Magma (algebra)

추상 대수학(abstract algebra)에서 마그마(magma, binar,^[1] 또는, 드물게, groupoid)는 기본 유형의 대수적 구조(algebraic structure)입니다. 구체적으로, 마그마는 정의에 의해 닫혀 있어야 하는 단일 이항 연산(binary operation)을 갖춘 집합(set)으로 구성됩니다. 다른 속성은 부과되지 않습니다.

History and terminology

용어 groupoid는 1927년 Heinrich Brandt에 의해 그의 Brandt groupoid (독일 Gruppoid에서 번역됨)를 설명하면서 도입되었습니다. 그 용어는 B. A. Hausmann과 Øystein Ore (1937)에 의해 이 기사에서 사용된 (이항 연산을 갖는 집합의) 의미로 차용되었습니다.^[2] Zentralblatt에서 후속 논문에 대한 몇 가지 리뷰에서, Brandt는 이러한 용어의 과부하에 강력하게 동의하지 않았습니다. Brandt groupoid는 카테고리 이론에서 사용되는 의미에서 groupoid이지만, Hausmann and Ore에 의해 사용되는 의미에서는 그렇지 않습니다. 그럼에도 불구하고, Clifford와 Preston (1961) 및 Howie (1995)를 포함하여 반그룹 이론의 영향력 있는 책들은 Hausmann과 Ore의 의미에서 groupoid를 사용합니다. Hollings (2014)는 groupoid라는 용어가 카테고리 이론에서 그것에 주어진 의미에서 "현대 수학에서 아마도 가장 자주 사용된다"고 썼습니다.^[3]

Bergman과 Hausknecht (1996)에 따르면: "반드시 결합 이항 연산이 아닌 집합에 대해 일반적으로 허용되는 단어는 없습니다. 단어 groupoid는 많은 보편적 대수학자들에 의해 사용되지만, 카테고리 이론과 관련 분야의 종사자들은 이 사용에 강력하게 반대하는데 왜냐하면 그들은 '모든 사상이 역-가능인 카테고리'를 의미하기 위해 같은 단어를 사용하기 때문입니다. 용어 magma는 Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]에 의해 사용되었습니다."^[4] 그것은 부르바키(Bourbaki)의 Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970에도 나타납니다.^[5]

Definition

마그마는 임의의 두 원소(elements) a, b ∈ M을 또 다른 원소 a • b ∈ M으로 보내는 연산(operation) •과 일치하는 집합(set) M입니다. 기호 •는 적절하게 정의된 연산에 대한 일반적인 자리-표시자입니다. 마그마로 인정되기 위해, 집합과 연산 (M, •)은 다음 요구 사항을 만족시켜야 합니다 (마그마 또는 클로저 공리(magma 또는 closure axiom)라고 알려져 있습니다):

M에서 모든 a, b에 대해, 연산 a • b의 결과는 역시 M에 있습니다.

그리고 수학적 표기법에서:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

만약 •가 대신 부분 연산(partial operation)이면, (M, •)는 부분 마그마(partial magma^[6] 또는, 덜 자주, partial groupoid)라고 불립니다.^[6]^[7]

Morphism of magmas

마그마의 사상(morphism)은 이항 연산을 보존하는 마그마 M을 마그마 N으로 매핑하여 함수 f : M → N입니다:

f (x •_M y) = f(x) •_N f(y),

여기서 •_M과 •_N은 각각 M과 N 위에 이항 연산을 나타냅니다.

Notation and combinatorics

마그마 연산은 반복적으로 적용될 수 있고, 일반적으로, 비-결합적 경우, 순서가 중요하며, 괄호로 표기한다. 역시, 연산 •은 종종 생략되고 병치에 의해 표시됩니다:

(a • (b • c)) • d \equiv (a (bc)) d .

