Average

구어체(colloquial) 언어에서, 평균(average)은 숫자의 목록의 전형적인 것으로 취해지는 단일 숫자입니다. 평균의 다른 개념은 다른 문맥에서 사용됩니다. 종종 "평균"은, 숫자의 합을 평균을 구하기 위한 전체 숫자의 개수로 나눈 것, 산술 평균(arithmetic mean)을 참조합니다. 통계학에서 평균, 중앙값(median), 및 최빈값(mode)은 중심 경향(central tendency)의 측정(measure)로써 모두 알려져 있고, 구어체에서 이들의 임의의 사용법은 평균 값이라고 불릴 수 있습니다.

Calculation

Pythagorean means

산술 평균, 기하 평균 및 조화 평균은 피타고라스 평균으로 집합적으로 알려져 있습니다.

Arithmetic mean

평균의 가장 공통 유형은 산술 평균입니다. 만약 n 숫자가 주어지고, 각 숫자가 a_i로 나타내면 (여기서 i = 1,2, ..., n), 산술 평균은 a의 합(sum)을 n으로 나눈 것, 또는 다음입니다:

{\text{AM}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}

2와 8과 같은 두 숫자의, 종종 간단히 평균으로 불리는, 산술 평균은 2 + 8 = A + A을 만족하는 값 A를 찾는 것에 의해 획득됩니다. 우리는 A = (2 + 8)/2 = 5임을 찾을 수 있습니다. 2와 8의 순서를 바꾸어 8과 2로 읽어도 A에 대해 획득된 결과 값은 변경되지 않습니다. 평균 5는 최솟값 2보다 작을 수 없고 최댓값 8보다 클 수 없습니다. 만약 우리가 항의 숫자를 2, 8, 및 11에 대한 목록으로 증가하면, 산술 평균은 방정식 2 + 8 + 11 = A + A + A에서 A의 값에 대해 풂으로써 구해집니다. 우리는 A = (2 + 8 + 11)/3 = 7임을 찾습니다.

Geometric mean

n 양수의 기하 평균(geometric mean)은 그들 모두를 함께 곱한 다음 n번째 근을 취함으로써 얻습니다. 대수적 항에서, a₁, a₂, ..., a_n의 기하 평균은 다음으로 정의됩니다:

{\text{GM}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}

기하 평균은 숫자의 로그(logs)의 산술 평균의 역로그(antilog)로 생각될 수 있습니다.

예제: 2와 8의 기하 평균은 ${\text{GM}}={\sqrt {2\cdot 8}}=4$ 입니다.

Harmonic mean

모두 0과 다른, 숫자 a₁, a₂, ..., a_n의 비-빈 모음에 대해 조화 평균(Harmonic mean)은 a_i의 역수(reciprocal)의 산술 평균의 역수로 정의됩니다:

{\text{HM}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{n}}\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}

조화 평균이 유용한 한 예제는 고정된-거리 여행의 숫자에 대해 속력을 검사할 때 입니다. 예를 들어, 만약 점 A에서 B로 가는 속력이 60 km/h였고, B에서 A로 돌아가는 속력은 40 km/h였으면, 조화 평균 속력은 다음에 의해 제공됩니다:

{\frac {2}{{\frac {1}{60}}+{\frac {1}{40}}}}=48

Inequality concerning AM, GM, and HM

임의의 양수의 집합에 대해 산술, 기하, 및 조화 평균과 관련된 잘 알려진 부등식은 다음입니다:

{\text{AM}}\geq {\text{GM}}\geq {\text{HM}}

(문자 A, G, 및 H의 알파벳 순서는 부등식에서 보존됩니다.) 산술과 기하 평균의 부등식(Inequality of arithmetic and geometric means)을 참조하십시오.

따라서 위의 조화 평균 예제에 대해: AM = 50, GM ≈ 49, 및 HM = 48 km/h입니다.

Statistical location

최빈값(mode), 중앙값(median), 및 중간-범위(mid-range)는 기술 통계학(descriptive statistics)에서 중심 경향(central tendency)의 추정으로 평균(mean) 이외에 종종 사용됩니다. 이것들은 모두 일부 측정에 의해 변화를 최소화하는 것으로 보일 수 있습니다. Central tendency § Solutions to variational problems을 참조하십시오.

