Normal (geometry)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Normal_vectors2.svg/220px-Normal_vectors2.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Surface_normal_illustration.svg/220px-Surface_normal_illustration.svg.png)
기하학(geometry)에서, 법선(normal)은 주어진 대상에 수직(perpendicular)인 직선(line), 반직선(ray), 또는 벡터(vector)와 같은 대상입니다. 예를 들어, 주어진 점에서 평면 곡선(plane curve)에 대한 법선(normal line)은 그 점에서 곡선에 대한 접선(tangent line)에 수직(perpendicular)인 (무한) 직선입니다. 법선 벡터는 길이 일 (단위 벡터(unit vector))을 가질 수 있거나 그것의 길이가 대상의 곡률 (곡률 벡터(curvature vector))을 나타낼 수 있습니다; 그것의 대수적 기호(algebraic sign)는 변 (내부 또는 외부)을 나타낼 수 있습니다.
삼 차원에서, 점 에서 표면(surface)에 대한 표면 법선(surface normal), 또는 간단히 법선(normal)은 에서 표면의 접 평면(tangent plane)에 수직(perpendicular)인 벡터(vector)입니다. 단어 "법선"은 형용사로 역시 사용됩니다: 평면(plane)에 대한 법선인 직선(line), 힘(force)의 법선 성분, 법선 벡터(normal vector) 등이 있습니다. 법선성의 개념은 직교(orthogonality) (직각(right angle))로 일반화됩니다.
그 개념은 유클리드 공간(Euclidean space)에 삽입된 임의의 차원의 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)로 일반화되어 왔습니다. 점 에서 매니폴드의 법선 벡터 공간(normal vector space) 또는 법선 공간(normal space)은 에서 접 공간(tangent space)과 직교(orthogonal)인 벡터의 집합입니다. 법선 벡터는 매끄러운 곡선(smooth curves)과 매끄러운 표면(smooth surfaces)의 경우에서 특별히 흥미로운 것입니다.
법선은 플랫 셰이딩(flat shading)에 대해 광원(light source)을 향한 표면의 방향을 결정하거나, 퐁 셰이딩(Phong shading)과 함께 곡선화된 표면을 모방하기 위한 각 표면의 가장자리 (꼭짓점(vertices))의 방향을 결정하기 위해 3D 컴퓨터 그래픽 (단 하나의 법선이 정의될 것이므로, 단수에 주의)에서 종종 사용됩니다.
곡선 또는 표면까지의 점 Q의 법선 거리(normal distance)는 Q와 대상 위로 수직 투영 (법선이 Q를 포함하는 대상 위의 점 P에서) 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다. 법선 거리는 점에서 직선까지의 거리(distance from a point to a line)와 점에서 평면까지의 거리(distance from a point to a plane)를 일반화한 수직 거리(perpendicular distance)의 한 유형입니다. 그것은 곡선 피팅(curve fitting)에 대해 사용될 수 있고 오프셋 표면(offset surface)을 정의하는 것에 대해 사용될 수 있습니다.
Normal to surfaces in 3D space
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Calculating a surface normal
볼록(convex) 다각형(polygon) (예를 들어 삼각형(triangle))에 대해, 표면 법선은 다각형의 두 (비-평행) 가장자리의 벡터 교차 곱(cross product)으로 계산될 수 있습니다.
방정식 에 의해 주어진 평면(plane)에 대해, 벡터 는 법선입니다.
그것의 방정식이 다음 매개변수 형식에서 주어진 평면에 대해:
여기서 는 평면 위의 한 점이고 는 평면을 향하는 비-평행 벡터이며, 평면에 대한 법선은 교차 곱(cross product) 으로 구할 수 있는 와 둘 다에 법선인 벡터입니다.
