Rotation around a fixed axis

Sphere rotating around one of its diameters

고정된 축 주위의 회전(Rotation around a fixed axis)은 회전적 운동의 특별한 경우입니다. 고정된-축 가설은 축이 그 방향을 바꾸는 가능성을 배제하고 그러한 현상을 떨림(wobbling) 또는 전진(precession)과 같은 현상을 설명할 수 없습니다. 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)에 따르면, 동시에 여러 정류 축을 따라 동시에 회전하는 것은 불가능합니다; 만약 두 회전이 동시에 강제되면, 새로운 회전의 축이 나타납니다.

이 기사는 회전이 안정적이라고 가정하여, 회전이 계속 유지할 수 있는 토크(torque)가 필요하지 않습니다. 강체의 고정된 축 주위의 회전의 운동학(kinematics)과 동역학(dynamics)은 강체의 자유 회전에 대한 것보다 수학적으로 훨씬 간단합니다; 그것들은 단일 고정된 방향을 따라 선형 운동(linear motion)의 그것들과 전적으로 유사하며, 이는 강체의 자유 회전에 대해 참이 아닙니다. 대상의 운동 에너지(kinetic energy)에 대한, 및 대상의 일부 위에 힘에 대한 표현은 일반 회전 운동보다 고정된 축 주위의 회전에 더 간단합니다. 이들 이유에 대해, 고정된 축 주위의 회전은 전형적으로 학생들이 선형 운동(linear motion)을 마스터한 후 입문 물리 과정에서 가르칩니다; 회전적 운동의 전체 일반성은 보통 입문 물리학 수업에서 가르치지 않습니다.

Translation and rotation

강체(rigid body)는 구성 입자 사이의 모든 거리가 일정한 유한 범위의 대상입니다. 진정한 강체는 존재하지 않습니다; 외부 힘은 임의의 고체를 변형할 수 있습니다. 우리의 목적을 위해, 그런-다음, 강체는 눈에 띄게 변형하기 위해 큰 힘이 필요한 고체입니다.

삼-차원 공간에서 입자의 위치에서 변화는 3개의 좌표에 의해 완전하게 지정될 수 있습니다. 강체의 위치에서 변화는 설명하기가 더 복잡합니다. 그것은 평행이동적 운동과 원형적 운동이라는 두 가지 구별되는 운동의 유형의 조합으로 고려될 수 있습니다.

순전히 평행이동적 운동(translational motion)은 몸체의 모든 각 입자가 모든 각 다른 입자와 동일한 순간 속도를 가질 때 발생합니다; 그런-다음 임의의 입자에 의해 추적되는 경로는 몸체에서 모든 각 다른 입자에 의해 추적되는 경로와 정확히 평행합니다. 평행이동적 운동 아래에서, 강체의 위치에서 변화는 x, y, 및 z와 같은 세 좌표에 의해 완전히 지정되어 강체에 고정된 질량의 중심과 같은 임의의 점의 변위(displacement)를 제공합니다.

순전히 회전적 운동(rotational motion)은 만약 몸체에서 모든 각 입자가 단일 직선을 중심으로 원을 그리며 움직이면 발생합니다. 이 직선은 회전의 축이라고 불립니다. 그런-다음 축에서 모든 입자까지의 반지름 벡터(vectors)는 동시에 같은 각도 변위를 겪습니다. 회전의 축은 몸체를 통과할 필요가 없습니다. 일반적으로, 임의의 회전은 직교-좌표축 x, y, 및 z에 관한 세 가지 각도 변위로 완전히 지정될 수 있습니다. 따라서 강체의 위치에서 임의의 변화는 3개의 평행이동적 좌표와 3개의 회전적 좌표로 완전히 설명됩니다.

