Altitude (triangle)

The three altitudes of a triangle intersect at the orthocenter, which for an acute triangle is inside the triangle.

기하학(geometry)에서, 삼각형(triangle)의 고도는 꼭짓점(vertex)을 통과하고 밑면(base) (꼭짓점의 반대쪽 변)을 포함하는 직선에 수직(perpendicular) (즉, 직선과 직각(right angle)을 형성함)인 선분(line segment)입니다. 반대쪽 변을 포함하는 이 직선은 고도의 연장된 밑변(extended base)이라고 불립니다. 연장된(extended) 밑변과 고도의 교차점을 고도의 발(foot)이라고 불립니다. 종종 단순히 "고도"라고 불리는 고도의 길이는 연장된 밑변과 꼭짓점 사이의 거리입니다. 꼭짓점에서 발까지 고도를 그리는 과정은 해당 꼭짓점에서 고도를 내림(dropping the altitude)으로 알려져 있습니다. 그것은 직교 투영(orthogonal projection)의 특별한 경우입니다.

고도는 삼각형의 넓이(area) 계산에 사용될 수 있습니다: 고도 길이와 밑변 길이의 곱의 절반은 삼각형의 넓이와 같습니다. 따라서, 가장 긴 고도는 삼각형의 가장 짧은 변에 수직입니다. 고도는 역시 삼각 함수(trigonometric functions)를 통해 삼각형의 변과 관련됩니다.

이등변 삼각형(isosceles triangle) (둘의 합동(congruent) 변을 갖는 삼각형)에서, 비-합동 변을 그것의 밑변으로 가지는 고도는 해당 변의 중간점(midpoint)을 그것의 발로 가질 것입니다. 역시, 비-합동 변을 그것의 밑변으로 가지는 고도는 꼭짓점 각도의 각도 이등분선(angle bisector)일 것입니다.

고도를 문자 h (height에서와 같이)로 표시하는 것이 공통적이며, 종종 고도가 그려지는 쪽의 이름과 함께 아래첨자를 쓰입니다.

직각 삼각형(right triangle)에서, 빗변 c에 그려진 고도는 빗변을 길이 p와 q의 두 선분으로 나눕니다. 만약 우리가 고도의 길이를 h_c로 나타내면, 우리는 그때에 다음 관계를 가집니다:

h_{c}={\sqrt {pq}}

(Geometric mean theorem)

In a right triangle, the altitude from each acute angle coincides with a leg and intersects the opposite side at (has its foot at) the right-angled vertex, which is the orthocenter.

예각 삼각형에 대해, 고도의 발은 모두 삼각형의 (연장선이 아닌) 변 위에 떨어집니다. 둔각 삼각형 (하나의 둔각(obtuse angle)을 갖는 삼각형)에서, 둔각 꼭짓점에 대한 고도의 발은 반대쪽 내부에 떨어지지만, 예각 꼭짓점에 대한 고도의 발은 반대쪽 연장된 변(extended side), 삼각형 외부에 떨어집니다. 이것은 인접한 다이어그램에 묘사됩니다: 이 둔각 삼각형에서, 예각을 가지는 꼭대기 꼭짓점에서 수직적으로 떨어진 고도는 삼각형 외부의 연장된 수평 변과 교차합니다.

Orthocenter

셋의 (연장도 가능한) 고도는 보통 $H$ 에 의해 표시되는 삼각형의 직교중심(orthocenter)이라고 불리는 단일 점에서 교차합니다.^[1]^[2] 직교중심은 삼각형 내부에 놓이는 것과 그 삼각형이 예각인 것은 필요충분(iff) 조건입니다 (즉, 직각보다 크거나 같은 각도를 가지지 않습니다). 만약 하나의 각도가 직각이면, 직교중심은 직각에서 꼭짓점과 일치합니다.^[2]

$A, B, C$ 는 꼭짓점과 역시 삼각형의 각도를 나타내고, $a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |$ 를 변 길이라고 놓습니다. 직교중심은 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)를 가집니다:^[3]

$\sec A:\sec B:\sec C=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,$

그리고 질량중심 좌표(barycentric coordinates)를 가집니다:

\displaystyle (a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})

=\tan A:\tan B:\tan C.

