Constant function

수학(mathematics)에서, 상수 함수(constant function)는 그것의 (출력) 값이 모든 각 입력 값에 대해 같은 함수(function)입니다.^[1]^[2]^[3] 예를 들어, 함수 $y (x) = 4$ 는 상수 함수인데 왜냐하면 $y (x)$ 의 값이 입력 값 $x$ 에 관계없이 4이기 때문입니다 (이미지를 참조하십시오).

Basic properties

실수-값 인수의 실수-값 함수로서, 상수 함수는 일반적인 형식 $y (x) = c$ 또는 단지 $y = c$ 를 가집니다.^[4]

예제: 함수

y (x) = 2

또는 단지

y = 2

는 출력 값이

c = 2

인 특정 상수 함수입니다. 이 함수의 도메인(domain of this function)은 모든 실수 ℝ의 집합입니다. 이 함수의 코도메인(codomain)은 단지 {2}입니다. 독립 변수 x는 함수 표현의 오른쪽에 나타나지 않고 따라서 그것의 값은 "빈 것으로 대체"됩니다. 즉,

y (0) = 2

,

y (-2.7) = 2

,

y (π) = 2

, 이런 식으로 계속됩니다. x의 어떤 값이 입력되더라도, 출력은 "2"입니다.

실-생활 예제: 모든 각 품목이 1 달러에 판매되는 상점.

상수 함수 $y = c$ 의 그래프는 점 $(0, c)$ 를 통과하는 평면(plane)에서 수평 직선입니다.^[5]

하나의 변수 x에서 다항식(polynomial)의 문맥에서, 비-영 상수 함수는 차수가 0의 다항식이고 일반적인 형식은 $f (x) = c$ 이며 여기서 $c$ 는 비-영입니다. 이 함수는 x-축과의 교차를 가지지 않으며, 즉, 그것은 근 (영)을 가지지 않습니다. 다른 한편으로, 다항식 $f (x) = 0$ 은 동일하게 영 함수입니다. 그것은 (자명한) 상수 함수이고 모든 각 x는 근입니다. 그것의 그래프는 평면에서 x-축입니다.^[6]

상수 함수는 짝수 함수(even function)이며, 즉, 상수 함수의 그래프는 y-축에 관해 대칭입니다.

그것이 정의된 문맥에서, 함수의 도함수(derivative)는 입력 값에서 변화에 관해 함수 값의 변화율을 측정한 것입니다. 상수 함수는 변하지 않기 때문에, 그것의 도함수는 0입니다.^[7] 이것은 종종 $(x\mapsto c)'=0$ 으로 쓰입니다. 그 전환은 역시 참입니다. 즉, 만약 몯느 실수 x에 대해 y'(x)=0이면, y가 상수 함수입니다.^[8]

예제: 상수 함수

y(x)=-{\sqrt {2}}

가 주어지면, y의 도함수는 동일하게 영 함수

y'(x)=(x\mapsto -{\sqrt {2}})'=0

입니다.

Other properties

준순서된 집합(preordered sets) 사이의 함수에 대해, 상수 함수는 순서-보존(order-preserving) 및 순서-역전(order-reversing) 둘 다입니다; 반대로, 만약 f가 순서-보존 및 순서-역전 둘 다이고, 만약 f의 도메인(domain)이 격자(lattice)이면, f는 상수여야 합니다.