강체의 임의의 변위는 먼저 몸체에 변위를 적용한 후 회전하거나, 반대로, 회전 후 변위를 수행함으로써 도달될 수 있습니다. 우리는 이미 임의의 입자의 모임에 대해 강체에서와 같이 서로에 관해 정지해 있거나, 껍질의 폭발 파편과 같이 상대 운동에 관계없이 질량 중심의 가속도가 다음에 의해 주어진다는 것을 알고 있습니다: $F_{\mathrm {net} }=Ma_{\mathrm {cm} }$ 여기서 $M$ 은 시스템의 전체 질량이고 $a_{\mathrm {cm} }$ 은 질량의 중심의 가속도입니다. 질량의 중심에 대한 몸체의 회전을 설명하고 이를 몸체에 동작하는 외부 힘과 관련시키는 문제가 남아 있습니다. 단일 축을 주위의 회전적 운동의 운동학과 동역학은 평행이동적 운동의 운동학과 동역학과 유사합니다; 단일 축 주위의 회전적 운동은 입자 동역학의 그것과 유사한 일-에너지 정리를 가집니다.

Kinematics

Angular displacement

반지름 $r$ 을 갖는 원의 원주를 따라 이동하는, 움직인 호 길이 $s$ 를 가자는 입자가 주어졌을 때, 그것의 각도 위치는 초기 위치에 상대적인 $\theta$ 이며, 여기서 $\theta ={\frac {s}{r}}$ 입니다.

수학과 물리학에서, 평면 각도의 단위, 라디안(radian)을 1로 취급하는 것이 관습적이며, 그것을 종종 생략합니다. 단위는 다음과 같이 변환됩니다: $360^{\circ }=2\pi {\text{ rad}}\,,\quad 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.27^{\circ }.$

각도 변위는 각도 위치에서 변화입니다: $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1},$ 여기서 $\Delta \theta$ 는 각도 변위, $\theta _{1}$ 는 초기 각도 위치이고 $\theta _{2}$ 는 마지막 각도 위치입니다.

Angular velocity

단위 시간당 각도 변위에서 변화는 회전의 축 방향을 따라 각속도라고 불립니다. 각속도에 대한 기호는 $\omega$ 이고 단위는 전형적으로 rad s⁻¹입니다. 각속력은 각속도의 크기입니다. ${\overline {\omega }}={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}={\frac {\theta _{2}-\theta _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

순간 각속도는 다음과 같이 주어집니다: $\omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}.$

각도 위치에 대한 공식을 사용하고 $v={\frac {ds}{dt}}$ 라고 놓으면, 역시 다음을 가집니다: $\omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v}{r}},$ 여기서 $v$ 는 입자의 평행이동적 속력입니다.

각속도와 주파수(frequency)가 다음에 의해 관련됩니다: $\omega ={2\pi f}\,.$

Angular acceleration

변화하는 각속도는 전형적으로 rad s⁻²로 측정되는 강체의 각가속도의 존재를 나타냅니다. 시간 간격 Δt에 걸쳐 평균 각가속도 ${\overline {\alpha }}$ 는 다음과 같이 지정됩니다: ${\overline {\alpha }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{t_{2}-t_{1}}}.$

순간 가속도 $\alpha (t)$ 는 다음과 같이 지정됩니다: $\alpha (t)={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}.$

따라서 가속도가 속도의 변화율인 것처럼 각가속도는 각속도의 변화율입니다.

회전하는 대상 위에 점의 평행이동적 가속도는 다음과 같이 지정됩니다: $a=r\alpha ,$ 여기서 r은 회전축으로부터의 반지름 또는 거리입니다. 이것은 가속도의 접선 성분(tangential component)이기도 합니다: 그것은 점의 운동의 방향에 접합니다. 만약 이 구성 요소가 0이면, 운동은 균등 원형 운동(uniform circular motion)이고, 속도는 방향에서만 변합니다.

방사형 가속도 (운동의 방향에 수직)는 다음과 같이 지정됩니다: $a_{\mathrm {R} }={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r\,.$ 그것은 회전 운동의 중심을 향하고, 종종 구심 가속도(centripetal acceleration)라고 불립니다.