질량중심 좌표는 삼각형 내부에서 한 점에 대해 모두 양수이지만 적어도 하나가 외부에서 한 점에 대해 음수이고, 둘의 질량중심 좌표는 꼭짓점에 대해 영이므로, 직교중심에 대해 주어진 질량중심 좌표는 직교중심이 예각 삼각형(acute triangle)의 내부에, 직각 삼각형(right triangle)의 직각 꼭짓점 위에, 및 둔각 삼각형(obtuse triangle)의 외부에 있음을 보입니다.

복소 평면(complex plane)에서, 점 $A, B$ , 및 $C$ 가 숫자(numbers) $z_{A}$ , $z_{B}$ , 및, 각각, $z_{C}$ 를 나타내도록 놓고, 삼각형 ABC의 둘레중심(circumcenter)이 평면의 원점에 있다고 가정합니다. 그런-다음 다음 복소수는

z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}

점 $H$ , 즉 삼각형 $ABC$ 의 직교중심에 의해 표현됩니다.^[4] 이것으로부터, 자유 벡터(free vectors)에 의해 직교중심 $H$ 의 다음 특성화는 직설저으로 설립될 수 있습니다:

{\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.

이전 벡터 항등식 중 첫 번째는 역시 제임스 조지프 실베스터(James Joseph Sylvester)에 의해 제안된 problem of Sylvester로 알려져 있습니다.^[5]

Properties

$D, E$ , 및 $F$ 가 각각 $A, B$ , 및 $C$ 에서 고도의 발을 나타낸다고 놓습니다. 그런-다음:

직교중심이 고도를 나누는 선분의 길이의 곱은 모든 세 고도에 대해 같습니다:^[6]^[7]

AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.

이 상수의 제곱근 반지름을 가지는

H

를 중심으로 하는 원이 삼각형의 극원(polar circle)입니다.^[8]

셋의 고도에 대한 밑변에서 고도의 길이까지 직교 중심 거리의 비율의 합은 1:다음입니다:^[9] (이 속성과 다음 속성은 임의의 내부 점의 보다 일반적인 속성의 응용이고, 셋의 체바선(cevians)이 그것을 통과합니다.)

{\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.

꼭짓점에서 고도의 길이까지의 직교중심 거리의 셋의 고도에 대한 비율의 합은 2:다음입니다:^[9]

{\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.

직교중심의 등각형 켤레(isogonal conjugate)는 삼각형의 둘레중심(circumcenter)입니다.^[10]

직교중심의 동위 켤레(isotomic conjugate)는 역보완 삼각형(anticomplementary triangle)의 대칭중앙선 점(symmedian point)입니다.^[11]

네 점 중 하나가 다른 세 점에 의해 형성되는 삼각형의 직교중심을 만족하는 평면에서 네 점은 직교중심적 시스템(orthocentric system) 또는 직교중심적 사각형이라고 불립니다.

Relation with circles and conics

삼각형의 둘레반지름을 $R$ 로 표시합니다. 그런-다음:^[12]^[13]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}.

또한, $r$ 을 삼각형의 내원(incircle)의 반지름으로, $r a, r b$ , 및 $r c$ 를 그것의 외원(excircle)의 반지름으로, 및 $R$ 을 다시 그것의 둘레원의 반지름으로 표시하면, 꼭짓점에서 직교중심의 거리에 대해 다음 관계가 유지됩니다:^[14]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.

만약 임의의 고도, 예를 들어, $AD$ 가 $AP$ 가 둘레원의 현이 되도록 $P$ 에서 둘레원을 교차하게 연장되면, 발 $D$ 는 선분 $HP$ 를 이등분합니다:^[7]

HD=DP.

