Rotational symmetry

기하학(geometry)에서, 회전적 대칭(rotational symmetry)은, 역시 방사형 대칭(radial symmetry)으로 알려져 있으며, 모양이 부분적 회전에 의한 일부 회전 후에 같게 보일 때 그것이 가지는 속성입니다. 대상의 회전적 대칭의 정도는 그것이 각 회전에 대해 정확하게 같게 보이는 구별되는 방향의 숫자입니다.

특정 기하학적 대상은 90° 회전된 정사각형(squares)과 같은 특정 각도에서 회전될 때 부분적으로 대칭적이며, 어쨌든 임의의 각도에서 완전하게 회전적 대칭인 유일한 기하학적 대상은 구, 원, 및 기타 회전타원체(spheroids)입니다.^[1]^[2]

Formal treatment

공식적으로, 회전적 대칭은 m-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 일부 또는 모든 회전(rotation)에 관한 대칭(symmetry)입니다. 회전은 직접 등거리-변환(direct isometries), 즉, 방향을 보존하는 등거리변환(isometries)입니다. 그러므로, 회전적 대칭의 대칭 그룹은 E⁺(m)의 부분그룹입니다 (유클리드 그룹(Euclidean group)을 참조하십시오).

모든 점에 대한 모든 회전에 관한 대칭은 모든 평행이동에 관한 평행이동적 대칭(translational symmetry)을 의미하므로, 공간은 동차이고, 대칭 그룹은 전체 E(m)입니다. 벡터 필드에 대해 수정된 대칭의 개념과 함께 대칭 그룹은 역시 E⁺(m)이 될 수 있습니다.

한 점에 대한 회전에 관한 대칭에 대해, 우리는 해당 점을 원점으로 취할 수 있습니다. 이들 회전은 특수 직교 그룹(orthogonal group) SO(m), 행렬식 1을 갖는 m×m 직교 행렬(orthogonal matrices) 그룹을 형성합니다. $m = 3$ 에 대해, 이것은 회전 그룹 SO(3)입니다.

단어의 또 다른 정의에서, 대상의 회전 그룹은 E⁺(n) 내의 대칭 그룹, 직접 등거리변환의 그룹(group of direct isometries)입니다; 다시 말해서, 전체 대칭 그룹과 직접 등거리변환 그룹의 교차점입니다. 카이럴(chiral) 대상에 대해, 그것은 전체 대칭 그룹과 같습니다.

물리의 법칙은 만약 그것들이 공간에서 다른 방향을 구별하지 않으면 SO(3)-불변입니다. 뇌터의 정리(Noether's theorem)때문에, 물리적 시스템의 회전적 대칭은 각도 운동량(angular momentum) 보존 법칙과 동등합니다.

Discrete rotational symmetry

특정 점 (2D) 또는 축 (3D)에 관한 순서 n의 회전적 대칭은, 역시 n-겹 회전적 대칭, 또는 n번째 순서의 이산 회전적 대칭으로 알려져 있으며, 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3⁄7°, 등.)의 각도에 의한 회전은 대상을 변경하지 않습니다. "1-겹" 대칭은 대칭이 아닙니다 (모든 대상이 360°의 회전 후 비슷하게 보입니다).

n-겹 대칭에 대해 표기법(notation)은 C_n 또는 단순히 "n"입니다. 실제 대칭 그룹(symmetry group)은 n과 함께, 대칭의 점 또는 대칭의 축에 의해 지정됩니다. 대칭의 각 점 또는 대칭의 축에 대해, 추상적 그룹 유형은 순서 n의 순환 그룹(cyclic group), Z_n입니다. 비록 후자에 대해 역시 표기법 C_n이 사용될지라도, 기하학적 및 추상적인 C_n은 구별되어야 합니다: 기하학적으로 다른 것인 같은 추상적 그룹 유형의 다른 대칭 그룹이 있으며, 3D에서 순환 대칭 그룹을 참조하십시오.

그것의 기본 도메인(fundamental domain)은 360°/n의 부문입니다.

추가적인 반사 대칭(reflection symmetry)없이 예제:

n = 2, 180°: dyad; 문자 Z, N, S; 색상은 아니지만 음과 양(yin and yang) 기호의 윤곽선; 연합 깃발(Union Flag) (깃발의 대각선을 따라 분할되고, 깃발의 중심 점에 대한 회전될 때)
n = 3, 120°: triad, triskelion, Borromean rings; 때때로 용어 trilateral symmetry가 사용됩니다;
n = 4, 90°: tetrad, swastika
n = 6, 60°: hexad, Star of David
n = 8, 45°: octad, 팔각 muqarnas, 컴퓨터-생성된 (CG), 천장

C_n은 2D에서 정규 n-변 다각형(polygon)과 3D에서 정규 n-변 피라미드(pyramid)의 회전 그룹입니다.