값 { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }의 공통 평균의 비교
유형	설명	예제	결과
산술 평균	데이터 집합의 값의 합을 값의 숫자로 나눈 것: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
중앙값(median)	데이터 집합의 더 큰 절반과 더 작은 절반을 분리하는 중간 값	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
최빈값(Mode)	데이터 집합에서 가장 빈번한 값	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2
중간-범위	집합의 가장 큰 값과 가장 작은 값의 산술 평균	(1+9) / 2	5

Mode

목록에서 가장 자주 발생하는 숫자는 최빈값으로 불립니다. 예를 들어, 목록 (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4)의 최빈값은 3입니다. 임의의 다른 숫자보다 더 자주 및 똑같이 자주 발생하는 두 개 이상의 숫자가 있을 수 있습니다. 이 경우에서 최빈값의 합의된 정의가 없습니다. 일부 저자는 그들은 모두 최빈값이라고 말하고 일부는 최빈값이 없다고 말합니다.

Median

중앙값은 그들이 순서대로 순위가 매겨질 때 그룹의 중간 숫자입니다. (만약 숫자의 짝수가 있으면, 중간 두 값의 평균이 취합니다.)

따라서 중앙값을 찾기 위해, 원소의 크기에 따라 목록을 정렬하고 그런-다음 하나 또는 두 개의 값이 남을 때까지 가장 높은 값과 가장 낮은 값으로 구성된 쌍을 반복적으로 제거하십시오. 만약 정확히 하나의 값이 남으면, 그것이 중앙값입니다. 만약 두 값이면, 중앙값은 이들 두 값의 산술 평균입니다. 이 방법은 목록 1, 7, 3, 13을 취하고 그것을 1, 3, 7, 13으로 읽도록 정렬합니다. 그런-다음 1과 13을 제거하고 목록 3, 7을 얻습니다. 이 남아있는 목록에서 두 원소가 있으므로, 중앙값은 그들의 산술 평균, (3 + 7)/2 = 5입니다.

Mid-range

중간-범위는 집합의 가장 큰 값과 가장 작은 값의 산술 평균입니다.

Summary of types

Name	Equation or description
산술 평균	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$
중앙값	데이터 집합의 아래 절반에서 위쪽 절반을 분리하는 중간 값
기하 중앙값	Rⁿ에서 점에 대해 중앙값(median)의 회전(rotation) 불변(invariant) 확장
최빈값(Mode)	데이터 집합에서 가장 빈번한 값
기하 평균	${\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}$
조화 평균	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
이차 평균 (or RMS)	${\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}$
삼차 평균	${\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}$
일반화된 평균	${\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}$
가중 평균(Weighted mean)	${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}$
잘린 평균	가장 큰 및 가장 작은 데이터 값의 특정 숫자 또는 비율이 삭제된 후 데이터 값의 산술 평균
사분위수-사이 평균	사분위수-사이 범위(interquartile range)를 사용하는, 잘린 평균의 특수한 경우. 등거리이지만 중앙값의 반대편에 있는 분위-숫자 (종종 십분위-숫자 또는 백분위수)에서 작동하는 상호-분위숫자 절려진 평균의 특별한 경우.
중간-범위	${\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)$
버림-대체된 평균	잘린 평균과 비슷하지만, 극단적인 값을 삭제하는 대신에, 그들은 남아 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값과 같게 설정합니다.

수학적 기호의 테이블(table of mathematical symbols)은 아래에 사용된 기호를 설명합니다.

Miscellaneous types

다른 보다 복잡한 평균이 있습니다: 일반화와 함께 셋평균(trimean), 셋중앙값(trimedian) 및 정규화된 평균(normalized mean)이 있습니다.^[1]

우리는 일반화된 f-평균(generalized f-mean)을 사용하여 자신의 평균 메트릭을 만들 수 있습니다:

y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)

여기서 f는 임의의 역-가능한 함수입니다. 조화 평균은 f(x) = 1/x를 사용하는 이것의 예제이고, 기하 평균은 f(x) = log x를 사용하는 또 다른 예제입니다.