그것의 도메인(domain)과 코도메인(codomain)이 같은 집합 X인 모든 각 상수 함수는 X 위의 완전 변환 모노이드(full transformation monoid)의 왼쪽 영(left zero)이며, 이것은 그것이 역시 거듭상등(idempotent)임을 의미합니다.
토폴로지적 공간(topological space) 사이의 모든 각 상수 함수는 연속(continuous)입니다.
상수 함수는 한-점 집합(one-point set), 집합의 카테고리(category of sets)에서 끝 대상(terminal object)을 통해 인수화됩니다. 이 관찰은 프랜시스 윌리엄 로비어(F. William Lawvere)의 집합 이론의 공리화, 집합의 카테고리의 초등 이론 (ETCS)에 대해 수단이 됩니다.^[9]
모든 각 집합 X는 그것 안에 있는 상수 함수의 집합과 동형(isomorphic)입니다. 각 원소 x와 임의의 집합 Y에 대해, 모든 $y\in Y$ $y\in Y$ 에 대해 ${\tilde {x}}(y)=x$ ${\tilde {x}}(y)=x$ 를 만족하는 고유한 함수 ${\tilde {x}}:Y\rightarrow X$ ${\tilde {x}}:Y\rightarrow X$ 입니다. 반대로, 만약 함수 $f:Y\rightarrow X$ $f:Y\rightarrow X$ 가 모든 $y,y'\in Y$ $y,y'\in Y$ 에 대해 $f(y)=f(y')$ $f(y)=f(y')$ 를 만족시키면, $f$ $f$ 는 정의에 의해 상수 함수입니다.
- 따름정리로, 한-점 집합은 집합의 카테고리에서 생성기(generator)입니다.
- 모든 각 집합 $X$ 는 집합의 카테고리에서 함수 집합 $X^{1}$ , 또는 사상 집합(hom set) $\operatorname {hom} (1,X)$ 과 정식적으로 동형이며, 여기서 1은 한-점 집합입니다. 이것, 및 집합의 카테고리에서 데카르트 곱과 사상 사이의 수반 (따라서 두 변수의 함수와 또 다른 (단일) 변수의 함수에서 한 변수 값의 함수 아시의 정식의 동형, $\operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))$ 이 있음)때문에, 집합의 카테고리는 텐서 곱으로 집합의 데카르트 곱(cartesian product)과 텐서 단위로 한-점 집합을 갖는 닫힌 모노이드 카테고리(closed monoidal category)입니다. X에서 자연스러운(natural in X) 동형 $\lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho$ 에서, 왼쪽과 오른쪽 단위자가 원소 $x$ 에 각각 투영 $p_{1}$ 과 $p_{2}$ 순서화된 쌍(ordered pair) $(*,x)$ 과 $(x,*)$ 이며, 여기서 $*$ 는 한-점 집합에서 고유한 점(point)입니다.

연결된 집합(connected set) 위에 함수가 지역적으로 상수(locally constant)인 것과 그것이 상수인 것은 필요충분 조건입니다.

References

^ Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. p. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
^ C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function" (PDF). Addison-Wesley. p. 175. Retrieved January 12, 2014.
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^ Dawkins, Paul (2007). "College Algebra". Lamar University. p. 224. Retrieved January 12, 2014.
^ Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). "1". Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1 ed.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. p. 22. ISBN 978-0078682278.
^ Dawkins, Paul (2007). "Derivative Proofs". Lamar University. Retrieved January 12, 2014.
^ "Zero Derivative implies Constant Function". Retrieved January 12, 2014.
^ Leinster, Tom (27 Jun 2011). "An informal introduction to topos theory". arXiv:1012.5647 [math.CT].

Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

External links

[1] Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. p. 94. ISBN 0-8160-5124-0.

[2] C.Clapham, J.Nicholson (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function" (PDF). Addison-Wesley. p. 175. Retrieved January 12, 2014.

[3] Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. p. 313. ISBN 0-8493-9640-9.

[4] Weisstein, Eric W. "Constant Function". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.

[5] Dawkins, Paul (2007). "College Algebra". Lamar University. p. 224. Retrieved January 12, 2014.

[6] Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). "1". Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1 ed.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. p. 22. ISBN 978-0078682278.

[7] Dawkins, Paul (2007). "Derivative Proofs". Lamar University. Retrieved January 12, 2014.

[8] "Zero Derivative implies Constant Function". Retrieved January 12, 2014.

[9] Leinster, Tom (27 Jun 2011). "An informal introduction to topos theory". arXiv:1012.5647 [math.CT].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
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