삼각형의 한 변에 외부적으로 접하고 다른 변의 연장선에 접하는 모든 포물선(parabola)의 방향선(directrices)은 직교중심을 통과합니다.^[15]

삼각형의 직교중심을 지나는 둘레원뿔형(circumconic)은 직교 쌍곡선(rectangular hyperbola)입니다.^[16]

Relation to other centers, the nine-point circle

직교중심 $H$ , 도형중심(centroid) $G$ , 둘레중심(circumcenter) $O$ , 및 아홉-점 원(nine-point circle)의 중심 $N$ 모두는 오일러 직선(Euler line)으로 알려져 있는 단일 직선 위에 놓입니다.^[17] 아홉-점 원의 중심은 오일러 직선의 중간점, 직교중심과 둘레중심의 사이에 놓이고, 도형중심과 둘레중심 사이의 거리는 도형중심과 직교중심 사이의 거리의 절반입니다:^[18]

OH=2NH,

2OG=GH.

직교중심은 그것이 도형중심에 대한 것보다 내중심(incenter) $I$ 에 더 가깝고, 직교중심은 내중심이 도형중심으로부터 것보다 더 멀리 있습니다:

HI<HG,

HG>IG.

변 $a, b, c$ , 내반지름(inradius) $r$ , 및 둘레반지름(circumradius) $R$ 의 관점에서,^[19]

OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),

^[20]^{: p. 449}

HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.

Orthic triangle

만약 삼각형 $ABC$ 가 비스듬한(oblique) 것이면 (직각을 포함하지 않음), 원래 삼각형의 직교중심의 페달 삼각형(pedal triangle)은 직교 삼각형(orthic triangle) 또는 고도 삼각형(altitude triangle)이라고 불립니다. 즉, 비스듬한 삼각형의 고도의 발은 직각 삼각형, $DEF$ 를 형성합니다. 역시, 직교 삼각형 $DEF$ 의 내중심 (내접된 원의 중심)은 원래 삼각형 $ABC$ 의 직교중심입니다.^[21]

직교 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼선형 좌표(trilinear coordinates)는 다음에 의해 제공됩니다:

$D = 0 : sec B : sec C$
$E = sec A : 0 : sec C$
$F = sec A : sec B : 0$ .

직교 삼각형의 연장된 변(extended side)은 셋의 같은-직선-위의 점(collinear points)에서 그것의 참조 삼각형의 반대편 연장된 변과 만납니다.^[22]^[23]^[21]

임의의 예각 삼각형(acute triangle)에서, 가장 작은 둘레를 갖는 내접된 삼각형은 직교 삼각형입니다.^[24] 이것은 1775년에 제기된 파그나노의 문제(Fagnano's problem)에 대한 해결책입니다.^[25] 정교 삼각형의 변은 원래 삼각형의 꼭짓점에서 둘레원에 대한 접선과 평행합니다.^[26]

예각 삼각형의 직교 삼각형은 삼각형의 가벼운 경로를 제공합니다.^[27]

$ABC$ 변의 중점에 있는 아홉-점 원의 접선은 직교 삼각형의 변과 평행하여, 직교 삼각형과 닮은 삼각형을 형성합니다.^[28]

직교 삼각형은 접하는 삼각형(tangential triangle)과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같이 구성됩니다: $L A$ 를 꼭짓점 $A$ 에서 삼각형 $ABC$ 의 둘레원에 접하는 직선이라고 놓고, $L B$ 와 $L C$ 를 같은 방법으로 정의합니다. $A" = L B \cap L C$ , $B" = L C \cap L A$ , $C" = L C \cap L A$ 라고 놓습니다. 접하는 삼각형은 $A"B"C"$ 이며, 그것의 변은 꼭짓점에서 삼각형 $ABC$ 의 둘레원에 대한 접선입니다; 그것은 직교 삼각형에 중심-닮음(homothetic)입니다. 접하는 삼각형의 둘레중심과 직교 삼각형과 접하는 삼각형의 유사도의 중심(center of similitude)은 오일러 직선(Euler line) 위에 있습니다.^[20]^{: p. 447}

접하는 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

$A" = - a : b : c$
$B" = a : - b : c$
$C" = a : b : - c$ .

참조 삼각형과 그것의 직교 삼각형은 직교-논리 삼각형(orthologic triangles)입니다.

직교 삼각형에 대한 자세한 정보에 대해, 여기를 참조하십시오.

