Coplanarity

기하학(geometry)에서, 공간에서 점의 집합은 만약 모든 그것들을 포함하는 기하학적 평면(plane)이 존재하면 공통-평면(coplanar)에 있습니다. 예를 들어, 세 개의 점은 항상 공통-평면에 있고, 만약 그 점들이 구별되고 비-공선형(non-collinear)이면, 그것들이 결정하는 평면은 고유합니다. 어쨌든, 일반적으로 4개 이상의 구별되는 점의 집합은 단일 평면에 있지 않을 것입니다.

삼-차원 공간에서 두 직선(lines)은 만약 그것들 둘 다를 포함하는 평면이 있으면 공통-평면에 있습니다. 이것은 만약 직선이 평행(parallel)하거나, 그것들이 서로 교차하면 발생합니다. 공통-평면에 있지 않은 두 직선은 꼬인 직선(skew lines)이라고 불립니다.

거리 기하학(Distance geometry)은 점 사이의 거리만 알면 점의 집합이 공통-평면에 있는지 여부를 결정하는 문제에 대한 해 기술을 제공합니다.

Properties in three dimensions

삼-차원 공간에서, 같은 초기 점을 갖는 두 개의 선형적으로 독립(linearly independent) 벡터는 해당 점을 통과하는 평면을 결정합니다. 그것들의 교차 곱(cross product)은 해당 평면에 대한 법선(normal) 벡터이고, 초기 점을 통해 이 교차 곱에 직교(orthogonal)하는 임의의 벡터는 그 평면에 놓일 것입니다.^[1] 이것은 스칼라 삼중 곱(scalar triple product)을 사용하는 다음과 같은 공통-평면성 테스트로 이어집니다:

네 개의 구별되는 점, $x 1, x 2, x 3, x 4$ 가 공통-평면인 것과 다음은 필요충분 조건입니다:

[(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.

이는 역시 다음과 동등합니다:

(x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.

만약 세 개의 벡터 $a, b, c$ 가 공통-평면이면, $a \cdot b = 0$ (즉, $a$ 와 $b$ 가 직교)이면

(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c} ,

여기서 $\mathbf {\hat {a}}$ 는 $a$ 의 방향에서 단위 벡터(unit vector)를 나타냅니다. 즉, $a$ 에 대한 $c$ 와 $b$ 에 대한 $c$ 의 벡터 투영(vector projections)을 더하여 원래 $c$ 를 제공합니다.

Coplanarity of points in n dimensions whose coordinates are given

3개 이하의 점이 항상 공통-평면에 있기 때문에, 점의 집합이 같은-평면에 있는 때를 결정하는 문제는 일반적으로 최소 4개의 점이 관련된 경우에만 중요합니다. 정확히 4개의 점이 있는 경우에서, 여러 개의 에드-혹(ad-hoc) 방법이 사용될 수 있지만, 임의의 개수의 점에 대해 작동하는 일반적인 방법은 벡터 방법과 두 개의 선형적으로 독립 벡터(linearly independent vectors)에 의해 평면이 결정된다는 속성을 사용합니다.

$n \geq 3$ 인 $n$ -차원 공간에서, $k$ 점의 집합 $\{p_{0},\ p_{1},\ \dots ,\ p_{k-1}\}$ 이 공통-평면인 것과 그것들의 상대적인 차이의 행렬, 즉, 그것의 열 (또는 행 )이 벡터 ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \dots ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$ 인 행렬이 랭크(rank) 2 이하인 것은 필요충분 조건입니다.

예를 들어, 다음과 같은 4개의 점이 주어지면,

{\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}),\end{aligned}}

만약 다음 행렬(matrix)이

{\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1}&y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bmatrix}}

랭크 2 이하이면, 네 점은 공통-평면에 있습니다.

원점을 포함하는 평면의 특별한 경우에서, 다음과 같은 방법으로 속성을 단순화할 수 있습니다: $k$ 점의 집합과 원점이 공통-평면인 것과 $k$ 점의 좌표의 행렬이 랭크 2 이하인 것은 필요충분 조건입니다.

Geometric shapes

꼬인 다각형(skew polygon)은 그것의 꼭짓점(vertices)이 공통-평면에 있지 않은 다각형(polygon)입니다. 그러한 다각형은 적어도 4개의 꼭짓점이 있어야 합니다; 꼬인 삼각형이 없습니다.

양의 부피(volume)를 가지는 다면체(polyhedron)는 모두 공통-평면에 있지 않은 꼭짓점을 가집니다.

References

^ Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 647, ISBN 0-87150-341-7

External links

Weisstein, Eric W. "Coplanar". MathWorld.

[1] Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 647, ISBN 0-87150-341-7

[1]

Properties in three dimensions

Coplanarity of points in n dimensions whose coordinates are given

Geometric shapes

See also

References

External links