Decimal

Original article: w:Decimal

For other uses, see Decimal (disambiguation).

십진(decimal) 숫자-표시 시스템(numeral system) (역시 밑수-십 위치적 숫자-표시 시스템(positional numeral system)이라고 불리고, 때때로 denary 또는 decanary라고 불림)은 정수(integer)와 비-정수 숫자(number)를 나타내기 위한 표준 시스템입니다. 그것은 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)의 비-정수 숫자에 대한 확장입니다. 십진 시스템에서 숫자를 나타내는 방법은 십진 표기법(Decimal notation)으로 종종 참조합니다.

십진 숫자-표시(decimal numeral) 또는 단지 십진(decimal), 또는, 때때로 십진수(decimal number)는 십진 숫자-표시 시스템에서 숫자의 표기법을 일반적으로 참조합니다. 십진은 때때로 십진 분리기호(decimal separator) (25.9703 또는 3,1415에서 처럼, 보통 "." 또는 ",")에 의해 식별될 수 있습니다. 십진은 "3.14가 π의 두 십진에서 근사입니다"에서 처럼, 십진 분리기호 후에 자릿수를 역시 구체적으로 참조할 수 있습니다.

십진 시스템에서 표현될 수 있는 숫자는 십진 분수(decimal fractions)입니다. 즉, 형태 a/10ⁿ의 분수(fractions), 여기서 a는 정수이고, n은 비-음의 정수(nonnegative integer)입니다.

십진 시스템은, 십진 분리기호 후에 자릿수의 무한 수열(infinite sequence)을 사용함으로써 (십진 표현(decimal representation)을 참조하십시오), 임의의 실수(real number)를 나타내는 것에 대해, 무한 십진(infinite decimals)으로 확장되어 왔습니다. 이런 문맥에서, 십진 분리기호 후에 비-영의 자리의 유한 숫자를 갖는 십진 숫자-표시는 때때로 종료하는 십진(terminating decimals)이라고 불립니다. 반복하는 십진(repeating decimal)은 일부 자리 후에, 자릿수의 같은 수열을 무한히 반복하는 (예를 들어, 5.123144144144144... = 5.123144) 무한 십진입니다. 무한 십진이 유리수(rational number)를 나타내는 것과 그것이 반복하는 십진 또는 비-영 자릿수의 유한 숫자를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

Origin

Ten fingers on two hands, the possible origin of decimal counting

고대 문명의 많은 숫자-표시 시스템(numeral system)이 숫자를 나타내는 것에 대해 십과 그것의 거듭제곱을 사용하며, 아마도 두 손에 열 개의 손가락이 있고 사람들은 그들의 손가락을 사용함으로써 셈을 시작했기 때문일 것입니다. 예제는 브라흐미 숫자-표시(Brahmi numerals), 그리스 숫자-표시(Greek numerals), 히브리 숫자-표시(Hebrew numerals), 로마 숫자-표시(Roman numerals), 및 중국 숫자-표시(Chinese numerals)입니다. 매우 큰 숫자는 이들 오래된 숫자-표시 시스템에서 표현하는 것이 어려웠었고, 오직 최고의 수학자들이 큰 숫자를 곱하거나 나눌 수 있었습니다. 이들 어려움은 정수(integer)를 나타내는 것에 대해 힌두–아라비아 숫자-표시 시스템(Hindu–Arabic numeral system)의 도입으로 완전히 해결되었습니다. 이 시스템은 십진 숫자-표시 시스템을 형성하는 것에 대해, 십진 분수(decimal fractions) 또는 십진수라고 불리는 비-정수 숫자를 나타내기 위해 확장되어 왔습니다.

Decimal notation

숫자를 쓰는 것에 대해, 십진 시스템은 십 십진 자릿수(decimal digit), 십진 표시(decimal mark), 및, 음의 숫자(negative number)에 대해, 음의 부호(minus sign) "−"를 사용합니다. 십진 자릿수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9입니다; 십진 분리기호는 많은 나라에서 점 "."이지만, 역시 많은 나라에서 쉼표 ","입니다.