어쨌든, 평균을 생성하는 이 방법은 모든 평균을 획득하기에 일반적으로 충분하지 않습니다. 평균을 정의하는 보다 일반적인 방법은^[2] 연속(continuous), 각 인수에서 엄격하게 증가하는 것(strictly increasing), 및 대칭 (인수의 순열(permutation) 아래에서 불변)인 인수의 목록의 임의의 함수 g(x₁, x₂, ..., x_n)를 취합니다. 평균 y는 그런-다음, 목록의 각 구성원을 교체할 때, 같은 함수 값: g(y, y, ..., y) = g(x₁, x₂, ..., x_n)을 초래하는 값입니다. 이 가장 일반적인 정의는 여전히 동일한 원소의 목록의 평균이 해당 원소 자체라는 모든 평균의 중요한 속성을 획득합니다. 함수 g(x₁, x₂, ..., x_n) = x₁+x₂+ ··· + x_n는 산술 평균을 제공합니다. 함수 g(x₁, x₂, ..., x_n) = x₁x₂···x_n (여기서 목록 원소가 양수입니다)은 기하 평균을 제공합니다. 함수 g(x₁, x₂, ..., x_n) = −(x₁⁻¹+x₂⁻¹+ ··· + x_n⁻¹) (여기서 목록 원소가 양수입니다)는 조화 평균을 제공합니다.^[2]

Average percentage return and CAGR

재무에 사용되는 평균의 유형은 평균 백분율 수익입니다. 이것은 기하 평균의 예제입니다. 수익이 연간일 때, 그것은 연평균 성장률(Compound Annual Growth Rate, 줄여서 CAGR)이라고 불립니다. 예를 들어, 만약 우리가 2년의 기간을 고려하고, 첫 번째 해의 투자 수익이 −10%이고 두 번째 해의 수익이 +60%이면, 평균 백분율 수익 또는 CAGR, R은 방정식: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R) × (1 + R)을 풂으로써 얻어질 수 있습니다. 이 방정식을 참으로 만드는 R의 값은 0.2, 또는 20%입니다. 이것은 2년 동안에 걸쳐 총 수익은 매년 20%씩 증가한 것과 같음을 의미합니다. 연도의 순서는 차이를 만들지 않습니다 – +60%와 −10%의 평균 백분율 수익은 −10%와 +60%에 대해 그것처럼 같은 결과입니다.

이 방법은 그 기간이 동일하지 않은 예제로 일반화될 수 있습니다. 예를 들어, 수익이 −23%인 반년의 기간과 수익이 +13%인 2년 반의 기간을 생각해 보십시오. 결합된 기간에 대해 평균 백분율 수익은 단일 연도 수익, R입니다. 즉, 다음 방정식: (1 − 0.23)^0.5 × (1 + 0.13)^2.5 = (1 + R)^0.5+2.5의 해이며, 0.0600 또는 6.00%의 평균 이익 R을 제공합니다.

Moving average

일일 주식 시장 가격 또는 연간 기온과 같은 시간 급수(time series)가 주어지면, 사람들은 종종 더 부드러운 급수를 만들기를 원합니다.^[3] 이것은 놓여-있는 추세 또는 아마도 주기적인 동작을 보이는 것이 도움이 됩니다. 이것을 수행하기 위한 쉬운 방법은 이동 평균입니다: 우리가 숫자 n을 선택하고 첫 번째 n 값의 산술 평균을 취하고, 그런-다음 가장 오래된 값을 버림으로써 한 위치를 앞으로 움직이고 목록의 다른 끝에 새로운 값으로 도입함으로써 새로운 급수를 생성합니다. 이것은 가장 단순한 형식의 이동 평균입니다. 보다 복잡한 형식은 가중 평균(weighted average)을 사용하는 것을 포함합니다. 가중하는 것은 다양한 주기적인 동작을 향상시키거나 억제하기 위해 사용될 수 있고 필터링(filtering)에 대한 문헌에서 어떤 가중하는 것을 사용할 지에 대한 광범위한 분석이 있습니다. 디지털 신호 처리(digital signal processing)에서, 용어 "이동 평균"은 심지어 가중의 합이 1.0이 아닐 때에도 사용됩니다 (따라서 결과 급수는 평균의 스케일 버전입니다).^[4] 이것에 대해 이유는 분석가가 보통 경향 또는 주기적인 행동에 오직 관심이 있기 때문입니다.