만약 3-공간 에서 (아마도 비-평탄) 표면 가 와 실수(real) 변수를 갖는 곡선 좌표(curvilinear coordinates) 의 시스템에 의해 매개변수화(parameterized)되면, S에 대한 법선은 다음 부분 도함수(partial derivative)의 교차 곱에 의해 주어진 접 평면에 대한 정의에 의해 법선입니다:
만약 표면 가 을 만족시키는 점 의 집합으로 암시적으로(implicitly) 주어지면, 표면 위의 점 에서 법선은 다음 그래디언트(gradient)에 의해 제공됩니다:
왜냐하면 임의의 점에서 그래디언트는 수준 집합 에 수직이기 때문입니다.
에서 함수 의 그래프로 주어진 표면 에 대해, 위쪽-향하는 법선은 다음을 제공하는 매개변수화 또는 을 제공하는 보다 간단하게 암시적 형식 에서 구할 수 있습니다:
표면은 특이 점(singular point)에서 접 평면을 가지지 않기 때문에, 그것은 해당 점: 예를 들어, 원뿔(cone)의 꼭짓점에서 잘-정의된 법선을 가지지 않습니다. 일반적으로, 립시츠 연속(Lipschitz continuous)인 표면에 대해 거의 모든 곳에서 법선을 정의하는 것이 가능합니다.
Choice of normal
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(초)표면에 대한 법선은 보통 단위 길이(unit length)를 갖도록 스케일되지만, 반대 방향도 단위 법선이기 때문에, 그것은 고유한 방향을 가지지 않습니다. 삼 차원에서 집합의 토폴로지적 경계(topological boundary)인 표면에 대해, 우리는 안쪽-가리키는 법선(inward-pointing normal)과 바깥쪽-가리키는 법선(outer-pointing normal) 사이를 구분할 수 있습니다. 방향화된 표면(oriented surface)에 대해, 법선은 보통 오른손 규칙(right-hand rule) 또는 더 높은 차원에서 아날로그에 의해 결정됩니다.
만약 그 법선이 접선 벡터의 교차 곱으로 구성되면 (위 텍스트에서 설명한 대로), 그것은 유사-벡터(pseudovector)입니다.
Transforming normals
표면에 변환을 적용할 때, 종종 원래 법선에서 결과 표면에 대해 법선을 유도하는 것이 유용합니다.
구체적으로 특별히, 3x3 변환 행렬 이 주어지면, 우리는 다음 논리에 의해 접 평면 에 수직인 벡터 을 접 평면 에 수직인 벡터 로 변환하는 행렬 을 결정할 수 있습니다:
n′를 으로 씁니다. 우리는 를 찾아야 합니다.
또는 를 만족하는 를 선택하는 것은 요구될 때 에 수직인 , 또는 에 수직인 를 제공하는 위의 방정식을 만족시킬 것입니다.
그러므로, 우리는 표면 법선을 변환할 때 선형 변환의 역 전치를 사용해야 합니다. 역 전치는 만약 행렬이 직교, 즉, 스케일링 또는 전단없이 순전히 회전이면 원래 행렬과 같습니다.
Hypersurfaces in n-dimensional space
-차원 공간(-dimensional space) 에서 -차원 초평면(hyperplane)에 대해 그것의 다음 매개변수 표현에 의해 주어지면
여기서 는 초평면 위의 한 점이고 에 대해 가 초평면을 따라 가리키는 선형적으로 독립 벡터이며, 초평면에 대한 법선은 을 의미하는 행렬 의 널 공간(null space)에서 임의의 벡터 입니다. 즉, 모든 평면-내 벡터에 수직인 임의의 벡터는 정의에 의해 표면 법선입니다. 대안적으로, 만약 초평면이 단일 선형 방정식 의 해 집합으로 정의되면, 벡터 는 법선입니다.
삼-차원 공간에서 표면에 대한 법선의 정의는 에서 -차원 초표면(hypersurface)으로 연장될 수 있습니다. 초표면은 방정식 을 만족시키는 점 의 집합으로 암시적으로 지역적으로(locally) 정의될 수 있으며, 여기서 는 주어진 스칼라 함수(scalar function)입니다. 만약 가 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이면 초평면은 그래디언트(gradient)가 영이 아닌 점의 이웃(neighbourhood)에서 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)입니다. 이들 점에서, 법선 벡터가 다음 그래디언트에 의해 주어집니다:
법선(normal line)은 기저 를 갖는 일-차원 부분공간입니다.