속기는 종종 괄호의 수를 줄이기 위해 사용되며, 이것에서 가장 안쪽 연산과 괄호 쌍은 생략되고, 병치로 대체됩니다: $xy • z \equiv (x • y) • z$ . 예를 들어, 위의 내용은 여전히 괄호를 포함하는 다음 식으로 축약됩니다:

(a • bc) d .

괄호 사용을 완전하게 피하는 방법은 같은 표현을 $•• a • bcd$ 로 쓰는 접두사 표기법(prefix notation)입니다. 프로그래머에게 친숙한 또 다른 방법은 같은 표현식이 $abc •• d •$ 로 작성되는 후위 표기법(postfix notation, 역 폴란드 표기법)으로, 이것에서 실행 순서는 단순히 왼쪽-에서-오른쪽 (커링 없음)입니다.

마그마의 원소를 나타내는 기호와 균형-잡힌 괄호의 집합으로 구성된 모든 가능한 문자열의 집합은 Dyck language라고 불립니다. 마그마 연산자의 $n$ 응용을 쓰는 다양한 방법의 전체 개수는 카탈랑 숫자(Catalan number) $C n$ 에 의해 지정됩니다. 따라서, 예를 들어, $C 2 = 2$ 는 $(ab) c$ 와 $a (bc)$ 가 마그마의 세 가지 원소를 두 가지 연산과 쌍을 이루는 유일한 두 가지 방법이라는 명제일 뿐입니다. 덜 자명하게, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab)(cd)$ , $a ((bc) d)$ , 및 $a (b (cd))$ .

$n$ 개의 원소를 갖는 $n n 2$ 개의 마그마가 있으므로, 0, 1, 2, 3, 4, ... 원소를 갖는 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (OEIS에서 수열 A002489) 마그마가 있습니다. 비-동형적 마그마의 대응하는 숫자는 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (OEIS에서 수열 A001329)이고 동시에 비-동형적 및 반-동형적 마그마의 숫자는 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (OEIS에서 수열 A001424)입니다.^[8]

Free magma

집합 X 위에 자유 마그마(free magma) M_X는 X에 의해 생성된 "가장 일반적으로 가능한" 마그마입니다 (즉, 생성기 위에 부과된 관계나 공리가 없습니다; 자유 대상(free object) 참조). M_X 위에 이항 연산은 두 피연산자를 각각 괄호로 묶고 같은 순서로 병치함으로써 구성됩니다. 예를 들어:

a • b = (a)(b),

a • (a • b) = (a)((a)(b)),

(a • a) • b = ((a)(a))(b).

M_X는 괄호가 유지된 X 위에 비-결합 단어의 집합으로 설명될 수 있습니다.^[9]

그것은 역시 컴퓨터 과학(computer science)에 익숙한 용어에서 X의 원소에 의해 이름-지정된 잎을 갖는 이진 트리(binary trees)의 마그마로 볼 수 있습니다. 연산은 루트에서 트리를 결합하는 것입니다. 그것은 따라서 구문(syntax)에서 토대적인 역할을 합니다.

자유 마그마는 만약 f : X → N이 X에서 임의의 마그마 N으로의 함수이면, 마그마 f ′ 의 사상으로의 f의 고유한 확장이 있음을 만족하는 보편적인 속성(universal property)을 가집니다:

f ′ : M_X → N.

Types of magma

마그마는 이를테면 자주 연구되지 않습니다; 대신, 연산이 충족해야 하는 공리에 따라 여러 종류의 마그마가 있습니다. 공통적으로 연구되는 마그마 유형은 다음과 같습니다:

준-그룹(Quasigroup): 나눗셈(division)이 항상 가능한 마그마(magma).
- 루프(Loop): 항등 원소(identity element)를 갖는 준-그룹(quasigroup).
반-그룹(Semigroup): 연산이 결합적(associative)인 마그마(magma).
- 모노이드(Monoid): 항등 원소를 갖는 반-그룹(semigroup).
역 반-그룹(Inverse semigroup): 역(inverse)을 갖는 반-그룹(semigroup). (역시 결합성을 갖는 준-그룹(quasigroup))
그룹(Group): 역, 결합성, 및 항등 원소를 갖는 마그마(magma).