History

Origin

산술 평균(arithmetic mean)이 추정(estimation)의 사용에 대해 2에서 n 경우로 확장된 최초의 기록된 시간은 16세기였습니다. 16세기 후반부터, 그것은 점차적으로 다양한 영역에서 측정의 오류를 줄이는 것에 대해 사용하는 공통 방법이 되었습니다.^[5]^[6] 그 당시에, 천문학자들은 행성의 위치 또는 달의 지름과 같은 시끄러운 측정으로부터 실제 값을 알기를 원했습니다. 여러 측정 값의 평균을 사용하여, 과학자들은 모든 측정 값의 전체와 비교할 때 오차가 상대적으로 적은 숫자를 더한다고 가정했습니다. 관측 오차를 감소시키기 위한 평균을 취하는 방법은 실제로 천문학에서 주로 개발되었습니다.^[5]^[7] 산술 평균에 대한 가능한 선구자는, 예를 들어 9세기에서 11세기의 아라비아 천문학 에서뿐만 아니라 야금 및 탐색에서 역시 사용된 중간-범위(mid-range) (두 극단 값의 평균)입니다.^[6]

어쨌든, 산술 평균의 사용에 대한 여러 가지 오래된 모호한 참조가 있습니다 (이것은 확실하지는 않지만, 평균의 우리의 현대적인 정의와 관련이 있습니다). 4세기에서 교과서에서, 그것은 다음으로 쓰였습니다 (대괄호 안의 글자는 의미를 명확하게 하는 누락된 글자입니다):^[8]

우선, 우리가 1부터 9까지 수열을 행에서: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 설정해야 합니다. 그런-다음 우리는 그들의 모두의 양을 함께 더해야 하고, 행은 아홉 항을 포함하므로, 우리는 만약 행에서 숫자 사이에 이미 자연스럽게 존재하면 확인하기 위해 전체의 9분의 1 부분을 찾아야 합니다; 그리고 우리는 [합계의] 9분의 1인 속성은 [산술] 평균 자체에 오직 속한다는 것을 찾을 것입니다...

심지어 더 오래된 중요한 참조가 존재합니다. 기원전 약 700년부터 기록이 있습니다, 상인과 선주는 화물과 선박의 손상 (바다에 의한 손상에서 그들의 "기여")이 그들 사이에 같게 공유되어야 한다는 데 동의했습니다.^[7] 이것은 비록 계산의 직접적인 기록은 없는 것으로 보일지라도, 평균을 사용하여 계산되어 왔을 것입니다.

Etymology

어근은 아랍어에서 عوار awar, 결함, 또는 부분적으로 손상된 상품을 포함하여, 결함이 있거나 손상된 임의의 것; 및 عواري ʿawārī (역시 عوارة ʿawāra) = "ʿawār, 부분 손상의 상태의 또는 관련된" 것으로 발견됩니다.^[9] 서구 언어 내부에서, 그 단어의 역사는 지중해의 중세 해상-무역에서 시작합니다. 12세기와 13세기 제노마 라틴어 avaria는 "상선 항해와 관련하여 발생하는 피해, 손실 및 비정상적인 비용"을 의미했습니다; 그리고 1210년 마르세유, 1258년 바르셀로나, 13세기 후반 피렌체에서 avaria에 대해 같은 의미입니다.^[10] 15세기 프랑스 avarie는 같은 의미를 지녔고, 그것은 같은 의미를 갖는 영어 "averay" (1491)와 영어 "average" (1502)를 생기게 합니다. 오늘날, 이탈리아어 avaria, 카탈로니아어 avaria 및 프랑스어 avarie는 여전히 "손상"의 주요 의미를 가집니다. 영어에서 의미의 거대한 변형은 만약 배가 험악한 폭풍을 만났고 물품의 일부가 배를 더 가볍고 안전하게 만들기 위해 배 밖으로 던져져야 하면, 배에 상품이 있던 모든 상인은 비례 적 (및 누구의 물건이 배 밖으로 던져지지 않아도)으로 고통을 겪어야 했고; 보다 일반적으로 임의의 avaria의 비례한 분배가 있었던 것 아래에서 후기 중세와 초기 현대 서양 상인-해양 법률 계약에서 실제에서 시작되었습니다. 그기서부터 그 단어는 그들의 손실을 자산의 전체 포트폴리오에 걸쳐 분산되고 평균 비율을 가지는 것으로 이야기하는 영국 보험사, 채권자, 및 상인에 의해 채택되었습니다. 오늘날의 의미는 18세기 중반에 시작되고, 영어에서 시작된 것에서 개발되었습니다.^[10] [1].

