Accumulation point

수학(mathematics)에서, 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 에서 집합(set) $S$ 의 극한 점(limit point, 누적 점(accumulation point) 또는 클러스터 점(cluster point)은 $X$ 위에 토폴로지(topology)에 관한 $x$ 의 모든 각 이웃(neighbourhood)이 역시 $x$ 자체가 아닌 $S$ 의 점을 포함한다는 의미에서 $S$ 의 점으로 "근사화"될 수 있는 점 $x$ 입니다. 집합 $S$ 의 극한 점은 자체로 $S$ 의 원소일 필요는 없습니다. 수열에 대해 밀접하게 관련된 개념도 있습니다. 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 에서 수열(sequence) $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 의 클러스터 점(cluster point) 또는 누적 점(accumulation point)은 $x$ 의 모든 각 이웃 $V$ 에 대해, $x_{n}\in V$ 를 만족하는 무한하게 많은 자연수 $n$ 이 있음을 만족하는 점 $x$ 입니다. 수열의 클러스터 점 또는 누적 점의 이러한 정의는 네트(nets)와 필터(filters)로 일반화합니다.

정의에 의해 수열의 극한 점(limit point of a sequence)^[1] (각각, 필터의 극한 점,^[2] 네트의 극한 점)의 비슷하게 이름-지은 개념은 수열이 수렴하는 (각각 필터가 수렴하는, 네트가 수렴하는) 점을 참조합니다. 중요하게, 비록 "집합의 극한 점"이 "집합의 클러스터/누적 점"과 동의어이지만, 이것은 수열 (네트 또는 필터)에 대해 참이 아닙니다. 즉, "수열의 극한 점"이라는 용어는 "수열의 클러스터/누적 점"과 동의어가 아닙니다.

집합의 극한 점은 $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 점 (즉, 집합의 클로저(closure)에 속하는 임의의 점)을 포함하는 밀착 점(adherent points, 역시 클로저의 점이라고 불림)과 혼동해서는 안 됩니다. 극한 점과 달리, $S$ 의 밀착 점은 $x$ 자체일 수 있습니다. 극한 점은 고립된 점(isolated point)이 아닌 밀착 점으로 특징지을 수 있습니다.

집합의 극한 점은 역시 경계 점(boundary points)과 혼동해서는 안 됩니다. 예를 들어, $0$ 은 표준 토폴로지(standard topology)를 갖는 $\mathbb {R}$ 에서 집합 $\{0\}$ 의 경계 점입니다 (그러나 극한 점은 아닙니다). 어쨌든, $0.5$ 는 표준 토폴로지를 갖는 $\mathbb {R}$ 에서 구간 $[0,1]$ 의 극한 점입니다 (그러나 경계 점은 아닙니다, 극한 점의 덜 자명한 예제에 대해, 첫 번째 캡션을 참조하십시오).^[3]^[4]^[5]

이 개념은 극한(limit)의 개념을 유리하게 일반화하고 닫힌 집합(closed set)과 토폴로지적 클로저(topological closure)와 같은 개념의 토대가 됩니다. 실제로 집합이 닫혀 있는 것과 그것이 모든 그것의 극한 점을 포함하는 것은 필요충분 조건이고, 토폴로지적 클로저 연산은 집합을 그것의 극한 점과 연합함으로써 집합을 풍부하게 하는 연산으로 생각될 수 있습니다.

With respect to the usual Euclidean topology, the sequence of rational numbers

x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}

has no limit (i.e. does not converge), but has two accumulation points (which are considered limit points here), viz. -1 and +1. Thus, thinking of sets, these points are limit points of the set

S=\{x_{n}\}.

Definition

Accumulation points of a set

$S$ 를 토폴로지적 공간(topological space) $X$ 의 부분집합이라고 놓습니다. $X$ 에서 점 $x$ 는 만약 $x$ 의 모든 각 이웃(neighbourhood)이 $x$ 자체와 다른 $S$ 의 적어도 하나의 점을 포함하면 집합 $S$ 의 극한 점 또는 클러스터 점 또는 누적 점입니다.

만약 우리가 조건을 오직 열린 이웃으로 제한하면 차이가 없습니다. 한 점이 극한 점임을 보여주기 위해 정의의 "열린 이웃"을 사용하는 것과 알려진 극한 점에서 사실을 도출하기 위해 정의의 "일반 이웃" 형식을 사용하는 것이 종종 편리합니다.

