Bump function

Original article: w:Bump function

The graph of the bump function $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r)$, where $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ and $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$

수학(mathematics)에서, 혹 함수(bump function, 역시 테스트 함수라고 불림)는 (모든 차수의 연속 도함수를 가진다는 의미에서) 매끄럽고 컴팩트하게 지원된 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 함수 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$입니다. 도메인(domain) $\mathbb {R} ^{n}$을 갖는 모든 혹 함수의 집합(set)은 벡터 공간(vector space)을 형성하며, $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ 또는 $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$으로 표시됩니다. 적절한 토폴로지(topology)가 부여된 이 공간의 이중 공간(dual space)은 분포(distributions)의 공간입니다.

Examples

The 1d bump function Ψ(x).

다음에 의해 주어진 함수 $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 $$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$ 일 차원에서 혹 함수의 예시입니다. 실수 직선의 함수가 컴팩트 지원을 가지는 것과 그것이 경계진 닫힌 지원을 가지는 것은 필요충분 조건이기 때문에, 이 함수가 컴팩트 지원을 가진다는 구성에서 분명합니다. 매끄러움의 증명은 비-해석적 매끄러운 함수(Non-analytic smooth function) 기사에서 논의된 관련 함수와 같은 선을 따릅니다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 스케일된 가우스 함수(Gaussian function) $\exp \left(-y^{2}\right)$로 해석될 수 있습니다: 치환 $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$는 $x=\pm 1$을 $y=\infty$로 보내는 것에 해당합니다.

$n$ 변수에서 (제곱) 혹 함수의 간단한 예제는 하나의 변수에서 위의 혹 함수의 $n$ 복사본을 취함으로써 얻어지므로, $$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$$

Existence of bump functions

An illustration of the sets in the construction.

혹 함수를 "사양에 맞게" 구성할 수 있습니다. 형식적으로 말하면, 만약 $K$가 $n$ 차원에서 임의적인 컴팩트 집합이고 $U$가 $K,$를 포함하는 열린 집합이면, $K$ 위에 $1$과 $U$의 밖에서 $0$인 혹 함수 $\phi$가 존재합니다. $U$는 $K$의 매우 작은 이웃으로 취할 수 있기 때문에, 이것은 $K$ 위에 $1$이고 $K$ 밖에서 $0$으로 빠르게 떨어지면서 여전히 매끄럽게 되는 함수를 구성할 수 있는 것과 같습니다.

구성은 아래와 같이 진행됩니다. $U$에 포함된 $K$의 컴팩트 이웃 $V$를 고려하므로, $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U$입니다. $V$의 특성 함수(characteristic function) $\chi _{V}$는 $V$ 위에 1, $V$ 밖에서 $0$과 같을 것이므로, 특히, $K$ 위에 1이고 $U$ 밖에서 $0$일 것입니다. 어쨌든, 이 함수는 매끄럽지 않습니다. 핵심 아이디어는 완화자(mollifier)를 갖는 $\chi _{V}$의 합성곱(convolution)을 취함으로써 $\chi _{V}$를 약간 매끄럽게 하는 것입니다. 후자는 매우 작은 지원을 갖는 혹 함수일 뿐이고 그 적분은 $1$입니다. 예를 들어, 이전 섹션에서 혹 함수 $\Phi$를 취하고 적절한 스케일링을 수행함으로써 그러한 완화자를 얻을 수 있습니다.

합성곱을 포함하지 않는 대안적인 구성이 이제 자세히 설명됩니다. 음의 실수에서 사라지고 양의 실수에서 양수인 임의의 매끄러운 함수 $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$로 시작합니다 (즉, $(-\infty ,0)$에서 $c=0$과 $(0,\infty )$에서 $c>0$, 여기서 왼쪽에서 연속성은 $c(0)=0$을 필요로 합니다); 그러한 함수의 예제는 $x>0$에 대해 $c(x):=e^{-1/x}$이고 그렇지 않으면 $c(x):=0$입니다. $\mathbb {R} ^{n}$의 열린 부분집합 $U$를 고정하고 보통의 유클리드 노름(Euclidean norm)을 $\|\cdot \|$로 표시합니다 (따라서 $\mathbb {R} ^{n}$는 보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)이 부여됩니다). 다음 구성은 $U$에서 양수이고 $U$의 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$를 정의합니다. 따라서 특히, $U$가 상대적으로 컴팩트하면, 이 함수 $f$는 혹 함수가 될 것입니다.