해양 피해는 특정 평균, 이것은 손상된 자산의 소유자에 의해 부담되는 것, 또는 일반적인 평균(general average), 여기서 소유자는 모든 당사자로부터 해양 투기에 비례적인 기여를 주장할할 수 있는 것 중 하나입니다. 일반 평균을 조정하는 데 사용 된 계산의 유형은 "산술 평균"을 의미하기 위해 "평균"의 사용을 불러일으켰습니다.

1674년 초에 문서화되고 때때로 "averish"로 쓰는, 두 번째 영어 사용은 초식 동물(draught animal) ("avers")에 의한 소비에 적합한 것으로 여겨졌었던, 농작물의 잔재 및 두 번째 성장입니다.^[11]

그 단어와 관련된 사용이 없는, 초기 (적어도 11세기부터)가 있습니다. 보안관에 대한 임차인의 노동력 의무에 대한 오래된 법률 용어로, 아마도 영어 돔즈데이 북(Domesday Book) (1085)에서 발견된 "avera"에서 각인되었을 수 있습니다.

옥스포드 영어 사전은, 어쨌든, 독일의 hafen 피난처, 및 아랍어 ʿawâr 손실, 피해로부터 파생어가 "상당히 폐기"되어 왔었고 그 단어는 로망스 어원을 가지고 있다고 말합니다.^[12]

References

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^ ^a ^b The Arabic origin of avaria was first reported by Reinhart Dozy in the 19th century. Dozy's original summary is in his 1869 book Glossaire. Summary information about the word's early records in Italian-Latin, Italian, Catalan, and French is at avarie @ CNRTL.fr. The seaport of Genoa is the location of the earliest-known record in European languages, year 1157. A set of medieval Latin records of avaria at Genoa is in the downloadable lexicon Vocabolario Ligure, by Sergio Aprosio, year 2001, avaria in Volume 1 pages 115-116. Many more records in medieval Latin at Genoa are at StoriaPatriaGenova.it, usually in the plurals avariis and avarias. At the port of Marseille in the 1st half of the 13th century notarized commercial contracts have dozens of instances of Latin avariis (ablative plural of avaria), as published in Blancard year 1884. Some information about the English word over the centuries is at NED (year 1888). See also the definition of English "average" in English dictionaries published in the early 18th century, i.e., in the time period just before the big transformation of the meaning: Kersey-Phillips' dictionary (1706), Blount's dictionary (1707 edition), Hatton's dictionary (1712), Bailey's dictionary (1726), Martin's dictionary (1749). Some complexities surrounding the English word's history are discussed in Hensleigh Wedgwood year 1882 page 11 and Walter Skeat year 1888 page 781. Today there is consensus that: (#1) today's English "average" descends from medieval Italian avaria, Catalan avaria, and (#2) among the Latins the word avaria started in the 12th century and it started as a term of Mediterranean sea-commerce, and (#3) there is no root for avaria to be found in Latin, and (#4) a substantial number of Arabic words entered Italian, Catalan and Provençal in the 12th and 13th centuries starting as terms of Mediterranean sea-commerce, and (#5) the Arabic ʿawār | ʿawārī is phonetically a good match for avaria, as conversion of w to v was regular in Latin and Italian, and -ia is a suffix in Italian, and the Western word's earliest records are in Italian-speaking locales (writing in Latin). And most commentators agree that (#6) the Arabic ʿawār | ʿawārī = "damage | relating to damage" is semantically a good match for avaria = "damage or damage expenses". A minority of commentators have been dubious about this on the grounds that the early records of Italian-Latin avaria have, in some cases, a meaning of "an expense" in a more general sense – see TLIO (in Italian). The majority view is that the meaning of "an expense" was an expansion from "damage and damage expense", and the chronological order of the meanings in the records supports this view, and the broad meaning "an expense" was never the most commonly used meaning. On the basis of the above points, the inferential step is made that the Latinate word came or probably came from the Arabic word.
^ Ray, John (1674). A Collection of English Words Not Generally Used. London: H. Bruges. Retrieved 18 May 2015.
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External links

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[8] "Waterfield, Robin. "The theology of arithmetic." On the Mystical, mathematical and Cosmological Symbolism of the First Ten Number (1988). page 70" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2018-11-27.