만약 예를 들어 100°의 각도에 대관 회전 대칭이면, 100°와 360°의 최대 공통 약수(greatest common divisor), 20° 중 하나에 관해 역시 회전 대칭입니다.

회전 대칭이지만 거울 대칭이 아닌 전형적인 3D 대상은 프로펠러(propeller)입니다.

Examples

C2 (more)	C3 (more)	C4 (more)	C5 (more)	C6 (more)
Double Pendulum fractal	Roundabout traffic sign		US Bicentennial Star
The starting position in shogi	Snoldelev Stone's interlocked drinking horns design

Multiple symmetry axes through the same point

같은 점을 통과하는 여러 대칭 축을 갖는 이산 대칭(discrete symmetry)에 대해, 다음과 같은 가능성이 있습니다:

n-겹 축 외에도, n 수직 2-겹 축: 순서 2n의 이면체 그룹(dihedral group) D_n ( $n \geq 2$ ). 이것은 정규 프리즘(prism), 또는 정규 쌍-각뿔(bipyramid)의 회전 그룹입니다. 비록 같은 표기법이 사용되지만, 기하학적 및 추상적 D_n은 구별되어야 합니다: 기하학적으로 다른 같은 추상적 그룹 유형의 다른 대칭 그룹이 있으며, 3D에서 이면체 대칭 그룹을 참조하십시오.
4×3-겹 및 3×2-겹 축: 사면체의 순서 12의 회전 그룹 T. 그룹은 교대 그룹(alternating group) A₄와 동형적(isomorphic)입니다.
3×4-겹, 4×3-겹, 및 6×2-겹 축: 입방체(cube)와 정규 팔면체(octahedron)의 순서 24의 회전 그룹. 그 그룹은 대칭 그룹(symmetric group) S₄와 동형적입니다.
6×5-겹, 10×3-겹, 및 15×2-겹 축: 십이면체(dodecahedron)와 이십면체(icosahedron)의 순서 60의 회전 그룹 I. 그 그룹은 교대 그룹 A₅과 동형적입니다. 그 그룹은 D₃의 10 버전과 D₅의 6 버전을 포함합니다 (프리즘과 역프리즘과 같은 회전 대칭).

플라톤의 고체(Platonic solid)의 경우에서, 2-겹 축은 반대쪽 가장자리의 중간점을 통과하고, 그것들의 숫자는 가장자리 숫자의 절반입니다. 다른 축은 사면체의 경우를 제외하고 반대쪽 꼭짓점을 통과하고 반대쪽 면의 중심을 통과하며, 여기서 3-겹 축은 각각 하나의 꼭짓점과 한 면의 중심을 통과합니다.

Rotational symmetry with respect to any angle

이차원에서, 임의의 각도에 관한 회전적 대칭은 원형 대칭(circular symmetry)입니다. 기본 도메인은 절반-직선(half-line)입니다.

삼차원에서, 우리는 원통형 대칭(cylindrical symmetry)과 구형 대칭(spherical symmetry)을 구별할 수 있습니다 (한 축을 중심으로 회전할 때, 또는 임의의 회전에 대해 변경 없음). 즉, 원기둥 좌표(cylindrical coordinates)를 사용하는 각도에 의존성 없음 그리고 구면 좌표(spherical coordinates)를 사용하는 어느 각도에도 의존성 없음. 기본 도메인은 각각 축을 통한 반-평면(half-plane)과 방사형 절반-직선의 반-평면입니다. 축대칭wjr(axisymmetric) 또는 축대칭적인(axisymmetrical)은 도넛 (토러스)과 같이 원통형 대칭, 또는 축대칭 (즉, 중앙 축에 관한 회전 대칭)을 가지는 대상을 참조하는 형용사입니다. 근사적인 구형 대칭의 예제는 (밀도 및 기타 물리적 및 화학적 속성에 관한) 지구입니다.

4D에서, 평면에 대한 연속 또는 이산 회전적 대칭은 교차점에 대한 모든 각 수직 평면에서 해당하는 2D 회전적 대칭에 해당합니다. 대상은 역시 둘의 수직 평면에 대한 회전 대칭을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 만약 그것이 두 회전적으로 대칭 2D 그림의 데카르트 곱(Cartesian product)이면, 예를 들어, 듀오실린더(duocylinder)와 다양한 정규 이중-각기둥(duoprism)의 경우에서 처럼.