나눔-가능성과 역-가능성 각각은 취소 속성(cancellation property)을 의미함을 주목하십시오.

Magmas with commutativity

교환 마그마(Commutative magma): 교환성을 갖는 마그마(magma).
교환 모노이드(Commutative monoid): 교환성을 갖는 모노이드(monoid).
아벨 그룹(Abelian group): 교환성을 갖는 그룹(group).

Classification by properties

Group-like structures
	Totality^α	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

A magma $(S, •)$ , with $x, y, u, z$ ∈ $S$ , is called

Medial: If it satisfies the identity $xy • uz \equiv xu • yz$
Left semimedial: If it satisfies the identity $xx • yz \equiv xy • xz$
Right semimedial: If it satisfies the identity $yz • xx \equiv yx • zx$
Semimedial: If it is both left and right semimedial
Left distributive: If it satisfies the identity $x • yz \equiv xy • xz$
Right distributive: If it satisfies the identity $yz • x \equiv yx • zx$
Autodistributive: If it is both left and right distributive
Commutative: If it satisfies the identity $xy \equiv yx$
Idempotent: If it satisfies the identity $xx \equiv x$
Unipotent: If it satisfies the identity $xx \equiv yy$
Zeropotent: If it satisfies the identities $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Alternative: If it satisfies the identities $xx • y \equiv x • xy$ and $x • yy \equiv xy • y$
Power-associative: If the submagma generated by any element is associative
Flexible: if $xy • x \equiv x • yx$
A semigroup, or associative: If it satisfies the identity $x • yz \equiv xy • z$
A left unar: If it satisfies the identity $xy \equiv xz$
A right unar: If it satisfies the identity $yx \equiv zx$
Semigroup with zero multiplication, or null semigroup: If it satisfies the identity $xy \equiv uv$
Unital: If it has an identity element
Left-cancellative: If, for all $x, y, z$ , relation $xy = xz$ implies $y = z$
Right-cancellative: If, for all $x, y, z$ , relation $yx = zx$ implies $y = z$
Cancellative: If it is both right-cancellative and left-cancellative
A semigroup with left zeros: If it is a semigroup and it satisfies the identity $xy \equiv x$
A semigroup with right zeros: If it is a semigroup and it satisfies the identity $yx \equiv x$
Trimedial: If any triple of (not necessarily distinct) elements generates a medial submagma
Entropic: If it is a homomorphic image of a medial cancellation magma.^[11]

Category of magmas

Mag로 표시된 마그마의 카테고리는 대상이 마그마이고 사상(morphisms)이 마그마 준동형(magma homomorphisms)인 카테고리(category)입니다. 카테고리 Mag는 직접 곱을 가지고, 투영(projection) $x T y = y$ 에 의해 주어진 연산(operations)을 갖는 자명한 마그마로 포함 함수자(inclusion functor): Set → Med ↪ Mag가 있습니다.

중요한 속성은 단사 자기-사상(endomorphism)이 단지 자기-사상(의 상수 수열)의 공동-극한(colimit), 마그마 확장(extension)의 자기-동형(automorphism)으로 확장될 수 있다는 것입니다.

한원소(singleton) $({*}, *)$ 가 Mag의 끝 대상(terminal object)이기 때문이고, Mag가 대수적(algebraic)이기 때문에, Mag는 뾰족하고 완비(complete)입니다.^[12]

References

^ Bergman, Clifford (2011), [[[:Template:GBurl]] Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics], CRC Press, ISBN 978-1-4398-5130-2 {{citation}}: Check |url= value (help)
^ Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362.
^ Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, pp. 142–143, ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, p. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7.
^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, p. 1, ISBN 978-3-540-64243-5.
^ ^a ^b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, eds. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, p. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9.
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^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.

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