Circular segment

기하학(geometry)에서, 원형 분절 (circular segment, 기호: ⌓)는, 역시 디스크 분절(disk segment)로 알려져 있으며, 가름선(secant) 또는 현(chord)에 의해 디스크의 나머지 부분에서 "절단"되는 디스크(disk)의 영역입니다. 보다 공식적으로, 원형 분할은 원형 호(circular arc) (관례에 따라 π 라디안보다 작음)와 호의 끝점을 연결하는 원형 현(circular chord)에 의해 경계지는 이-차원 공간(two-dimensional space)의 영역입니다.

Formulae

R을 분할의 둘레의 일부를 형성하는 호의 반지름(radius), θ를 호에 끼워진 라디안(radian)에서 중심 각도, c를 현 길이(chord length), s를 호 길이(arc length), h를 분할의 화살(sagitta) (높이(height)), 및 a를 분할의 넓이(area)로 놓습니다.

보통, 현 길이와 높이가 주어지거나 측정되고, 때때로 호 길이가 둘레의 일부로 표시되고, 미지수는 넓이이고 때때로 호 길이입니다. 이것들은 단순히 현의 길이와 높이에서 계산될 수 없으므로, 둘의 중간 양, 반지름과 중심 각도가 보통 먼저 계산됩니다.

Radius and central angle

반지름은 다음입니다:

R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}

^[1]

중심 각도는 다음입니다:

\theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}

Chord length and height

현 길이와 높이는 다음에 의해 반지름과 중심 각도에서 거꾸로-계산될 수 있습니다:

현 길이는 다음입니다:

c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}

화살은 다음입니다:

h=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)

Arc length and area

원의 친숙한 기하학에서 호 길이는 다음입니다:

s={\theta }R

원형 분할의 넓이 a는 원형 부채꼴(circular sector)의 넓이에서 삼각형 부분의 넓이를 뺀 것과 같습니다 (이중 각도 공식을 $\theta$ 의 항에서 방정식을 얻기 위해 사용):

a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)

R과 h의 항에서

a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}

불행하게도, $a$ 는 $c$ 와 $h$ 의 초월적 함수(transcendental function)이므로 이것들의 항에서 대수적 공식은 말할 수 없습니다. 그러나 말할 수 있는 것은 중심 각도가 작아질수록 (또는 반지름이 커질수록), 넓이 a가 ${\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ 에 빠르고 점근적으로 접근한다는 것입니다. 만약 $\theta <<1$ 이면, $a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ 가 상당히 좋은 근사입니다.

중심 각도가 π에 접근함에 따라, 분할의 넓이는 반원의 넓이, ${\tfrac {\pi R^{2}}{2}}$ 에 수렴하므로, 좋은 근사는 후자 넓이에서 델타 오프셋입니다:

a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)

for h>.75R

예제로써, 그 넓이는 θ ~ 2.31 라디안 (132.3°)일 때 1/4의 원으로 높이가 ~59.6%이고 현 길이가 반지름의 ~183%에 해당합니다.

Etc.

둘레 p는 호길이 더하기 현 길이입니다:

p=c+s=c+\theta R

디스크의 전체 넓이, $A=\pi R^{2}$ 의 비율로써, 우리는 다음을 가집니다:

{\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}

Applications

넓이 공식은 수평으로 누워 부분적으로-채워진 원통형 탱크의 부피를 계산하는 것에 사용될 수 있습니다.

둥근 상단을 갖는 창 또는 문의 디자인에서, c와 h는 유일하게 알려진 값일 수 있고 제도공의 컴퍼스 설정에 대해 R을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

우리는 조각의 호 길이와 현 길이를 측정함으로써 조각에서 완전한 원형 물체의 전체 치수를 재구성할 수 있습니다.

원형 패턴의 구멍 위치를 확인하는 것입니다. 가공 제품의 품질 검사에 특히 유용합니다.

원형 분할을 포함하는 평면 모양의 넓이 또는 도형중심을 계산합니다.

References

^ The fundamental relationship between R, c, and h derivable directly from the Pythagorean theorem among R, C/2 and r-h components of a right-angled triangle is: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ which may be solved for R, c, or h as required.

Weisstein, Eric W. "Circular segment". MathWorld.

External links

Definition of a circular segment With interactive animation
Formulae for area of a circular segment With interactive animation

[1] The fundamental relationship between R, c, and h derivable directly from the Pythagorean theorem among R, C/2 and r-h components of a right-angled triangle is: $R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}$ which may be solved for R, c, or h as required.

[1]