각가속도는 토크(torque)에 의해 발생하며, 이는 양수 각주파수와 음수 각주파수의 관례에 따라 양수 값 또는 음수 값을 가질 수 있습니다. 토크와 각가속도 사이의 (회전을 시작, 정지, 또는 변경하는 것이 얼마나 어려운지) 관계는 관성 모멘트(moment of inertia)로 표시됩니다: $T=I\alpha$ .

Equations of kinematics

각가속도가 일정할 때, 각도 변위 $\theta$ , 초기 각속도 $\omega _{1}$ , 최종 각속도 $\omega _{2}$ , 각가속도 $\alpha$ , 및 시간 $t$ 의 5가지 양은 4개의 운동학의 방정식(equations of kinematics)으로 관련될 수 있습니다:

${\begin{aligned}\omega _{2}&=\omega _{1}+\alpha t\\\theta &=\omega _{1}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}\\\omega _{2}^{2}&=\omega _{1}^{2}+2\alpha \theta \\\theta &={\tfrac {1}{2}}\left(\omega _{2}+\omega _{1}\right)t\end{aligned}}$

Dynamics

Moment of inertia

$I$ 로 표시되는 대상의 관성 모멘트는 회전 변화에 대한 대상의 저항을 측정한 것입니다. 관성 모멘트는 킬로그램 미터² (kg m²)에서 측정됩니다. 그것은 대상의 질량에 따라 달라집니다: 대상의 질량이 증가하면 관성 모멘트가 증가합니다. 그것은 역시 질량 분포에 따라 달라집니다: 회전 중심에서 질량을 더 멀리 분포시키면 관성 모멘트가 더 많이 증가합니다. 질량 $m$ 의 단일 입자에 대해, 회전축으로부터 거리가 $r$ 이면 관성 모멘트는 다음과 같이 주어집니다: $I=mr^{2}.$

Torque

토크 ${\boldsymbol {\tau }}$ 는 회전축에서 위치 $\mathbf {r}$ 에 있는 회전하는 대상에 가해진 힘 $\mathbf {F}$ 의 비틀림 효과입니다. 수학적으로, ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$ 여기서 ×는 교차 곱(cross product)을 나타냅니다. 대상에 동작하는 알짜 토크는 다음 식에 따라 대상의 각가속도를 생성할 것입니다: ${\boldsymbol {\tau }}=I{\boldsymbol {\alpha }},$ 이는 선형 동역학에서 $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ 와 같습니다.

대상에 동작하는 토크에 의해 행한 일은 토크의 크기와 토크가 가해지는 각도를 곱한 것과 같습니다: $W=\tau \theta .$

토크의 일률은 단위 시간당 토크에 의해 행한 일과 같습니다: $P=\tau \omega .$

Angular momentum

각운동량 $\mathbf {L}$ 은 회전하는 대상을 정지시키는 어려움의 측정입니다. 그것은 다음에 의해 주어집니다: $\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$ 여기서 합은 대상에서 모든 입자에 걸쳐 취합니다.

각운동량은 관성 모멘트와 각속도의 곱입니다: $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$ 이는 선형 동역학에서 $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ 와 같습니다.

회전 운동에서 선형 운동량의 아날로그는 각 운동량입니다. 팽이와 같이 회전하는 물체의 각운동량이 클수록 계속 회전하려는 경향이 커집니다.

회전체의 각운동량은 그 질량과 회전에서 얼마나 빠른지에 비례합니다. 게다가, 각운동량은 질량이 회전축에 대해 어떻게 분포되어 있는지에 따라 달라집니다: 질량이 회전축에서 멀어질수록 각운동량은 커집니다. 레코드 턴테이블과 같은 평평한 디스크는 같은 질량과 회전 속도의 속이 빈 실린더보다 각운동량이 적습니다.

선형 운동량과 마찬가지로, 각 운동량은 벡터량이고, 그 보존은 회전축의 방향이 변하지 않는 경향이 있음을 의미합니다. 이러한 이유로, 회전하는 팽이는 똑바로 서 있는 반면 정지된 팽이는 즉시 넘어집니다.