비-음의 숫자(non-negative number)를 표현하는 것에 대해, 십진 숫자-표시는 다음으로 구성됩니다:

• 2017과 같은 (유한) 자릿수의 수열, 또는 완전한 일반성에서,

$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$

(이 경우에서, (전체) 십진수는 정수를 나타냅니다)

• 또는 3.14159 (π), 2.71828 (e), 15.00, 또는 완전한 일반성에서, 십진 표시에 의해 분리된 두 자릿수의 수열

$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$

만약 m > 0이면, 그것은 첫 번째 자릿수 a_m이 영이 아니라고 일반적으로 가정되지만, 일부 환경에서, 그것은 왼쪽에서 하나 또는 더 많은 0을 가지는 것이 사용될 수 있습니다. 이것은 십진에 의해 표현된 값을 변경하지 않습니다. 예를 들어, 3.14 = 03.14 = 003.14입니다. 비슷하게, 만약 b_n = 0이면, 그것은 제거될 수 있고, 반대로, 후행하는 영들은 표현된 숫자를 변경없이 더해질 수 있습니다: 예를 들어, 15 = 15.0 = 15.00 및 5.2 = 5.20 = 5.200입니다. 때때로 여분의 영들은 측정의 정확도를 나타내는 것에 대해 사용됩니다. 예를 들어, 15.00 m는 측정 오류가 일 센티미터 (0.01 m)보다 작음을 나타낼 수 있지만, 15 m는 길이가 대략적으로 15 미터이고, 오류가 10 cm를 초과할 수 있음을 의미할 수 있습니다.

음수(negative number)를 나타내는 것에 대해, 음의 부호는 a_m 앞에 배치됩니다.

숫자-표시 $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$은 다음 숫자를 나타냅니다:

$a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}$

십진 숫자-표시의 정수 부분(integer part, 또는 integral part)은 십진 분리기호의 왼쪽에 쓰인 정수입니다 (역시 잘림(truncation)을 참조하십시오). 비-음의 십진 숫자-표시에 대해, 그것은 십진보다 더 크지 않은 가장 큰 정수입니다. 십진 분리기호로부터 오른쪽에 있는 부분은 분수 부분(fractional part)이며, 이것은 숫자-표시와 그것의 정수 부분 사이의 차이와 같습니다.

숫자-표시의 정수 부분이 영일 때, 전형적으로 계산에서, 정수 부분이 쓰이지 않는 것이 발생할 수 있습니다 (예를 들어,: 0.1234 대신에, .1234). 표준 쓰기에서, 이것은 일반적으로 피해지는데, 왜냐하면 십진 표시와 다른 구두점 사이의 혼동의 위험이 있기 때문입니다.

간단히 말해서, 숫자의 값에 대한 각 자릿수의 기여도는 숫자-표시에서 그것의 위치에 따라 다릅니다. 즉, 십진 시스템은 위치 숫자-표시 시스템(positional numeral system)입니다.

Decimal fractions

십진 숫자 시스템에 의해 표현되는 숫자는 십진 분수 (때때로 십진수라고 불림), 즉, 그것의 분모(denominator)가 십의 거듭제곱(power)인 분수(fraction)로 표현될 수 있는 유리수(rational number)입니다. 예를 들어, 숫자 $0.8,14.89,0.00024,1.618,3.14159$는 분수 8/10, 1489/100, 24/100000, 1+309/500 및 3+14159/100000를 나타냅니다. 보다 일반적으로, 분리기호 후에 n 자릿수를 갖는 십진은 분모 10ⁿ을 갖는 분수를 나타내며, 그것의 분자는 분리기호를 제거함으로써 획득된 정수입니다.

완전히 축소된 분수(fully reduced fraction)로 표현된, 십진수는 그것의 분모가 2의 거듭제곱과 5의 거듭제곱의 곱인 그것들이니다. 따라서 십진수의 가장 작은 분모는 다음입니다:

$1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots$

Real number approximation

십진 숫자-표시는 모든 실수(real number), 예를 들어, 실수 π에 대해 정확한 표현을 허용하지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 그것들은 임의의 원하는 정확도를 갖는 모든 각 실수를 근사하는 것을 허용합니다. 예를 들어, 실수 π를 근사하는 십진 3.14159은 10⁻⁵보다 작게 줄어든 것입니다; 그리고 따라서 십진은 과학(science), 공학(engineering) 및 실생활에서 광범위하게 사용됩니다.

