Singleton (mathematics)

Original article: w:Singleton (mathematics)

수학(mathematics)에서, 한원소(singleton)는, 역시 단위 집합(unit set)으로 알려져 있으며, 정확하게 하나의(exactly one) 원소를 갖는 집합(set)입니다. 예를 들어, 집합 {null }은 원소 null을 포함하는 한원소입니다.

그 용어는 역시 1-튜플(tuple) (하나의 구성원을 갖는 수열(sequence))에 사용됩니다.

Properties

체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 프레임워크 내에서, 정칙성의 공리(axiom of regularity)는 집합이 그 자체의 원소가 아니라는 것을 보장합니다. 이것은 한원소가 반드시 그것이 포함하는 원소와 구별된다는 것을 의미하고, 따라서 1과 {1}는 같은 것이 아니고, 빈 집합(empty set)은 오직 빈 집합을 포함하는 집합과 구별됩니다. {{1, 2, 3}}와 같은 집합은 한원소인데 왜냐하면 그것은 단일 원소를 포함하기 때문입니다 (그것 자체는, 어쨌든, 한원소가 아니라 하나의 집합입니다).

집합이 한원소인 것과 그것의 카디널리티(cardinality)가 1인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 자연수의 폰 노이만의 집합-이론적 구성에서, 숫자 1은 한원소 {0}로 정의됩니다.

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)에서, 한원소의 존재는 쌍화의 공리(axiom of pairing)의 결과입니다: 임의의 집합 A에 대해, 공리는 A에 적용되고 A는 {A, A}의 존재를 주장하며, 이것은 한원소 {A}와 같습니다 (왜냐하면 그것은 A를 포함하고, 원소로 다른 집합을 포함하지 않기 때문입니다).

만약 A가 임의의 집합이고 S가 임의의 한원소가면, A에서 S로의 정확하게 하나의 함수(function), A의 모든 각 원소를 S의 단일 원소에 보내는 함수가 존재합니다. 따라서 모든 각 한원소는 집합의 카테고리(category of sets)에서 끝 대상(terminal object)입니다.

한원소는 그것으로부터 임의의 임의적인 집합으로의 모든 각 함수가 단사인 속성을 가집니다. 이 속성을 갖는 오직 비-한원소 집합이 빈 집합(empty set)입니다.

벨 숫자(Bell number) 정수 수열은 집합의 분할(partitions of a set)의 숫자를 세며 (OEIS: A000110), 만약 한원소가 제외되면 그 숫자는 더 작아집니다 (OEIS: A000296).

In category theory

한원소에 구축된 구조는 종종 다양한 카테고리(categories)의 끝 대상(terminal object) 또는 영 대상(zero object)으로 역할을 합니다:

• 위의 명제는 한원소 집합이 집합(set)의 카테고리 집합(Set)에서 끝 대상임을 보여줍니다. 다른 집합은 끝이 아닙니다.
• 임의의 한원소는 고유한 토폴로지적 공간(topological space) 구조를 허용합니다 (부분집합 둘 다는 열린 것입니다). 이들 단일 토폴로지적 공간은 토폴로지적 공간과 연속 함수(continuous function)의 카테고리에서 끝 대상입니다. 다른 공간은 해당 카테고리에서 끝이 아닙니다.
• 임의의 한원소는 고유한 그룹(group) 구조 (항등 원소(identity element)로 역할을 하는 고유한 원소)를 허용합니다. 이들 한원소 그룹은 그룹과 그룹 준동형(group homomorphism)의 카테고리에서 영 대상(zero object)입니다. 다른 그룹은 해당 카테고리에서 끝이 아닙니다.

Definition by indicator functions

S를 다음 지시 함수(indicator function)에 의해 정의된 클래스(class)로 놓습니다:

$b:X\to \{0,1\}.$

그런-다음 S가 한원소라고 불리는 것과 모든 x ∈ X에 대해 다음을 만족하는 일부 y ∈ X가 있는 것은 필요충분 조건입니다:

$b(x)=(x=y).$

Definition in Principia Mathematica

다음 정의는 화이트헤드(Whitehead)와 러셀(Russell)에 의해 도입되었습니다:

$\iota$‘$x={\hat {y}}(y=x)$ Df.

기호 $\iota$‘$x$는 한원소 $\{x\}$를 표시하고 ${\hat {y}}(y=x)$는 $x$와 동일한 대상의 클래스 일명 $\{y:y=x\}$를 표시합니다. 이것은 서론의 정의로 발생하며, 이것은, 그 곳에서, 주요 텍스트의 주장을 단순화하며, 여기서 그것은 제안 51.01 (p.357 ibid.)로 발생합니다. 그 제안은 세는 숫자 1을 다음과 같이 정의하기 위해 사용됩니다:

$1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota$‘$x)$ Df.

즉, 1은 한원소의 클래스입니다. 이것은 정의 52.01 (p.363 ibid.)입니다.

See also

• Class (set theory)
• Uniqueness quantification