각 운동량 방정식은 축에 대한 몸체의 결과 힘 모멘트 (토크라고도 함)와 해당 축에 대한 회전 속도를 관련시키는 데 사용할 수 있습니다.

토크와 각운동량은 다음에 따라 관련됩니다: ${\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}},$ 이는 선형 동역학에서 $\mathbf {F} =d\mathbf {p} /dt$ 와 같습니다. 외부 토크가 없으면, 물체의 각운동량은 일정하게 유지됩니다. 각운동량의 보존은 특히 피겨 스케이팅에서 입증됩니다: 회전하는 동안 팔을 몸에 더 가깝게 당기면 관성 모멘트가 감소하고, 따라서 각속도가 증가합니다.

Kinetic energy

몸체의 회전으로 인한 운동 에너지 $K_{\text{rot}}$ 는 다음과 같이 주어집니다:

$K_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},$ 이는 선형 동역학에서 $K_{\text{trans}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}$ 와 같습니다.

운동 에너지(Kinetic energy)는 운동의 에너지(energy of motion)입니다. 평행이동적 운동 에너지의 총양은 위의 방정식에 표시된 것처럼 대상의 질량 ( $m$ )과 대상의 속력 ( $v$ )라는 두 가지 변수에서 발견됩니다. 운동 에너지는 항상 0이거나 양수 값이어야 합니다. 속도는 양수 또는 음수 값을 가질 수 있지만, 속도 제곱은 항상 양수입니다.^[1]

Vector expression

위의 전개는 일반적인 회전 운동의 특수한 경우입니다. 일반적인 경우에서, 각변위, 각속도, 각가속도, 및 토크는 벡터로 고려됩니다.

각도 변위는 $\Delta \theta$ 의 그것과 같은 크기의 축을 가리키는 벡터로 고려됩니다. 오른손 법칙(right-hand rule)은 축을 따라 가리키는 방향을 찾기 위해 사용됩니다; 만약 대상가 회전한 방향을 가리키도록 오른손의 손가락을 구부리면, 오른손 엄지손가락이 벡터의 방향을 가리킵니다.

각속도(angular velocity) 벡터는 그것이 야기하는 각 변위와 같은 방법으로 회전축(axis of rotation)을 따라 가리킵니다. 만약 디스크가 위에서 볼 때 반시계 방향으로 회전하면, 그 각속도 벡터는 위쪽을 가리킵니다. 유사하게, 각가속도(angular acceleration) 벡터는 각가속도가 오랫동안 유지된다면 각속도가 가리키는 방향과 같은 방향으로 회전축을 따라 가리킵니다.

토크 벡터는 토크가 회전을 일으키는 경향이 있는 축을 따라 가리킵니다. 고정된 축을 중심으로 회전을 유지하려면, 총 토크 벡터가 축을 따라야 하므로 각속도 벡터의 방향이 아니라 크기만 변경됩니다. 경첩의 경우에서, 축을 따라 토크 벡터의 구성 요소만 회전에 영향을 미치고, 다른 힘과 토크는 구조에 의해 보상됩니다.

Mathematical representation

수학(mathematics)에서, 회전의 축–각도 표현(axis–angle representation)은 삼-차원 유클리드 공간에서 회전을 두 가지 수량으로 매개변수화합니다: 회전 축의 방향을 나타내는 단위 벡터 $e$ 와 회전 축에 대한 회전의 크기를 설명하는 각도 $θ$ . $e$ 의 크기가 제한되어 있기 때문에 원점에 뿌리를 둔 단위 벡터 $e$ 의 방향을 정의하는 데 세 개가 아닌 두 개의 숫자만 필요합니다. 예를 들어, $e$ 의 고도각과 방위각은 임의의 특정 데카르트 좌표 시스템에 위치시키기에 충분합니다.