보다 정확하게, 모든 각 실수 x와 모든 각 정수 n에 대해, L ≤ x ≤ u 및 (u – L) = 10⁻ⁿ를 만족하는 십진 표시 후에 많아야 n 자릿수를 갖는, 두 십진 L과 u가 있습니다.

숫자는 측정(measurement)의 결과로 매우 자주 획득됩니다. 측정은 일반적으로 알려진 위쪽 경계(upper bound)를 갖는 일부 측정 오류(measurement error)의 영향을 받기 때문에, 절대 측정 오류가 위에서 10⁻ⁿ에 의해 제한되는 즉시, 측정의 결과는 십진 표시 뒤에 n 자릿수를 갖는 십진에 의해 잘 표현됩니다. 실제에서, 측정 결과는 종종 십진 점 뒤에 자릿수의 특정 숫자와 함께 주어지며, 이것은 오류 경계를 나타냅니다. 예를 들어, 비록 0.080과 0.08은 같은 십진수를 나타내지만, 숫자-표시 0.080은 0.001보다 작은 오차와 함께 측정을 암시하지만, 숫자-표시 0.08은 0.01로 경계진 절대 오차를 나타냅니다. 둘 다 경우에서, 측정된 양의 참 값은, 예를 들어, 0.0803 또는 0.0796일 수 있습니다 (역시 유효 숫자(significant figures)를 참조하십시오).

Infinite decimal expansion

Main article: Decimal representation

실수(real number) x와 정수 n ≥ 0에 대해, [x]_n가 십진 표시 후에 정확히 n 자릿수를 가지는, x보다 더 크지 않은 가장 큰 숫자의 (유한) 십진 확장을 나타내는 것으로 놓습니다. d_i가 [x]_i의 마지막 자릿수를 나타내는 것으로 놓습니다. [x]_n은 [x]_n–1의 오른쪽에 d_n을 덧붙임으로써 얻어질 수 있음을 보이는 것은 쉽습니다. 이런 방법 한가지는 다음을 가집니다:

[x]_n = [x]₀.d₁d₂...d_n−1d_n,

그리고 [x]_n–1과 [x]_n의 차이는 결과적으로 다음이 됩니다:

|[x]_n − [x]_n–1| = d_n ⋅ 10⁻ⁿ < 10⁻ⁿ⁺¹,

이것은 만약 d_n = 0이면 0, 또는 n이 무한대로 경향일 때, 임의적으로 작아집니다. 극한(limit)의 정의에 따르면, x는 n이 무한대(infinity)로 경향일 때 [x]_n의 극한입니다. 이것은 ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$ 또는 다음으로 쓰입니다:

x = [x]₀.d₁d₂...d_n...,

이것은 x의 무한 십진 확장이라고 불립니다.

반대로, 임의의 정수 [x]₀과 자릿수 ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$의 임의의 수열에 대해, (무한) 표현 [x]₀.d₁d₂...d_n...은 실수 x의 무한 십진 확장입니다. 이 확장은 만약 모든 d_n이 9와 같지 않거나, 모든 d_n이 (어떤 자연수 N보다 더 큰 모든 n에 대해) 충분하게 큰 n에 대해 0과 같지 않으면 고유합니다.

만약 모든 d_n이 n > N에 대해 9와 같고 [x]_n = [x]₀.d₁d₂...d_n이면, 수열 ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$의 극한은 9가 아닌 마지막 자릿수를 대체함으로, 즉: d_N을 d_N + 1으로 대체하고, 모든 후속 9를 0으로 대체함으로써 얻어진 십진 분수입니다 (0.999...를 참조하십시오).

임의의 그러한 십진 분수는, 예를 들어, n > N에 대해 d_n = 0, d_N을 d_N − 1으로 대체하고, 모든 후속 0을 9로 대체함으로써 그것의 동등한 무한 십진 확장으로 변환될 수 있습니다 (0.999...를 참조하십시오).