Varieties defined by implicit equations in n-dimensional space
-차원 공간 에서 암시적 방정식에 의해 정의된 미분 다양체(differential variety)는 변수에서 미분-가능 함수의 유한 집합의 공통 영들의 집합입니다:
다양체의 야코비 행렬(Jacobian matrix)은 -번째 행이 의 그래디언트인 행렬입니다. 암시적 함수 정리(implicit function theorem)에 의해, 그 다양체는 야코비 행렬이 랭크 를 가지는 점의 이웃에서 매니폴드(manifold)입니다. 그러한 점 에서, 법선 벡터 공간(normal vector space)은 의 그래디언트 벡터의 에서 값에 의해 제공된 벡터 공간입니다.
다시 말해서, 다양체는 초평면의 교집합으로 정의되고, 한 점에서 법선 벡터 공간은 그 점에서 초평면의 법선 벡터에 의해 생성된 벡터 공간입니다.
그 다양체의 한 점 에서 법선 (아핀) 공간(normal (affine) space)은 를 통과하는 아핀 부분공간(affine subspace)이고 에서 법선 벡터 공간에 의해 생성됩니다.
이들 정의는 그 다양체가 매니폴드가 아닌 점에 대한 확장된 버바팀(verbatim)일 수 있습니다.
Example
V를 다음 방정식에 의한 삼-차원 공간에서 정의된 다양체로 놓습니다:
이 다양체는 -축과 -축의 합집합입니다.
점 에서, 여기서 이며, 야코비 행렬의 행은 과 입니다. 따라서 법선 아핀 공간은 방정식 의 평면입니다. 유사하게, 만약 이면, 에서 법선 평면(normal plane)은 방정식 의 평면입니다.
그 점 에서, 야코비 행렬의 행은 과 입니다. 따라서 법선 벡터 공간과 법선 아핀 공간은 차원 1을 가지고 법선 아핀 공간은 -축입니다.
Uses
- 표면 법선은 벡터 필드(vector field)의 표면 적분(surface integral)을 정의하는 것에 유용합니다.
- 표면 법선은 종종 법선 매핑(normal mapping)에 의해 조절된 조명(lighting) 계산에 대해 3D 컴퓨터 그래픽(3D computer graphics)에서 공통적으로 사용됩니다 (램버트의 코사인 법칙(Lambert's cosine law)을 참조하십시오).
- 표면 법선 정보를 포함하는 렌더링 레이어(Render layers)는 렌더링된 요소의 겉보기 조명을 선택하기 위해 디지털 합성(Digital compositing)에서 사용될 수 있습니다.
- 컴퓨터 시각(computer vision)에서, 3D 물체의 모양은 광도계 스트레오(photometric stereo)를 사용하여 표면 법선에서 추정됩니다.[1]
Normal in geometric optics
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Reflection_angles.svg/170px-Reflection_angles.svg.png)
법선 반직선(normal ray)은 주어진 지점에서 광학 매체(optical medium)의 표면에 수직(perpendicular)인 바깥쪽-가리키는 반직선입니다.[2] 빛의 반사(reflection of light)에서, 입사각(angle of incidence)과 반사각(angle of reflection)은 각각 (입사 평면(plane of incidence)에서) 법선과 투사 반직선(incident ray) 사이의 각도와 법선과 반사된 반직선(reflected ray) 사이의 각도입니다.
See also
References
- ^ Ying Wu. "Radiometry, BRDF and Photometric Stereo" (PDF). Northwestern University.
- ^ "The Law of Reflection". The Physics Classroom Tutorial. Archived from the original on April 27, 2009. Retrieved 2008-03-31.
External links
- Weisstein, Eric W. "Normal Vector". MathWorld.
- An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
- Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.