[9] Medieval Arabic had عور ʿawr meaning "blind in one eye" and عوار ʿawār meant "any defect, or anything defective or damaged". Some medieval Arabic dictionaries are at Baheth.info Archived 2013-10-29 at the Wayback Machine, and some translation to English of what's in the medieval Arabic dictionaries is in Lane's Arabic-English Lexicon, pages 2193 and 2195. The medieval dictionaries do not list the word-form عوارية ʿawārīa. ʿAwārīa can be naturally formed in Arabic grammar to refer to things that have ʿawār, but in practice in medieval Arabic texts ʿawārīa is a rarity or non-existent, while the forms عواري ʿawārī and عوارة ʿawāra are frequently used when referring to things that have ʿawār or damage – this can be seen in the searchable collection of medieval texts at AlWaraq.net (book links are clickable on righthand side).

[Avaria-10] The Arabic origin of avaria was first reported by Reinhart Dozy in the 19th century. Dozy's original summary is in his 1869 book Glossaire. Summary information about the word's early records in Italian-Latin, Italian, Catalan, and French is at avarie @ CNRTL.fr. The seaport of Genoa is the location of the earliest-known record in European languages, year 1157. A set of medieval Latin records of avaria at Genoa is in the downloadable lexicon Vocabolario Ligure, by Sergio Aprosio, year 2001, avaria in Volume 1 pages 115-116. Many more records in medieval Latin at Genoa are at StoriaPatriaGenova.it, usually in the plurals avariis and avarias. At the port of Marseille in the 1st half of the 13th century notarized commercial contracts have dozens of instances of Latin avariis (ablative plural of avaria), as published in Blancard year 1884. Some information about the English word over the centuries is at NED (year 1888). See also the definition of English "average" in English dictionaries published in the early 18th century, i.e., in the time period just before the big transformation of the meaning: Kersey-Phillips' dictionary (1706), Blount's dictionary (1707 edition), Hatton's dictionary (1712), Bailey's dictionary (1726), Martin's dictionary (1749). Some complexities surrounding the English word's history are discussed in Hensleigh Wedgwood year 1882 page 11 and Walter Skeat year 1888 page 781. Today there is consensus that: (#1) today's English "average" descends from medieval Italian avaria, Catalan avaria, and (#2) among the Latins the word avaria started in the 12th century and it started as a term of Mediterranean sea-commerce, and (#3) there is no root for avaria to be found in Latin, and (#4) a substantial number of Arabic words entered Italian, Catalan and Provençal in the 12th and 13th centuries starting as terms of Mediterranean sea-commerce, and (#5) the Arabic ʿawār | ʿawārī is phonetically a good match for avaria, as conversion of w to v was regular in Latin and Italian, and -ia is a suffix in Italian, and the Western word's earliest records are in Italian-speaking locales (writing in Latin). And most commentators agree that (#6) the Arabic ʿawār | ʿawārī = "damage | relating to damage" is semantically a good match for avaria = "damage or damage expenses". A minority of commentators have been dubious about this on the grounds that the early records of Italian-Latin avaria have, in some cases, a meaning of "an expense" in a more general sense – see TLIO (in Italian). The majority view is that the meaning of "an expense" was an expansion from "damage and damage expense", and the chronological order of the meanings in the records supports this view, and the broad meaning "an expense" was never the most commonly used meaning. On the basis of the above points, the inferential step is made that the Latinate word came or probably came from the Arabic word.

[11] Ray, John (1674). A Collection of English Words Not Generally Used. London: H. Bruges. Retrieved 18 May 2015.

[12] "average, n.2". OED Online. September 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (accessed September 05, 2019).

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