요약해서, 십진 분수가 아닌 모든 각 실수는 고유한 무한 십진 확장을 가집니다. 각 십진 분수는 정확히 두 무한 십진 확장을 가지며, 하나는 어떤 자리 뒤에 오직 0들을 포함하며, 이것은 [x]_n의 위의 정의에 의해 얻어지고, 다른 것은 어떤 자리 뒤에 오직 9들을 포함하며, 이것은 [x]_n을 십진 표시 뒤에 정확히 n 자릿수를 가지는, x보다 작은 가장 큰 숫자로 정의함으로써 얻습니다.

Rational numbers

Main article: Repeating decimal

긴 나눗셈(Long division)은 유리수(rational number)의 무한 십진 확장을 계산하는 것을 허용합니다. 만약 유리수가 십진 분수(decimal fraction)이면, 나눗셈은 결국 중지, 십진 숫자-표시를 생성하며, 이것은 무한하게 많은 영들을 더함으로써 무한 확장으로 연장될 수 있습니다. 유리수가 소수가 아닌 경우 나눗셈이 무한정 계속될 수 있습니다. 어쨌든, 모든 연속적인 나머지는 제수보다 작기 때문에, 오직 가능한 나머지의 유한 숫자가 있고, 어떤 자리 후에 같은 자릿수의 수열이 몫에서 무한히 반복되어야 합니다. 즉, 우리는 반복하는 십진을 가집니다. 예를 들어,

1/81 = 0. 012345679 012... (무한하게 반복하는 그룹 012345679을 가집니다).

반대로, 모든 각 결국 자릿수의 반복하는 수열은 유리수의 무한 십진 확장입니다. 이것은 십진 표현의 반복되어 발생하는 부분이, 사실, 합해서 유리수가 될 무한 기하 급수(geometric series)라는 사실의 결과입니다.

$0.0123123123\ldots ={\frac {123}{10000}}\sum _{k=0}^{\infty }0.001^{k}={\frac {123}{10000}}\ {\frac {1}{1-0.001}}={\frac {123}{9990}}={\frac {41}{3330}}$

Decimal computation

File:Decimal multiplication table.JPG

Diagram of the world's earliest multiplication table (c. 305 BCE) from the Warring States period

대부분 현대 컴퓨터(computer) 하드웨어와 소프트웨어 시스템은 공통적으로 (비록 ENIAC 또는 IBM 650와 같은 많은 초기 컴퓨터가 내부적으로 십진 표현을 사용했을지라도) 내부적으로 이진 표현(binary representation)을 사용합니다. 컴퓨터 전문가의 외부 사용에 대해, 이 이진 표현은 때때로 관련된 팔진(octal) 또는 십육진(hexadecimal) 시스템으로 건네줍니다.

대부분의 목적에 대해, 어쨌든, 이진 값은 사람에게 표시 또는 사람으로부터 입력에 대해 동등한 십진 값으로 또는 그것으로부터 변환됩니다; 컴퓨터 프로그램은 기본값으로 십진수에서 문자를 표현합니다. (123.1은, 예를 들어, 심지어 많은 컴퓨터 언어가 해당 숫자를 정확하게 인코딩할 수 없지만, 컴퓨터 프로그램에서 그렇게 쓰입니다.)

컴퓨터 하드웨어와 소프트웨어 둘 다는 십진 값을 저장하고 산술을 행하는 것에 대해 효과적으로 십진인 내부적인 표현을 역시 사용합니다. 종종이 산술은 특히 데이터베이스 구현에서 이진-코드된 십진(binary-coded decimal)의 변형을 사용하여 인코딩된 데이터에 대해 행해지지만, 사용에서 다른 십진수 표현이 있습니다 (부동-점 산술에 대해 IEEE 754 표준의 더 새로운 개정에서 처럼 십진 부동 점을 포함합니다).

십진 산술은, 항상 그것들의 분수 부분의 고정된 길이를 갖는 값을 더한 것 (또는 뺀 것)의 결과로 초래된 십진 분수가 이것과 같은 정밀도의 길이로 계산되도록 컴퓨터에서 사용됩니다. 이것은 재무 계산, 예를 들어, 회계 목적에 대해 가장 작은 통화 단위의 정수 배수를 결과를 요구하는 것에 대해 특히 중요합니다. 이것은 이진에서 가능하지 않은데, 왜냐하면 $10$의 음의 거듭제곱은 유한 이진 분수 표현을 가지지 않기 때문입니다; 그리고 일반적으로 곱셈 (또는 나눗셈)에 대해 불가능입니다. 정확한 계산에 대해 임의적인-정밀도 산술(Arbitrary-precision arithmetic)을 참조하십시오.