만약 $U=\mathbb {R} ^{n}$이면 $f=1$라고 놓고 반면에 $U=\varnothing$이면 $f=0$라고 놓습니다; 따라서 $U$가 이들 중 어느 것도 아니라고 가정합니다. $\left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$를 열린 공 $U_{k}$가 반지름 $r_{k}>0$을 가지고 중심 $a_{k}\in U$를 가지는 열린 공에 의한 $U$의 열린 덮개라고 놓습니다. 그런-다음 $f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)$에 의해 정의된 맵 $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$은 $U_{k}$에서 양수이고 $U_{k}$ 밖에서 사라지는 매끄러운 함수입니다. 모든 각 $k\in \mathbb {N}$에 대해, 다음이라고 놓습니다:$$M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},$$ 여기서 이 상한(supremum)은 $+\infty$와 같지 않은데 (따라서 $M_{k}$는 음이 아닌 실수), 왜냐하면 $\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},$ 부분 도함수는 $U_{k}$의 밖의 임의의 $x$에서 모두 사라지고 ($0$과 같고), 반면에 컴팩트 집합 ${\overline {U_{k}}}$ 위에, 각 (유한하게 많은) 부분 도함수의 값은 일부 비-음의 실수에 의해 위에 (균등하게) 경계져 있습니다. 다음 급수는 $$f:=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}$$ $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 $U$에서 양수이고 $U$ 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$으로 균등하게 수렴합니다. 게다가, 임의의 비-음의 정수 $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z}$에 대해, $${\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}$$ 여기서 이 급수는 $\mathbb {R} ^{n}$에서 균등하게 수렴합니다 (왜냐하면 $k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}$일 때마다, $k$-번째 항의 절댓값은 $\leq {\frac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\frac {1}{2^{k}}}$이기 때문입니다).

따름정리로서, $\mathbb {R} ^{n}$의 두 개의 서로소 닫힌 부분집합 $A,B$와 임의의 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, $f_{A}(x)=0$인 것과 $x\in A$인 것이 필요충분 조건이고, 유사하게 $f_{B}(x)=0$인 것과 $x\in B$인 것이 필요충분 조건임을 만족하는 매끄러운 비-음의 함수 $f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$가 주어지면, 함수 $f:={\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$는 매끄러운 것이고, 임의의 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, $f(x)=0$인 것과 $x\in A$인 것이 필요충분 조건이고, $f(x)=1$인 것과 $x\in B$인 것이 필요충분 조건이고, $0<f(x)<1$인 것과 $x\not \in A\cup B$인 것이 필요충분 조건입니다. 특히, $f(x)\neq 0$인 것과 $x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A$인 것이 필요충분 조건이므로, 게다가 $U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A$가 $\mathbb {R} ^{n}$에서 상대적으로 컴팩트이면 (여기서 $A\cap B=\varnothing$는 $B\subseteq U$를 의미함), $f$는 ${\overline {U}}$에서 지원을 갖는 매끄러운 혹 함수가 될 것입니다.

Properties and uses

혹 함수는 매끄러운 것이지만, 그것들은 동일하게 사라지지(vanish) 않은 한 해석적(analytic)일 수 없습니다 이것은 항등 정리(identity theorem)의 간단한 결과입니다. 혹 함수는 종종 완화자(mollifiers)로, 매끄러운 절단 함수(cutoff functions)로, 및 매끄러운 단위의 분할(partitions of unity)을 형성하기 위해 사용됩니다. 그것들은 해석학에 사용되는 가장 공통적인 테스트 함수(test functions)의 클래스입니다. 혹 함수의 공간은 많은 연산 아래에서 닫혀 있습니다. 예를 들어, 두 혹 함수의 합, 곱, 또는 합성곱(convolution)은 다시 혹 함수이고, 매끄러운 계수를 갖는 임의의 미분 연산자(differential operator)는, 혹 함수에 적용될 때, 또 다른 혹 함수를 생성할 것입니다.

만약 혹 함수 도메인의 경계가 $\partial x$이면, "매끄러움"의 요구 사항을 충족하기 위해 그것은 모든 도함수의 연속성을 보존해야 하며, 이는 그 도메인의 경계에서 다음 요구 사항으로 이어집니다:$$\lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z}$$

혹 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 (실수) 해석적 함수이고, 전체 복소 평면으로 확장될 수 있습니다: 따라서 유일한 전체 해석적 혹 함수가 영 함수이기 때문에, 그것이 영이 아닌 한 컴팩트하게 지원된 것일 수 없습니다 (Paley–Wiener theorem와 Liouville's theorem를 참조하십시오). 혹 함수는 무한하게 미분-가능이기 때문에, 그것의 푸리에 변환은 큰 각 주파수 $|k|$에 대해 $1/k$의 임의의 유한한 거듭제곱보다 더 빨리 감쇠해야 합니다. 위로부터 다음 특정 혹 함수의 푸리에 변환은 $$\Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}$$ 안장-점 방법(saddle-point method)에 의해 분석될 수 있고, 큰 $|k|$에 대해 다음과 같이 점근적으로 감쇄합니다: $$|k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}$$

See also

• Cutoff function
• Laplacian of the indicator
• Non-analytic smooth function
• Schwartz space

References

• Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.