만약 $X$ 가 $T_{1}$ 공간 (예를 들어, 메트릭 공간)이면, $x\in X$ 가 $S$ 의 극한 점인 것과 $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 유한하게 많은 점을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.^[6] 실제로, $T_{1}$ 공간은 이 속성에 의해 특징지어집니다.

만약 $X$ 가 프레셰–우리손 공간(Fréchet–Urysohn space, 모든 메트릭 공간과 첫 번째-셀-수-있는 공간이 이것)이면, $x\in X$ 가 $S$ 의 극한 점인 것과 그것의 극한(limit)이 $x$ 인 $S\setminus \{x\}$ 에서 점의 수열(sequence)이 있는 것은 필요충분 조건입니다. 실제로, 프레셰-우라손 공간은 이 속성에 의해 특징지어집니다.

$S$ 의 극한 점의 집합은 $S$ 의 유도된 집합(derived set)이라고 불립니다.

Types of accumulation points

만약 $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 무한하게 많은 점을 포함하면, $x$ 는 $S$ 의 ω-누적 점이라고 불리는 특정 유형의 극한 점입니다.

만약 $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 셀-수-없게 많은(uncountably many) 점을 포함하면, $x$ 는 $S$ 의 응집 점(condensation point)이라고 불리는 특정 유형의 극한 점입니다.

만약 $x$ 의 모든 각 이웃 $U$ 가 $\left|U\cap S\right|=\left|S\right|$ 를 만족시키면, $x$ 는 $S$ 의 완비 누적 점이라고 불리는 특정 유형의 극한 점입니다.

Accumulation points of sequences and nets

토폴로지적 공간 $X$ 에서, 점 $x\in X$ 는 만약 $x$ 의 모든 각 이웃(neighbourhood) $V$ 에 대해, $x_{n}\in V$ 을 만족하는 무한하게 많은 $n\in \mathbb {N}$ 이 있으면 수열 $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 의 누적 점 또는 클러스터 점이라고 말합니다. 그것은 $x$ 의 모든 각 이웃 $V$ 와 모든 각 $n_{0}\in \mathbb {N}$ 에 대해, $x_{n}\in V$ 을 만족하는 $n\geq n_{0}$ 이 있다고 말하는 것과 동등합니다. 만약 $X$ 가 메트릭 공간(metric space) 또는 첫 번째-셀-수-있는 공간(first-countable space) (또는, 더 일반적으로, 프레셰–우리손 공간(Fréchet–Urysohn space))이면, $x$ 가 $x_{\bullet }$ 의 클러스터 점인 것과 $x$ 가 $x_{\bullet }$ 의 일부 부분-수열의 극한인 것은 필요충분 조건입니다. 수열의 모든 클러스터 점의 집합은 때때로 극한 집합(limit set)이라고 불립니다.

수열이 수렴하는 (즉, $x$ 의 모든 각 이웃은 수열의 유한하게 많은 원소를 제외한 모두를 포함하는) 점 $x$ 를 의미하기 위해 수열의 극한(limit of a sequence) 개념이 이미 있음에 주목하십시오. 그것이 우리가 수열의 극한 점(limit point)이라는 용어를 수열의 누적 점과 동의어로 사용하지 않는 이유입니다.

네트(net)의 개념은 수열(sequence)의 아이디어를 일반화합니다. 네트는 함수 $f:(P,\leq )\to X$ 이며, 여기서 $(P,\leq )$ 는 방향화된 집합(directed set)이고 $X$ 는 토폴로지적 공간입니다. 점 $x\in X$ 가 만약 $x$ 의 모든 각 이웃(neighbourhood) $V$ 와 모든 각 $p_{0}\in P$ 에 대해, $f(p)\in V$ 임을 만족하는 일부 $p\geq p_{0}$ 가 있으면, 동등하게, 만약 $f$ 가 $x$ 에 수렴하는 부분-네트(subnet)를 가지면 네트 $f$ 의 클러스터 점 또는 누적 점이라고 말합니다. 네트에서 클러스터 점은 응집 점과 ω-누적 점의 아이디어를 모두 포함합니다. 클러스터링(Clustering)과 극한 점(limit points)도 필터(filters)에 대해 정의됩니다.

Relation between accumulation point of a sequence and accumulation point of a set

$X$ 에서 모든 각 수열 $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ 은 정의에 의해 그것의 이미지 $\operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}$ 가 보통의 방법에서 정의될 수 있도록 단지 맵 $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ 입니다.