History

File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg

The world's earliest decimal multiplication table was made from bamboo slips, dating from 305 BCE, during the Warring States period in China.

많은 고대 문화가 십에 기반한 숫자-표시와 함께 계산했으며, 때때로 열 손가락/자릿수를 가지는 전형적인 사람 손에 기인하는 것으로 주장했습니다. 인더스 골짜기 문명(Indus Valley Civilization) (기원전 c. 3300–1300)은 비율들: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 및 500에 기반하였지만, 그들의 표준 자 – 모헨조-다로 자(Mohenjo-daro ruler) – 는 열 개의 같은 부분으로 나뉘었습니다. 기원전 3000년경 이래로 증거에서, 이집트 상형문자(Egyptian hieroglyphs)는, 그들의 숫자-표시가 이집트 모델에 밀접하게 기반이 된 미노언스(Minoans)의 크리턴 상형문자(Cretan hieroglyphs) (기원전 c. 1625−1500)처럼, 순수하게 십진 시스템을 사용했습니다. 십진 시스템은 선형 A(Linear A) (기원전 18세기경–기원전 1450년경)와 선형 B(Linear B) (기원전 1375−1200년경)를 포함한, 연속적인 그리스의 청동기 시대 문화(Bronze Age cultures of Greece)에 전해졌습니다 – 고전 그리스(classical Greece)의 숫자 시스템은 로마 숫자-표시 시스템(Roman numerals), 중간의 5의 밑수를 포함하여, 십의 거듭제곱을 역시 사용했습니다. 현저하게, 폴리-매쓰 아르키메데스 (기원전 287–212년경)는 10⁸에 기초한 그의 모래 계산자(Sand Reckoner)에서 십진 위치 시스템을 발명했었고 나중에 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)로 이어졌으며, 그는 만약 아르키메데스가 그의 독창적인 발견의 잠재력을 완전히 깨달았었다면 과학이 그의 시대에 이미 일정 높이에 도달했을 것이라고 애석해했습니다. 히타이트(Hittite) 상형문자 (기원전 15세기 이후) 역시 엄격하게 십진이었습니다.

베다(Vedas)와 같은 일부 비-수학적 고대 문서는 기원전 1900–1700 BCE년으로 거슬러 올라가며, 십진과 수학적 십진 분수의 사용을 만들었습니다.

이집트의 계층적 숫자-표시, 그리스 알파벳 숫자-표시, 히브리어 알파벳 숫자-표시, 로마 숫자-표시, 중국 숫자-표시와 초기 인도 브라흐미 숫자-표시는 모두 비-위치적 십진 시스템이고, 많은 숫자의 기호를 요구했습니다. 예를 들어, 이집트 숫자-표시는 10, 20에서 90, 100, 200에서 900, 1000, 2000, 3000, 4000에서, 10,000까지 다른 기호를 사용했습니다. 세계에서 가장 초기의 위치 십진 시스템은 중국 막대 계산(rod calculus)이었습니다.

File:Chounumerals.svg

The world's earliest positional decimal system
Upper row vertical form
Lower row horizontal form

History of decimal fractions

File:Rod fraction.jpg

counting rod decimal fraction 1/7

십진 분수는 기원전 4세기 말에 중국인에 의해 처음 개발되었고 사용되었고, 그런-다음 중동과 그곳에서 유럽으로 퍼졌습니다. 쓰인 중국어 십진 분수는 비-위치적이었습니다. 어쨌든, 막대 분수를 세는 것(counting rod fractions)은 위치적이었습니다.

