문화되었습니다.

Generalizations

Group-like structures

	Totality	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

만약 반그룹의 결합성 공리가 버려지면, 결과는 마그마(magma)이며, 이는 닫힌 M × M → M인 이항 연산(binary operation)을 갖춘 집합 M에 지나지 않습니다.

다른 방향으로 일반화하여, n-항 반그룹(n-ary semigroup, 역시 n-semigroup, polyadic semigroup 또는 multiary semigroup)은 이항 연산 대신 n-항 연산을 갖는 반그룹을 집합 G로의 일반화입니다. 결합 법칙은 다음과 같이 일반화됩니다: 삼항 결합성은 (abc)de = a(bcd)e = ab(cde), 즉, 세 개의 인접한 원소를 갖는 괄호-묶인 문자열 abcde입니다. N-항 결합성은 임의의 괄호-묶인 n개의 인접한 원소를 갖는 길이 n + (n − 1)의 문자열입니다. 2-항 반그룹은 반그룹일 뿐입니다. 추가적인 공리는 n-항 그룹(n-ary group)으로 이어집니다.

세 번째 일반화는 이항 관계가 총체적이어야 한다는 요구 사항이 해제되는 반그룹형(semigroupoid)입니다. 카테고리가 같은 방법으로 모노이드를 일반화함에 따라, 반그룹형은 카테고리와 매우 유사하게 작동하지만 항등원이 없습니다.

교환 반그룹(commutative semigroups)의 무한-항 일반화는 때때로 다양한 저자에 의해 고려되어 왔습니다.

See also

• Absorbing element
• Biordered set
• Empty semigroup
• Generalized inverse
• Identity element
• Light's associativity test
• Quantum dynamical semigroup
• Semigroup ring
• Weak inverse

References

General references

• Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (1961). The Algebraic Theory of Semigroups. Vol. 1. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0271-7. Zbl 0111.03403.
• Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. The algebraic theory of semigroups. Vol. 2. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Grillet, Pierre Antoine (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-9662-4. Zbl 0830.20079.
• Grillet, Pierre Antoine (2001). Commutative Semigroups. Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-7067-3. Zbl 1040.20048.
• Hollings, Christopher (2009). "The Early Development of the Algebraic Theory of Semigroups". Archive for History of Exact Sciences. 63 (5): 497–536. doi:10.1007/s00407-009-0044-3.
• Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1493-1. Zbl 1317.20001.
• Petrich, Mario (1973). Introduction to Semigroups. Charles E. Merrill. ISBN 978-0-675-09062-9. Zbl 0321.20037.

Specific references

• Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. Vol. II (2nd ed.). Wiley. MR 0270403.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974). Functional analysis and semi-groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0821874646. MR 0423094.
• Suschkewitsch, Anton (1928). "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit". Mathematische Annalen. 99 (1): 30–50. doi:10.1007/BF01459084. hdl:10338.dmlcz/100078. ISSN 0025-5831. MR 1512437.
• Kantorovitz, Shmuel (2009). Topics in Operator Semigroups. Springer. ISBN 978-0-8176-4932-6. Zbl 1187.47003.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lawson, Mark V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7. Zbl 1079.20505.
• Lothaire, M. (2011) [2002]. Algebraic combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 90. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183.