Center (geometry)
기하학(geometry)에서, 대상의 중심 (centre 또는 center; from grc κέντρον (kéntron), '뾰족한 대상'을 의미함)은 어떤 의미에서 대상(object)의 중앙에 있는 점(point)입니다. 고려한 중심의 구체적인 정의에 따르면, 대상은 중심을 가지지 않을 수 있습니다. 만약 기하학이 등거리-변환 그룹(isometry groups)의 연구로 고려되면, 중심은 대상을 그 자체로 이동시키는 모든 등거리-변환의 고정된 점입니다.
Circles, spheres, and segments
원(circle)의 중심은 가장자리 위의 점에서 등거리(equidistant)에 있는 점입니다. 마찬가지로 구(sphere)의 중심은 표면 위의 점에서 등거리에 있는 점이고, 선분의 중심은 두 끝의 중간점(midpoint)입니다.
Symmetric objects
여러 대칭(symmetries)을 갖는 대상에 대해, 대칭의 중심(center of symmetry)은 대칭 동작에 의해 변경되지 않은 상태로 남아 있는 점입니다. 따라서 정사각형(square), 직사각형(rectangle), 마름모(rhombus), 또는 평행사변형(parallelogram)의 중심은 대각선이 교차하는 곳이며, 이것은 (다른 속성 중에서) 회전 대칭의 고정된 점입니다. 유사하게 타원(ellipse)이나 쌍곡선(hyperbola)의 중심은 축이 교차하는 곳입니다.
Triangles
삼각형의 몇 가지 특수 점은 종종 삼각형 중심(triangle centers)으로 설명됩니다:
- 둘레-중심(circumcenter), 모든 세 꼭짓점(vertices)을 통과하는 원의 중심입니다;
- 도형-중심(centroid) 또는 질량의 중심(center of mass), 삼각형이 균등 밀도를 가지면 균형을 이루는 점입니다;
- 내-중심(incenter), 삼각형의 모든 세 변에 내부적으로 접하는 원의 중심입니다;
- 직교-중심(orthocenter), 삼각형의 세 개의 고도(altitudes)의 교차점입니다; 그리고
- 아홉-점 중심(nine-point center), 삼각형의 아홉 핵심 점을 통과하는 원의 중심입니다.
등변 삼각형(equilateral triangle)에 대해, 이것들은 삼각형의 세 대칭 축의 교차점에 놓이는 같은 점이며, 밑변에서 꼭대기까지 거리의 1/3입니다.
삼각형 중심의 엄격한 정의는 그것의 삼선형 좌표(trilinear coordinates)가 f(a,b,c) : f(b,c,a) : f(c,a,b)인 점이며, 여기서 f는 다음을 만족하는 삼각형의 세 변의 길이, a, b, c의 함수입니다:
- f는 a, b, c에서 동차입니다; 즉, 어떤 실수 거듭제곱 h에 대해 f(ta,tb,tc)=thf(a,b,c)입니다; 따라서 중심의 위치는 스케일과 무관합니다.
- f는 그것의 마지막 둘의 인수에서 대칭적입니다; 즉, f(a,b,c)= f(a,c,b)입니다; 따라서 거울-이미지 삼각형에서 중심의 위치는 원래 삼각형에서 그것의 위치의 거울-이미지입니다.[1]
이 엄격한 정의는 브로카르 점(Brocard points) (거울-이미지 반사에 의해 교환됨)와 같은 이-중심 점의 쌍을 제외합니다. 2020년 기준으로, 삼각형 중심 백과사전(Encyclopedia of Triangle Centers)에는 39,000개가 넘는 다른 삼각형 중심을 나열하고 있습니다.[2]
Tangential polygons and cyclic polygons
접하는 다각형(tangential polygon)은 내원 또는 내접원이라고 불리는 특정 원에 접하는(tangent) 각 변을 가지고 있습니다. 내-중심이라고 하는 내원(incircle)의 중심은 다각형의 중심으로 고려될 수 있습니다.
순환 다각형(cyclic polygon)은 둘레-원(circumcircle) 또는 둘레접-원이라고 하는 특정 원에 각 꼭짓점을 가지고 있습니다. 둘레-중심이라고 하는 둘레-원의 중심은 다각형의 중심으로 고려될 수 있습니다.
만약 다각형이 접하고 순환 둘 다이면, 그것은 이-중심(bicentric)이라고 불립니다. (예를 들어 모든 삼각형은 이-중심입니다.) 이-중심 다각형의 내-중심과 외-중심은 일반적으로 같은 점이 아닙니다.
General polygons
일반 다각형(polygon)의 중심은 여러 가지 방법으로 정의될 수 있습니다. "꼭짓점 도형-중심"은 다각형을 빈 것이지만 꼭짓점에 같은 질량을 가지는 것으로 고려하는 데서 비롯됩니다. "변 도형-중심"은 변을 단위 길이 당 일정한 질량을 가지는 것으로 고려하는 데서 비롯됩니다. 단지 도형-중심(centroid) (넓이의 중심)이라고 하는 보통의 중심은 다각형의 표면을 일정한 밀도를 가지는 것으로 고려하는 데서 비롯됩니다. 이들 세 점은 일반적으로 모두 같은 점이 아닙니다.
Projective conics
투영 기하학(projective geometry)에서, 모든 각 직선은 무한대에서 점(point at infinity) 또는 그것과 평행한 모든 직선과 교차하는 "비유적 점"을 가지고 있습니다. 유클리드 기하학의 타원, 포물선, 및 쌍곡선은 투영 기하학에서는 원뿔형(conics)이라고 불리고, 원근법이 아닌 투영법에서 슈타이너 원뿔형(Steiner conics)으로 구성될 수 있습니다. 주어진 원뿔을 갖는 투영 평면의 대칭은 모든 각 점이나 극점(pole)을 그것의 극선(polar)이라고 하는 직선에 연결합니다. 투영 기하학에서 중심의 개념은 이 관계를 사용합니다. 다음 주장은 G. B. Halsted의 것입니다.[3]
- 유한 분파의 끝 점에 관한 무한대에서 점의 조화 켤레(harmonic conjugate)는 해당 분파의 '중심'입니다.
- 특정 원뿔에 관한 무한대에서 직선의 극점은 원뿔의 '중심'입니다.
- 임의의 비유적 점의 극선은 원뿔의 중심 위에 있고 '지름'이라고 불립니다.
- 임의의 타원의 중심은 그것의 극선이 곡선과 만나지 않고, 따라서 타원에서 곡선까지 접선이 없기 때문에 타원 안에 있습니다. 포물선의 중심이 비유적 직선의 접촉 점입니다.
- 비유적 직선이 곡선과 교차하기 때문에 쌍곡선의 중심은 곡선 없이 놓여 있습니다. 중심에서 쌍곡선까지의 접선은 '점근선'이라고 불립니다. 그들의 접촉 점은 곡선 위의 무한대에서 두 점입니다,
See also
References
- ^ Algebraic Highways in Triangle Geometry Archived January 19, 2008, at the Wayback Machine
- ^ Kimberling, Clark. "This is PART 20: Centers X(38001) - X(40000)". Encyclopedia of Triangle Centers.
- ^ G. B. Halsted (1903) Synthetic Projective Geometry, #130, #131, #132, #139