진규소(Qin Jiushao)는 그의 책 Mathematical Treatise in Nine Sections (1247)에서 0.96644를 다음에 의해 표시했습니다:

寸

File:Counting rod 0.png File:Counting rod h9 num.png File:Counting rod v6.png File:Counting rod h6.png File:Counting rod v4.png File:Counting rod h4.png, meaning

寸

096644

J. Lennart Berggren은 위치 십진 분수가 아랍 수학자 아불-하산 알-오쿠어디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)에 의해 10세기에 쓰인 책에서 처음으로 나타난다고 지적합니다. 유대인 수학자 임마누엘 본필스(Immanuel Bonfils)는 1350년경에 십진 분수를 사용했으며, 시몬 스테빈(Simon Stevin)을 예상했지만, 그들을 나타내기 위한 임의의 표기법을 개발하지는 않았습니다. 페르시아 수학자 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 15세기에 자신이 십진 분수를 발견했다고 주장했습니다. 알-콰리즈미(Al Khwarizmi)는 9세기 초에서 이슬람 국가에 분수를 도입했습니다; 한 중국 작가는 그의 분수 표현이 손자 산경(Sunzi Suanjing)으로부터 전통적인 중국 수학 분수의 정확한 사본이었다고 주장해 왔습니다. 상단에 분자와 가로 막대없이 하단에 분모를 갖는 이 형식의 분수는 그의 작품 "Arithmetic Key"에서 알-오쿠어디시(al-Uqlidisi)와 알-캐시(al-Kāshī)에 의해 역시 사용했습니다.

File:Stevin-decimal notation.svg

현대 유럽 십진 표기법의 선구자는 16세기에서 시몬 스테빈(Simon Stevin)에 의해 도입되었습니다.

Natural languages

십 기호의 집합을 사용하여 모든 각 가능한 자연수(natural number)를 표현하는 방법이 인도에서 등장했습니다. 여러 인도 언어는 간단한 십진 시스템을 보여줍니다. 많은 인도-아리아(Indo-Aryan) 및 드라비다 언어(Dravidian languages)는 10에 대한 덧셈의 규칙적인 패턴에서 표현된 10에서 20 사이의 숫자를 가지고 있습니다.

헝가리 언어(Hungarian language)는 역시 간단한 십진 시스템을 사용합니다. 10에서 20 사이의 모든 숫자는 규칙적으로 형성했으며, (예를 들어, 11은 "tizenegy"로 문자 그대로 "one on ten"로 표현됩니다), 20에서 100 사이의 숫자도 마찬가지입니다 (23은 "huszonhárom" = "three on 20").

각 순서에 대해 단어 (10 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万)를 갖는 간단한 십진 랭크 시스템은, 그리고 그것에서 11은 ten-one으로 표현되고, 23은 two-ten-three으로 표현되고, 89,345는 8 (만) 万 9 (천) 千 3 (백) 百 4 (십) 十 5로 표현되며, 중국어(Chinese)에서, 약간의 불규칙성과 함께 베트남어(Vietnamese)에서 발견됩니다. 일본어(Japanese), 한국어(Korean) 및 태국어(Thai)는 중국어 십진 시스템을 가져왔습니다. 십진 시스템을 갖는 많은 다른 언어는 10에서 20, 및 수십 사이의 숫자에 대한 특수 단어를 가집니다. 예를 들어, 영어에서 11은 "ten-one" 또는 "one-teen"이 아니라 "eleven"입니다.

퀴노아(Quechua) 및 아이마라(Aymara)와 같은 잉카 언어는 거의 간단한 십진 시스템을 사용하며, 이것에서 11은 ten with one로, 23은 two-ten with three으로 표현됩니다.

일부 심리학자들은 숫자-표시의 영어 이름의 불규칙성이 어린이의 셈 능력을 저해할 수 있다고 제안합니다.

Other bases

Main article: positional notation

일부 문화권에서는 다른 숫자 기반을 사용하거나, 사용했습니다.