로드리게스의 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)에 의해 각도와 축은 삼-차원 벡터를 회전시키는 변환을 결정합니다. 회전은 오른쪽-손 규칙(right-hand rule)에 의해 규정된 의미에서 발생합니다. 회전 축은 때때로 오일러 축(Euler axis)이라고 불립니다.

그것은 3차원에서 많은 회전 형식 중 하나입니다. 축–각도 표현은 3차원 공간에서 강체의 임의의 회전 또는 일련의 회전이 단일 고정된 축에 대한 순수한 회전과 동등하다는 오일러의 회전 정리(Euler's rotation theorem)에 근거합니다.

Examples and applications

Constant angular speed

고정된 축을 중심으로 회전하는 가장 간단한 경우는 일정한 각속력입니다. 그런-다음 총 토크는 영입니다. 지구가 그 축을 중심으로 회전하는 예제에 대해, 매우 작은 마찰이 있습니다. 팬에 대해, 모터는 마찰을 보상하기 위해 토크를 적용합니다. 팬과 마찬가지로, 대량 생산 제조 산업에서 발견되는 장비는 고정된 축을 중심으로 회전하는 것을 효과적으로 보여줍니다. 예를 들어, 절단, 변형, 및 선삭 작업의 생산성을 효과적으로 높이기 위해 다중-스핀들 선반을 사용하여 재료를 축에서 회전시킵니다.^[2] 회전 각도는 시간의 선형 함수이며, 모듈로 360°는 주기 함수입니다.

이에 대한 예제는 원형 궤도(circular orbits)를 갖는 두-몸체 문제(two-body problem)입니다.

Centripetal force

내부 인장 응력(tensile stress)은 회전하는 물체를 함께 유지하는 구심력(centripetal force)을 제공합니다. 강체 모델은 수반되는 변형(strain)을 무시합니다. 만약 몸체가 강체가 아니면, 이 변형으로 인해 모양이 변경됩니다. 이것은 "원심력(centrifugal force)"으로 인해 물체가 모양을 바꾸는 것으로 표현됩니다.

서로에 대해 회전하는 천체는 종종 타원 궤도(elliptic orbits)를 가지고 있습니다. 원형 궤도(circular orbits)의 특별한 경우는 고정된 축을 중심으로 한 회전의 예입니다: 이 축은 운동 평면에 수직인 질량의 중심(center of mass)을 통과하는 직선입니다. 구심력은 중력(gravity)에 의해 제공되며, 두-몸체 문제(two-body problem)도 참조하십시오. 이것은 보통 회전하는 천체에도 적용되므로, 밀도에 비해 각속도가 너무 높지 않은 한 함께 유지하기 위해 단단할 필요가 없습니다. (어쨌든, 그것은 편평해지는 경향이 있습니다.) 예를 들어, 물의 회전하는 천체는 크기에 관계없이 회전하는 데 최소 3시간 18분이 소요되어야 하며, 그렇지 않으면 물이 분리됩니다. 만약 유체의 밀도가 더 높으면, 시간이 단축될 수 있습니다. 궤도 주기(orbital period)를 참조하십시오.^[3]

References

^ "What is Kinetic Energy". Khan Academy. Retrieved 2017-08-02.
^ "Multi Spindle Machines - An In-Depth Overview". Davenport Machine. Retrieved 2017-08-02.
^ Mobberley, Martin (2009-03-01). Cataclysmic Cosmic Events and How to Observe Them. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469.

Fundamentals of Physics Extended 7th Edition by Halliday, Resnick and Walker. ISBN 0-471-23231-9
Concepts of Physics Volume 1, by H. C. Verma, 1st edition, ISBN 81-7709-187-5

[1] "What is Kinetic Energy". Khan Academy. Retrieved 2017-08-02.

[2] "Multi Spindle Machines - An In-Depth Overview". Davenport Machine. Retrieved 2017-08-02.

[3] Mobberley, Martin (2009-03-01). Cataclysmic Cosmic Events and How to Observe Them. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387799469.

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