Axiom of union

Original article: w:Axiom of union

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)에서, 합집합의 공리는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 공리 중 하나입니다. 이 공리는 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)에 의해 도입되었습니다.

그 공리는 각 집합 x에 대해 그것의 원소가 정확하게 x의 원소의 원소인 집합 y가 있음을 말합니다.

Formal statement

체르멜로–프렝켈 공리의 형식적 언어(formal language)에서, 그 공리는 다음과 같이 읽습니다:

$\forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)$

또는 말로:

임의의 집합(set) A가 주어지면, 임의의 원소 c에 대해, c가 B의 구성원임을 만족하는 집합 B가 있는 것과 c가 D의 구성원이고 D가 A의 구성원임을 만족하는 집합 D가 있는 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

또는, 보다 간단히:

임의의 집합 $A$에 대해, 단지 해당 집합 $A$의 원소의 원소를 구성하는 집합 $\bigcup A\$이 있습니다.

Relation to Pairing

합집합의 공리는 집합의 집합을 풀고 더 평평한 집합을 만드는 것을 허용합니다. 쌍화의 공리(axiom of pairing)와 함께, 이것은 임의의 두 집합에 대해, 두 집합의 원소를 정확하게 포함하는 (그것들의 합집합(union)이라고 불리는) 집합이 있음을 의미합니다.

Relation to Replacement

대체의 공리는 두 집합의 합집합과 같이 많은 합집합을 형성하는 것을 허용합니다.

어쨌든, 완전한 일반성에서, 합집합의 공리는 ZFC-공리의 나머지와 독립적입니다. 대체는 만약 그 결과가 카디널리티의 무경계진 숫자를 포함하면 집합의 집합의 합집합의 존재를 입증하지 않습니다.

대체의 공리 스키마(axiom schema of replacement)와 함께, 합집합의 공리는 우리가 집합에 의해 인덱스된 집합의 가족의 합집합을 형성할 수 있음을 의미합니다.

Relation to Separation

분리의 공리를 포함하는 집합 이론의 문맥에서, 합집합의 공리는 집합의 합집합의 초월집합(superset)을 오직 생성하는 더 약한 형식에서 때때로 언급됩니다. 예를 들어, 쿠넨(Kunen)은 공리를 다음과 같이 말합니다:

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].$

이것은 다음과 동등합니다:

$\forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].$

이 섹션의 상단에 언급된 공리와 비교되면, 이 변형은 의미의 양방향이 아니라 오직 한 방향을 주장합니다.

Relation to Intersection

대응하는 교집합(intersection) 공리가 없습니다. 만약 $A$가 $E$를 포함하는 비-빈 집합이면, 다음과 같은 사양의 공리 스키마(axiom schema of specification)를 사용하여 교집합 $\bigcap A$를 형성하는 것이 가능합니다:

$\bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\}$,

따라서 별도의 교집합 공리가 필요하지 않습니다. (만약 A가 빈 집합(empty set)이면, A의 교집합을 다음과 같이 형성하기 위해 시도하는 것은 그 공리에 의해 허용되지 않습니다:

{c: for all D in A, c is in D}

게다가, 만약 그러한 집합이 존재한다면, 그것은 "우주"에서 모든 각 집합을 포함할 것이지만, 우주의 집합(universal set)의 개념은 체르멜로–프렝켈 집합 이론과 정반대입니다.)

Further reading

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.