• 마야(Maya)와 같은 이전-콜롬비아(Pre-Columbian) 메소아메리카(Mesoamerica) 문화는 밑수-20(base-20) 시스템을 사용했습니다 (아마도 손가락과 발가락(toe) 모두 20개를 사용하는 것을 기반으로 합니다).
• 캘리포니아(California)에서 유키(Yuki) 언어와 멕시코(Mexico)에서 Pamean 언어는 팔진 (밑수-8) 시스템을 가지는데, 왜냐하면 말하는 사람은 손가락 자체가 아닌 손가락 사이의 공간을 사용하여 세기 때문입니다.
• 게르만 언어의 가장 초기 흔적에서 비-십진 밑수의 존재는 단어와 세는 것이 십진 ("ten-count" or "tenty-wise"에 대한 동족)에 있는 것을 의미하는 어휘의 존재에 의해 입증됩니다; 만약 정상적인 셈이 십진수가 아니면 그런 것이 예상될 것이고, 만약 그렇다면 비정상적입니다. 이 셈 시스템이 알려진 곳에서, 그것은 "long hundred" = 120과 1200의 "long thousand"를 기반으로 합니다. "long"과 같은 설명은 100의 "small hundred"이 기독교인들과 함께 나타난 후에 오직 나타납니다. 고든의 고대 북유럽에 대한 소개 p. 293은, 이 시스템에 속하는 숫자 이름을 제공합니다. 'one hundred and eighty'와 같은 종류의 표현은 200으로, 'two hundred'와 같은 종류의 표현은 240으로 번역합니다. 구데어(Goodare)는 중세 스코틀랜드에서 long hundred의 사용을 자세히 설명하며, 올림이 i C (즉, one hundred)를 120으로 의미하는 계산과 같은 예제를 제공합니다. 일반 인구가 이러한 숫자를 만나는 것에 놀라지 않았다는 것은 공통적으로 충분히 사용한다는 것을 암시합니다. 긴 파운드의 셈 대신 스톤과 파운드와 같은, 중간 단위를 사용함으로써 백과 같은 숫자를 피하는 것이 역시 가능합니다. 구데어는 vii 스코어와 같은 숫자의 예제를 제공하며, 여기서 우리는 확장된 스코어를 사용함으로써 그 백을 피합니다. W.H. Stevenson에 의한, 'Long Hundred and its uses in England'라는 논문이 역시 있습니다.
• 츄매쉬 언어(Chumashan languages)의 많은 또는 모두는 원래 밑수-4(base-4) 세는 시스템을 사용했으며, 그것에서 숫자에 대해 이름은 4와 16의 배수에 따라 구조화되었습니다.
• 많은 언어는 다섯의 (밑수-5) 숫자 시스템을 사용하며, 구마트(Gumatj), 눙구부이유(Nunggubuyu), 쿠른 코반 누트(Kuurn Kopan Noot) 및 사르베카(Saraveca)를 포함합니다. 이 중 구마트는 알려진 유일한 참 5–25 언어이며, 그것에서 25는 5의 상위 그룹입니다.
• 일부 나이지리아(Nigeria) 사람들은 십이진(duodecimal) 시스템을 사용합니다. 인도와 네팔의 일부 작은 공동체도, 그들의 언어로 표시된 것처럼, 그랬습니다.
• 파푸아 뉴기니(Papua New Guinea)의 홀리 언어(Huli language)는 밑수-15(base-15) 숫자 시스템을 가지는 것으로 공식적으로 알려져 있습니다. Ngui는 15, ngui ki는 15 × 2 = 30를 의미하고, ngui ngui는 15 × 15 = 225를 의미합니다.
• 움부-웅우(Umbu-Ungu)는, 역시 카콜리(Kakoli)라고 알려져 있으며, 밑수-24 숫자를 가지는 것으로 공식적으로 알려져 있습니다. Tokapu는 24, tokapu talu는 24 × 2 = 48을 의미하고, tokapu tokapu는 24 × 24 = 576를 의미합니다.
• 니이띠(Ngiti)는 밑수-4 순환을 가진 밑수-32 숫자를 가진 것으로 공식적으로 알려져 있습니다.
• 파푸아 뉴기니(Papua New Guinea)의 엔뎀 언어(Ndom language)는 밑수-6(base-6) 숫자-표시를 가지는 것으로 공식적으로 알려져 있습니다. Mer는 6, mer an thef는 6 × 2 = 12, nif는 36을 의미하고, nif thef는 36×2 = 72를 의미합니다.

See also

• Algorism
• Binary-coded decimal (BCD)
• Decimal computer
• Decimal time
• Decimal representation
• Decimal separator
• Densely packed decimal (DPD)
• Dewey Decimal Classification (DDC)
• Duodecimal
• Octal
• Scientific notation
• Serial decimal
• SI prefix