Some additional altitude theorems

Altitude in terms of the sides

변 $a, b, c$ 와 반-둘레 $s = (a + b + c) / 2$ 를 갖는 임의의 삼각형에 대해, 변 $a$ 로부터 고도는 다음에 의해 제공됩니다:

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.

이것은 삼각형의 넓이에 대한 헤론의 공식(Heron's formula)을 넓이 공식 (1/2)×밑변×높이를 갖는 변의 괌전으로 결합한 것이며, 여기서 밑변은 변 $a$ 로 취하고 높이는 $A$ 로부터 고도입니다.

Inradius theorems

변 $a, b, c$ 와 대응하는 고도 $h a, h b$ , 및 $h c$ 를 갖는 임의적인 삼각형을 생각해 보십시오. 고도와 내원(incircle) 반지름 $r$ 은 다음에 의해 관련됩니다:^[29]^{: Lemma 1}

\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.

Circumradius theorem

삼각형의 한 변으로부터의 고도를 $h a$ 로, 다른 두 변을 $b$ 와 $c$ 로, 및 삼각형의 둘레반지름(circumradius) (삼각형 둘레접된 원의 반지름)을 $R$ 로 표시하면, 고도는 다음에 의해 주어집니다:^[30]

h_{a}={\frac {bc}{2R}}.

Interior point

만약 $p 1, p 2$ , 및 $p 3$ 는 임의의 점 $P$ 에서 변까지의 수직 거리이고, $h 1, h 2$ , 및 $h 3$ 는 각 변에 대한 고도이면, 다음입니다:^[31]

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

Area theorem

변 $a, b$ , 및 $c$ 에서 임의의 삼각형의 고도를 각각 $h_{a}$ , $h_{b}$ , 및 $h_{c}$ 로 표시하고, 고도의 역수의 반-합을 $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$ 로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:^[32]

\mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

General point on an altitude

만약 $E$ 가 임의의 삼각형 $ABC$ 의 고도 $AD$ 위의 임의의 점이면, 다음입니다:^[33]^: 77–78

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Special case triangles

Equilateral triangle

등변 삼각형(equilateral triangle) 내의 임의의 점 $P$ 에 대해, 세 변에 대한 수직선의 합은 삼각형의 고도와 같습니다. 이것이 비비아니의 정리(Viviani's theorem)입니다.

Right triangle

직각 삼각형에서 셋의 고도 $h a, h b$ , 및 $h c$ (처음 둘은 각각 다리 길이 $b$ 와 $a$ 와 같음)는 다음에 따라 관련됩니다:^[34]^[35]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.

이것은 역시 역 피타고라스 정리(inverse Pythagorean theorem)로 알려져 있습니다.

History

삼각형의 세 고도가 한 점, 즉 직교중심에서 만난다는 정리는 1749년 윌리엄 채플(William Chapple)에 의한 출판물에서 처음으로 입증되었습니다.^[36]

Notes

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^ ^a ^b Berele & Goldman 2001, p. 118
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References

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External links

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Orthocenter of a triangle With interactive animation
Animated demonstration of orthocenter construction Compass and straightedge.
Fagnano's Problem by Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.

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[8] Johnson 2007, p. 176, Section 278

[Panapoi-9] Panapoi,Ronnachai, "Some properties of the orthocenter of a triangle", University of Georgia.

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[22] Johnson 2007, p. 199, Section 315

[23] Altshiller-Court 2007, p. 165

[Johnson-24] Johnson 2007, p. 168, Section 264

[25] Berele & Goldman 2001, pp. 120-122

[26] Johnson 2007, p. 172, Section 270c

[27] Bryant, V., and Bradley, H., "Triangular Light Routes," Mathematical Gazette 82, July 1998, 298-299.

[28] Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery Approach, HarperCollins, p. 6, ISBN 0-06-500006-4

[29] Dorin Andrica and Dan S ̧tefan Marinescu. "New Interpolation Inequalities to Euler’s R ≥ 2r". Forum Geometricorum, Volume 17 (2017), pp. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf

[30] Johnson 2007, p. 71, Section 101a

[31] Johnson 2007, p. 74, Section 103c

[32] Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.

[Posamentier-33] Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.

[34] Voles, Roger, "Integer solutions of $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.

[35] Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.

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