Euclidean group

수학(mathematics)에서, 유클리드 그룹(Euclidean group)은 유클리드 공간 $\mathbb {E} ^{n}$ 의 (유클리드) 등거리변환(isometries)의 그룹입니다; 즉, 임의의 두 점 사이의 유클리드 거리를 보존하는 해당 공간의 변환입니다 (유클리드 변환이라고도 합니다). 그 그룹은 공간의 차원 n에만 의존하고, 공통적으로 E(n) 또는 ISO(n)으로 표시됩니다.

유클리드 그룹 E(n)은 $\mathbb {E} ^{n}$ 의 모든 평행이동(translations), 회전(rotations), 및 반사(reflections); 그리고 그것들의 임의적인 유한 조합으로 구성됩니다. 유클리드 그룹은 공간 자체의 대칭 그룹(symmetry group)으로 볼 수 있고, 해당 공간의 모든 도형 (부분집합)의 대칭의 그룹을 포함합니다.

유클리드 등거리변환은 그것이 도형의 손모양을 보존하는지 여부에 따라 직접적(direct) 또는 간접적(indirect)일 수 있습니다. 직접 유클리드 등거리변환은 종종 SE(n)으로 표시되는 특수 유클리드 그룹(special Euclidean group), 부분그룹을 형성하며, 그 원소는 강체 운동(rigid motions) 또는 유클리드 운동이라고 불립니다. 그것들은 평행이동과 회전의 임의적인 조합으로 구성되지만 반사는 포함되지 않습니다.

이들 그룹(groups)은 적어도 차원 2 및 3의 경우에서 가장 오래되고 가장 많이 연구된 그룹에 속합니다 – 암묵적으로, 그룹의 개념이 발명되기 오래 전의 일입니다.

Overview

Dimensionality

E(n)에 대한 자유도(degrees of freedom)의 개수는 n(n + 1)/2이며, 경우 n = 2에서 3이고, n = 3에 대해 6입니다. 이들 중, n은 사용 가능한 평행이동적 대칭(translational symmetry)에 기인하고, 남아있는 n(n − 1)/2는 회전적 대칭(rotational symmetry)에 기인할 수 있습니다.

Direct and indirect isometries

직접 등거리변환 (즉, 카이럴 부분집합의 손모양을 보존하는 등거리변환)은 특수 유클리드 그룹이라고 불리고 보통 E⁺(n) 또는 SE(n)으로 표시되는 E(n)의 부분그룹(subgroup)을 포함합니다. 여기에는 평행이동, 회전, 및 그것들의 조합이 포함됩니다; 항등 변환을 포함하지만 임의의 반사는 제외합니다.

손모양을 뒤집는 등거리변환은 간접(indirect), 또는 반대(opposite)라고 불립니다. 일부 초평면에 대한 반사와 같은 임의의 고정된 간접 등거리변환 R에 대해, 모든 각 다른 간접 등거리변환은 일부 직접 등거리변환과 함께 R의 합성에 의해 얻어질 수 있습니다. 그러므로, 간접 등거리변환은 E⁺(n)의 코셋(coset)이며, 이는 E⁻(n)으로 표시될 수 있습니다. 따라서 부분그룹 E⁺(n)은 E(n)에서 인덱스(index) 2입니다.

Topology of the group

유클리드 공간 $\mathbb {E} ^{n}$ 의 자연스러운 토폴로지(topology)는 유클리드 그룹 E(n)에 대한 토폴로지를 의미합니다. 즉, $\mathbb {E} ^{n}$ 의 등거리변환의 수열 f_i ( $i\in \mathbb {N}$ )이 수렴하도록 정의되는 것과 $\mathbb {E} ^{n}$ 의 임의의 점 p에 대해, 점의 수열 p_i가 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

이 정의에서, 함수 $f:[0,1]\to E(n)$ 이 연속적인 것과 $\mathbb {E} ^{n}$ 의 임의의 점 p에 대해, f_p(t) = (f(t))(p)로 정의된 함수 $f_{p}:[0,1]\to \mathbb {E} ^{n}$ 가 연속적인 것은 필요충분 조건임이 따라옵니다. 그러한 함수는 E(n)에서 "연속 궤적(continuous trajectory)"이라고 불립니다.