만약 수열에서 무한히 여러 번 발생하는 원소 $x\in X$ 가 존재하면, $x$ 는 수열의 누적 점입니다. 그러나 $x$ 는 해당하는 집합 $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ 의 누적 포인트일 필요는 없습니다. 예를 들어, 만약 수열이 값 $x$ 를 갖는 상수 수열이면, 우리는 $\operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}$ 를 가지고 $x$ 는 $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ 의 고립된 점이고 $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ 의 누적 점이 아닙니다.
예를 들어 만약 모든 원소가 구별되는 경우와 같이 원소가 수열에서 무한히 여러 번 발생하지 않으면, 수열의 임의의 누적 점은 결합된 집합 $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ 의 $\omega$ -누적 점입니다.

반대로, $X$ 에서 셀-수-있는 무한 집합 $A\subseteq X$ 가 주어지면, 우리는 많은 방법에서, 심지어 반복과 함께 $A$ 의 모든 원소를 열거할 수 있고, 따라서 $A=\operatorname {Im} x_{\bullet }$ 를 만족시킬 많은 수열 $x_{\bullet }$ 와 그것을 결합할 수 있습니다.

$A$ 의 임의의 $\omega$ -누적 점은 해당하는 수열 중 어떤 하나의 누적 점입니다 (왜냐하면 점의 임의의 이웃은 $A$ 의 무한하게 많은 원소를 포함하고 따라서 역시 임의의 결합된 수열에서 무한하게 많은 항을 포함하기 때문입니다).
$A$ 의 $A$ -누적 점이 아닌 점 $x\in X$ 는 무한히 반복 없이 결합된 수열 중 어떤 하나의 누적 점이 될 수 없습니다 (왜냐하면 $x$ 는 오직 $A$ 의 점을 유한하게 많이 (심지어 없는 것도 가능한) 포함하는 이웃을 가지고 해당 이웃은 오직 그러한 수열의 유한하게 많은 항을 포함할 수 있기 때문입니다).

Properties

비-상수 수열의 모든 각 극한(limit)은 수열의 누적 점입니다. 그리고 정의에 의해, 모든 각 극한 점은 밀착 점(adherent point)입니다.

집합 $S$ 의 클로저 $\operatorname {cl} (S)$ 은 극한 점 $L(S)$ 와 고립된 점 $I(S)$ 의 서로소 합집합입니다: $\operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S),L(S)\cap I(S)=\varnothing .$

점 $x\in X$ 가 $S\subseteq X$ 의 극한 점인 것과 $S\setminus \{x\}$ 의 클로저(closure) 안에 있는 것은 필요충분 조건입니다:

Proof

우리는 점이 집합의 클로저 안에 있는 것과 점의 모든 각 이웃이 그 집합을 만나는 것은 필요충분 조건이라는 사실을 사용합니다. 지금, $x$ 가 $S$ 의 극한 점인 것과 $x$ 의 모든 각 이웃이 $x$ 가 아닌 $S$ 의 점을 포함하는 것은 필요충분 조건이고, $x$ 의 모든 각 이웃이 $S\setminus \{x\}$ 의 점을 포함하는 것은 필요충분 조건이고, $x$ 가 $S\setminus \{x\}$ 의 클로저 안에 있는 것은 필요충분 조건입니다.

만약 우리가 $S$ 의 극한 점의 집합을 나타내기 위해 ㅍ를 사용하면, 우리는 $S$ 의 클로저의 다음 특성을 가집니다: $S$ 의 클로저는 $S$ 와 $L(S)$ 의 합집합과 같습니다. 이 사실은 때때로 클로저(closure)의 정의로 취합니다.

Proof

("왼쪽 부분집합") $x$ 가 $S$ 의 클로저 안에 있다고 가정합니다. 만약 $x$ 가 $S$ 안에 있으면, 끝났습니다. 만약 $x$ 가 $S$ 안에 있지 않으면, $x$ 의 모든 각 이웃이 $S$ 의 한 점을 포함하고 이 점은 $x$ 일 수 업습니다. 다시 말해서, $x$ 는 $S$ 의 극한 점이고 $x$ 는 $L(S)$ 안에 있습니다.

("오른쪽 부분집합") 만약 $x$ 가 $S$ 안에 있으면, $x$ 의 모든 각 이웃은 분명하게 $S$ 를 만나므로, $x$ 는 $S$ 의 클로저 안에 있습니다. 만약 $x$ 가 $L(S)$ 안에 있으면, $x$ 의 모든 각 이웃은 $S$ 의 ( $x$ 가 아닌) 한 점을 포함하므로, $x$ 는 다시 $S$ 의 클로저 안에 있습니다. 이것으로 증명을 마칩니다.