Rotational symmetry with translational symmetry

Arrangement within a primitive cell of 2- and 4-fold rotocenters. A fundamental domain is indicated in yellow.	Arrangement within a primitive cell of 2-, 3-, and 6-fold rotocenters, alone or in combination (consider the 6-fold symbol as a combination of a 2- and a 3-fold symbol); in the case of 2-fold symmetry only, the shape of the parallelogram can be different. For the case p6, a fundamental domain is indicated in yellow.

단일 평행이동적 대칭(translational symmetry)과 함께 2-겹 회전적 대칭은 프리즈 그룹(Frieze group) 중 하나입니다. 원시 셀(primitive cell) 당 둘의 회전중심이 있습니다.

이중 평행이동적 대칭과 함께, 회전 그룹은 원시 셀 당 축을 갖는 다음 벽지 그룹(wallpaper group)입니다:

p2 (2222): 4×2-겹; 평행사변형(parallelogram), 직사각형(rectangular), 및 마름모(rhombic) 격자(lattice)의 회전 그룹.
p3 (333): 3×3-겹; 임의의 격자의 회전 그룹이 아닙니다 (모든 각 격자는 위-아래로 같지만, 그것은 이 대칭에 적용되지 않습니다); 그것은 예를 들어 교대로 색칠된 등변 삼각형을 갖는 정규 삼각형 타일링(regular triangular tiling)의 회전 그룹입니다.
p4 (442): 2×4-겹, 2×2-겹; 정사각형(square) 격자의 회전 그룹.
p6 (632): 1×6-겹, 2×3-겹, 3×2-겹; 육각형(hexagonal) 격자의 회전 그룹.
2-겹 회전중심이 (가능한 4-겹과 6-겹을 포함), 만약 존재한다면, 인수 1/2에 의해 스케일된, 평행이동적 격자와 같은 격자의 평행이동을 형성합니다. 일차원에서 평행이동적 대칭 경우에서, 유사한 속성이 적용되지만, 그 용어 "격자"는 적용되지 않습니다.
3-겹 회전중심이 (가능한 6-겹 포함), 만약 존재한다면, 30° (또는 동등하게 90°)에 의해 회전되고, 인수 ${\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$ 에 의해 스케일된, 평행이동적 격자와 같은 정규 육각형 격자를 형성합니다.
4-겹 회전중심이, 만약 존재한다면, 45°에 의해 회전되고, 인수 ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ 에 의해 스케일된 평행이동적 격자와 같은 정규 정사각형 격자를 형성합니다.
6-겹 회전중심이, 만약 존재한다면, 평행이동적 격자의 평행이동인 정규 육각형 격자를 형성합니다.

격자의 스케일링은 단위 넓이당 점의 숫자를 스케일 인수의 제곱으로 나눕니다. 그러므로, 원시 셀 당 2-, 3-, 4-, 및 6-겹 회전중심의 숫자는 각각 4, 3, 2, 및 1이고, 2-겹 등의 특수한 경우로 4-겹을 다시 포함합니다.

한 점에서 3-겹 회전 대칭과 또 다른 점에서 2-겹 회전 (또는 평행 축에 관한 3D에서 동일)은 회전 그룹 p6, 즉, 일부 점 (또는 3D에서, 평행 축)에서 이중 평행이동적 대칭과 6-겹 회전적 대칭을 의미합니다. 그러한 회전 중심 쌍 중 하나에 의해 생성된 대칭에 대해 평행이동 거리는 $2{\sqrt {3}}$ 곱하기 그것들의 거리입니다.

Euclidean plane	Hyperbolic plane
Hexakis triangular tiling, an example of p6, [6,3]⁺, (632) (with colors) and p6m, [6,3], (*632) (without colors); the lines are reflection axes if colors are ignored, and a special kind of symmetry axis if colors are not ignored: reflection reverts the colors. Rectangular line grids in three orientations can be distinguished.	Order 3-7 kisrhombille, an example of [7,3]⁺ (732) symmetry and [7,3], (*732) (without colors)

References

Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.

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Rotational Symmetry Examples from Math Is Fun

[1] Rotational symmetry of Weingarten spheres in homogeneous three-manifolds. By Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira

[2] Topological Bound States in the Continuum in Arrays of Dielectric Spheres. By Dmitrii N. Maksimov, LV Kirensky Institute of Physics, Krasnoyarsk, Russia

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