특수 유클리드 그룹 SE(n) = E⁺(n)이 이 토폴로지에서 연결되어 있음이 밝혀졌습니다. 즉, $\mathbb {E} ^{n}$ 의 임의의 두 개의 직접 등거리변환 A와 B가 주어졌을 때, E⁺(n)에서 f(0) = A와 f(1) = B임을 만족하는 연속 궤적 f가 있습니다. 같은 것은 간접 등거리변환 E⁻(n)에 대해 참입니다. 다른 한편으로, 그룹 E(n)은 전체적으로 연결되어 있지 않습니다: E⁺(n)에서 시작하여 E⁻(n)에서 끝나는 연속적인 궤적이 없습니다.

E(3)의 연속 궤적은 시간이 지남에 따라 3-차원 공간에서 강체의 물리적으로 가능한 운동을 설명하기 때문에 고전 역학(classical mechanics)에서 중요한 역할을 합니다. f(0)을 $\mathbb {E} ^{3}$ 의 항등 변환(identity transformation) I로 취하여, 몸체의 초기 위치를 설명합니다. 임의의 나중 시간 t에서 몸체의 위치와 방향은 변환 f(t)로 설명될 것입니다. f(0) = I가 E⁺(3)에 있기 때문에, 같은 것은 임의의 나중 시간에 대한 f(t)에 대해 참이어야 합니다. 이러한 이유로, 직접 유클리드 등거리변환은 "강체 운동"이라고도 불립니다.

Lie structure

유클리드 그룹은 토폴로지적 그룹(topological groups)일뿐만 아니라, 그것들은 미적분(calculus) 개념이 이 설정에 즉시 적용될 수 있도록 리 그룹(Lie groups)입니다.

Relation to the affine group

유클리드 그룹 E(n)은 n 차원에 대한 아핀 그룹(affine group)의 부분그룹이고, 두 그룹의 반직접 곱(semidirect product) 구조를 존중하는 방식입니다. 이것은 명시적 표기법으로 원소를 쓰는 두 가지 방법, a fortiori을 제공합니다. 이것들은 다음과 같습니다:

쌍 (A, b)에 의해, A는 n × n 직교 행렬(orthogonal matrix), b는 크기 n의 실수 열 벡터(column vector); 또는
크기 n + 1의 단일 정사각 행렬(square matrix)에 의해, 아핀 그룹(affine group)에 대해 설명된 대로.

첫 번째 표현에 대한 자세한 내용은 다음 섹션에서 제공됩니다.

펠릭스 클라인(Felix Klein)의 Erlangen programme의 관점에서, 우리는 이것으로부터 유클리드 기하학(Euclidean geometry), 즉 대칭의 유클리드 그룹의 기하학이, 따라서, 아핀 기하학(affine geometry)의 특수화라는 것을 읽습니다. 모든 아핀 정리가 적용됩니다. 유클리드 기하학의 기원은 거리(distance)의 개념을 정의할 수 있게 하며, 이로부터 각도(angle)는 그런-다음 추론될 수 있습니다.

Detailed discussion

Subgroup structure, matrix and vector representation

유클리드 그룹은 아핀 변환(affine transformations)의 그룹의 부분그룹입니다.

그것은 부분그룹으로 평행이동적 그룹 T(n)과 직교 그룹(orthogonal group) O(n)을 가집니다. E(n)의 임의의 원소는 다음과 같은 고유한 방법에서 직교 변환 (등거리변환의 선형 부분)이 뒤따르는 평행이동입니다: $x\mapsto A(x+b)$ 여기서 A는 직교 행렬(orthogonal matrix) 또는 같은 직교 변환 다음에 아래와 같은 평행이동입니다: $x\mapsto Ax+c,$ 이때 $c = Ab$ 입니다. T(n)은 E(n)의 정규 부분그룹(normal subgroup)입니다: 모든 각 평행이동 t와 모든 각 등거리변환 u에 대해, 다음 합성(composition)은 $u^{-1}tu$ 다시 평행이동입니다. 함께, 이들 사실은 E(n)이 ${\text{E}}(n)={\text{T}}(n)\rtimes {\text{O}}(n)$ 으로 쓰이는 T(n)에 의해 확장된 O(n)의 반직접 곱(semidirect product)임을 의미합니다. 다시 말해, O(n)은 (자연스러운 방법에서) T(n)에 의한 E(n)의 몫 그룹(quotient group)이기도 합니다: ${\text{O}}(n)\cong {\text{E}}(n)/{\text{T}}(n)$