이 결과의 따름정리는 닫힌 집합의 특성화을 제공합니다: 집합 $S$ 가 닫혀 있는 것과 그것이 그것의 모든 극한 점을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

Proof

Proof 1: $S$ 가 닫혀 있는 것과 $S$ 가 그것의 클로저와 같은 것은 필요충분 조건이고 $S=S\cup L(S)$ 인 것은 필요충분 조건이고 $L(S)$ 는 $S$ 에 포함되는 것은 필요충분 조건입니다.

Proof 2: $S$ 를 닫힌 집합으로 놓고 $x$ 를 $S$ 의 극한 점으로 놓습니다. 만약 $x$ 가 $S$ 안에 있지 않으면, $S$ 로의 여집합은 $x$ 의 열린 이웃을 포함합니다. $x$ 가 $S$ 의 극한 점이기 때문에, $x$ 의 열린 이웃은 $S$ 와 비-자명한 교집합을 가져야 합니다. 어쨌든, 집합이 그것의 여집합과 비-자명한 교집합을 가질 수 없습니다. 반대로, $S$ 가 그것의 극한 점을 포함한다고 가정합니다. 우리는 $S$ 의 여집합이 열린 집합임을 보여야 합니다. $x$ 를 $S$ 의 여집합 안에 한 점으로 놓습니다. 가정에 의해, $x$ 가 극한 점이 아니고, 따라서 $S$ 와 교차하지 않는 $x$ 의 열린 이웃 $U$ 가 존재하고, 따라서 $U$ 가 $S$ 의 여집합 안에 전적으로 놓입니다. 이 논증은 $S$ 의 여집합 안에 임의적인 $x$ 에 대해 유지되기 때문에, $S$ 의 여집합은 $S$ 의 여집합 안에 점의 열린 이웃의 합집합으로 표현될 수 있습니다. 그러므로 $S$ 의 여집합은 열린 것입니다.

어떤 고립된 점(isolated point)도 임의의 집합의 극한 점이 아닙니다.

Proof

만약 $x$ 가 고립된 점이면, $\{x\}$ 는 $\{x\}$ 이외의 점을 포함하지 않는 $\{x\}$ 의 이웃입니다.

공간 $X$ 가 이산(discrete)인 것과 $X$ 의 어떤 부분집합도 극한 점을 가지지 않는 것은 필요충분 조건입니다.

Proof

만약 $X$ 가 이산이면, 모든 각 점은 고립된 것이고 임의의 집합의 극한 점이 될 수 없습니다. 반대로, 만약 $X$ 가 이산이 아니면, 열린 것이 아닌 한원소 $\{x\}$ 가 있습니다. 그러므로, $\{x\}$ 의 모든 각 열린 이웃은 점 $y\neq x$ 를 포하하고, 따라서 $x$ 는 $X$ 의 극한 점입니다.

만약 공간 $X$ 가 자명한 토폴로지(trivial topology)를 가지고 $S$ 가 하나보다 많은 원소를 갖는 $X$ 의 부분-집합이면, $X$ 의 모든 원소는 $S$ 의 극한 점입니다. 만약 $S$ 가 한원소가면, $X\setminus S$ 의 모든 각 점은 $S$ 의 극한 점입니다.

Proof

$S\setminus \{x\}$ 가 비-빈(nonempty)인 한, 그것의 클로저는 $X$ 일 것입니다. $S$ 가 빈 것 또는 $x$ 가 $S$ 의 고유한 원소일 때만 번 것입니다.

Citations

^ Dugundji 1966, pp. 209–210.
^ Bourbaki 1989, pp. 68–83.
^ "Difference between boundary point & limit point". 2021-01-13.
^ "What is a limit point". 2021-01-13.
^ "Examples of Accumulation Points". 2021-01-13.
^ Munkres 2000, pp. 97–102.

References

Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
"Limit point of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[FOOTNOTEDugundji1966209–210-1] Dugundji 1966, pp. 209–210.

[FOOTNOTEBourbaki198968–83-2] Bourbaki 1989, pp. 68–83.

[3] "Difference between boundary point & limit point". 2021-01-13.

[4] "What is a limit point". 2021-01-13.

[5] "Examples of Accumulation Points". 2021-01-13.

[FOOTNOTEMunkres200097–102-6] Munkres 2000, pp. 97–102.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Definition

Accumulation points of a set

Types of accumulation points

Accumulation points of sequences and nets

Relation between accumulation point of a sequence and accumulation point of a set

Properties

See also

Citations

References