이제 특수 직교 그룹(special orthogonal group), SO(n)은 인덱스(index) 2의 O(n)의 부분그룹입니다. 그러므로, E(n)은 직접(direct) 등거리변환으로 구성된 역시 인덱스 2의 부분그룹 E⁺(n)을 가집니다. 이들 경우에서 A의 행렬식은 1입니다.

그것들은 어떤 종류의 반사 (차원 2와 3에서, 이것들은 원점을 포함하도록 취할 수 있는 거울 직선 또는 평면에서 익숙한 반사, 또는 3D에서, 회전-반사)가 뒤따르는 평행이동이 아니라 회전이 뒤따르는 평행이동으로 표현됩니다.

이 관계는 공통적으로 다음과 같이 씁니다: ${\text{SO}}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/{\text{T}}(n)$ 또는, 동등하게: ${\text{E}}^{+}(n)={\text{SO}}(n)\ltimes {\text{T}}(n).$

Subgroups

E(n)의 부분그룹의 유형:

유한 그룹(Finite groups).

그것들은 항상 고정 점을 가집니다. 3D에서, 모든 각 점에 대해, 모든 각 방향에 대해 유한 그룹 중에서 (포함에 관해) 최대인 2개: O_h 및 I_h가 있습니다. 그룹 I_h는 다음 카테고리를 포함하는 그룹 중에서 최대입니다.

Countably infinite groups without arbitrarily small translations, rotations, or combinations

즉, 모든 각 점에 대해 등거리변환 아래에서 이미지의 집합은 토폴로지적으로 이산(discrete)입니다 (예를 들어, 1 ≤ m ≤ n에 대해 독립적인 방향으로 m 평행이동에 의해 생성된 그룹, 및 가능한 유한 점 그룹). 이것은 격자(lattices)를 포함합니다. 그보다 더 일반적인 예제는 이산 공간 그룹(space groups)입니다.

Countably infinite groups with arbitrarily small translations, rotations, or combinations

이 경우에서 등거리변환 아래에서 이미지의 집합이 닫히지 않는 점이 있습니다. 그러한 그룹의 예제는, 1D에서, 1의 평행이동과 √2의 평행이동으로 생성된 그룹과, 2D에서, 1 라디안만큼 원점에 대한 회전에 의해 생성된 그룹입니다.

Non-countable groups, where there are points for which the set of images under the isometries is not closed

(예를 들어, 2D에서 한 방향으로의 모든 평행이동, 및 또 다른 방향에서 유리수 거리에 의한 모든 평행이동).

Non-countable groups, where for all points the set of images under the isometries is closed

예를 들어:

고정된 원점, 또는 보다 일반적으로, 일부 점을 유지하는 모든 등거리변환 (3D에서 회전 그룹이라고 불림)
고정된 원점, 또는 보다 일반적으로, 일부 점을 유지하는 모든 등거리변환 (직교 그룹)
모든 직접 등거리변환 E⁺(n)
전체 유클리드 그룹 E(n)
직교 (n−m)-차원 공간에서 등거리변환의 이산 그룹과 조합된 m-차원 부분공간에서 이들 그룹 중 하나
직교 (n−m)-차원 공간에서 또 다른 그룹과 조합된 m-차원 부분공간에서 이들 그룹 중 하나

3D에서 조합의 예제:

하나의 고정된 축에 대한 모든 회전
축을 통과하는 평면 및/또는 축에 수직인 평면에서 반사와 조합된 ditto
축을 따라 이산 평행이동 또는 축을 따라 모든 등거리변환과 조합된 ditto
수직 방향에서 임의의 대칭 그룹과 조합된 평면에서 이산 점 그룹, 프리즈 그룹, 또는 벽지 그룹
일부 축에 대한 회전과 축을 따른 비례적 평행이동의 조합인 모든 등거리변환; 일반적으로 이것은 같은 축에 대한 k-겹 회전적 등거리변환과 조합됩니다 (k ≥ 1); 등거리변환 아래에서 점의 이미지의 집합은 k-겹 나선(helix)입니다; 게다가 수직으로 교차하는 축에 대한 2-겹 회전이 있을 수 있고, 따라서 그러한 축의 k-겹 나선이 있을 수 있습니다.
임의의 점 그룹에 대해: 점 그룹에서 등거리변환과 평행이동의 조합인 모든 등거리변환의 그룹입니다; 예를 들어, 원점에서 반전에 의해 생성된 그룹의 경우에서: 모든 점에서 모든 평행이동과 반전의 그룹; 이것은 R³의 일반화된 이면체 그룹(dihedral group), Dih(R³)입니다.

Overview of isometries in up to three dimensions

E(1), E(2), 및 E(3)는 자유도(degrees of freedom)와 함께 다음과 같이 분류될 수 있습니다:

Isometries of E(1)
Type of isometry	Degrees of freedom	Preserves orientation?
Identity	0	Yes
Translation	1	Yes
Reflection in a point	1	No

Isometries of E(2)
Type of isometry	Degrees of freedom	Preserves orientation?
Identity	0	Yes
Translation	2	Yes
Rotation about a point	3	Yes
Reflection in a line	2	No
Glide reflection	3	No

Isometries of E(3)
Type of isometry	Degrees of freedom	Preserves orientation?
Identity	0	Yes
Translation	3	Yes
Rotation about an axis	5	Yes
Screw displacement	6	Yes
Reflection in a plane	3	No
Glide plane operation	5	No
Improper rotation	6	No
Inversion in a point	3	No

샤를의 정리(Chasles' theorem)는 E⁺(3)의 임의의 원소가 나사 변위(screw displacement)라고 주장합니다.

역시 3D isometries that leave the origin fixed, space group, involution를 참조하십시오.

Commuting isometries

일부 등거리변환 쌍에 대해, 합성은 순서에 의존하지 않습니다:

두 개의 평행이동
같은 축에 대한 두 개의 회전 또는 나사
평면에 관한 반사, 및 해당 평면에서의 평행이동, 평면에 수직인 축에 대한 회전, 또는 수직 평면에 관한 반사
평면에 관한 미끄럼 반사, 및 해당 평면에서의 평행이동
점에서 반전 및 고정된 점을 유지하는 임의의 등거리변환
축에 대한 180°만큼 회전 및 해당 축을 통한 평면에서의 반사
축에 대한 180°만큼 회전 및 수직 축에 대한 180°만큼 회전 (두 축에 수직인 축에 대한 180°만큼 회전의 결과)
같은 평면에 관한 같은 축에 대한 두 개의 회전-반사
같은 평면에 관한 두 개의 미끄럼 반사

Conjugacy classes

어떤 방향으로든 주어진 거리만큼의 평행이동은 켤레 클래스(conjugacy class)를 형성합니다; 평행이동 그룹은 모든 거리에 대한 그것들의 합집합입니다.

1D에서, 모든 반사는 같은 클래스에 있습니다.

2D에서, 두 방향에서 같은 각도만큼 회전은 같은 클래스에 있습니다. 같은 거리만큼 평행이동을 갖는 미끄럼 반사는 같은 크래스에 있습니다.

3D에서:

모든 점에 관한 반전은 같은 클래스에 있습니다.
같은 각도만큼 회전은 같은 클래스에 있습니다.
해당 축을 따른 평행이동과 조합된 축에 대한 회전은 만약 그 각도가 같고 평행이동 거리가 같으면 같은 클래스에 있습니다.
평면에서의 반사는 같은 클래스에 있습니다.
같은 거리만큼 해당 평면에서 평행이동과 조합된 평면에서의 반사는 같은 클래스에 있습니다.
180°와 같지 않은 같은 각도만큼 축에 대한 회전과 조합된 해당 축에 수직인 평면에서의 반사는 같은 클래스에 있습니다.

References

Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. pp. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3.
William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5