e (mathematical constant)

Original article: wikipedia:E (mathematical constant)

"Euler's number" redirects here. For other Euler's numbers, see List of things named after Leonhard Euler § Numbers.

Euler's number
e 2.71828...
General information
Type	Transcendental
History
Discovered	1685
By	Jacob Bernoulli
First mention	Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685
Named after	Leonhard Euler John Napier

Graph of the equation y = 1/x. Here, e is the unique number larger than 1 that makes the shaded area under the curve equal to 1.

숫자 e는, 역시 오일러의 숫자로 알려져 있으며, 다양한 방법에서 특성화될 수 있는 2.71828과 근사적으로 같은 수학적 상수(mathematical constant)입니다. 그것은 자연 로그(natural logarithms)의 밑수(base)입니다. 그것은 n이 무한대에 가까워짐에 따라 (1 + 1/n)ⁿ의 극한(limit)이며, 복합 이자(compound interest) 연구에서 발생하는 표현입니다. 그것은 역시 다음 무한 급수(series)의 합으로 계산될 수도 있습니다: $$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$$

그것은 역시 함수 y = a^x의 그래프가 x = 0에서 1의 기울기(slope)를 가짐을 만족하는 고유한 양수 a입니다.

(자연) 지수 함수(exponential function) f(x) = e^x는 자체의 도함수(derivative)와 같고 방정식 f(0) = 1을 만족시키는 고유한 함수 f입니다; 그러므로 e를 f(1)으로 정의할 수도 있습니다. 자연 로그, 또는 밑수 e에 대한 로그는 자연 지수 함수의 역 함수(inverse function)입니다. 숫자 k > 1의 자연 로그는 x = 1과 x = k 사이의 곡선 y = 1/x 아래의 넓이로 직접 정의될 수 있으며, 이 경우에서 e는 이 넓이가 일과 같은 k의 값입니다 (이미지를 참조하십시오). 다양한 다른 특성이 있습니다.

숫자 e는 때때로 스위스 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 오일러의 숫자(Euler's number) (오일러의 상수 $\gamma$와 혼동하지 말 것), 또는 John Napier의 이름을 따서 네이피어의 상수(Napier's constant)라고 불립니다. 그 상수는 스위스 수학자 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)에 의해 복합 이자를 연구하던 중에 발견했습니다.

숫자 e는 0, 1, π, 및 i와 함께 수학에서 매우 중요합니다. 다섯 숫자 모두는 오일러의 항등식(Euler's identity), $e^{i\pi }+1=0$의 하나의 공식으로 나타나고, 수학 전반에 걸쳐 중요한 역할을 하고 반복되게 나타납니다. 상수 π와 마찬가지로, e는 무리수(irrational, 정수 비율로 나타낼 수 없음)이고 초월적(transcendental, 유리 계수를 갖는 임의의 비-영 다항식의 근이 아님)입니다. e의 50까지 십진 자리 값은 다음과 같습니다:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995....

History

상수에 대한 첫 번째 참조는 존 네이피어(John Napier)에 의해 로그에 대한 작업의 부록의 테이블에서 1618년 발표되었습니다. 어쨌든, 이것은 상수 자체를 포함하지 않았지만, 단순히 상수로부터 계산된 로그의 목록이 포함되어 있습니다. 그 테이블은 윌리엄 오트레드(William Oughtred)에 의해 쓰여졌다고 가정됩니다. 상수 자체의 발견은 1683 년에서 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)에게 공인되며, 그는 다음 표현의 값을 찾기 위해 시도했었습니다 (이것은 실제로 e입니다):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

문자 b로 표시되는, 상수의 첫 번째 알려진 사용은 1690년과 1691년에서 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에서 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)에 해당하는 것입니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는, 1731년 11월 25일 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach)에게 쓴 편지에서, 문자 e를 자연 로그에 대해 밑으로 소개했습니다. 오일러는 1727년 또는 1728년 대포의 폭발력에 관한 미공개 논문에서 상수에 대해 문자 e를 사용하기 시작했었고, 출판물에서 e의 첫 등장은 오일러의 Mechanica (1736)에서 였었습니다. 이후 몇 년 동안 일부 연구자들은 문자 c를 사용했지만, 문자 e는 보다 공통적이었고 결국 표준이 되었습니다.

수학에서, 표준은 이탤릭체로 상수를 "e"로 조판하는 것입니다; ISO 80000-2:2009 표준은 똑바로 세운 인쇄체에서 상수를 조판하는 것을 권장하지만, 이것은 과학 공동체에 의해 검증되지 않았습니다.

Applications

Compound interest

The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies

야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)는 1683년 복리에 관한 질문을 연구함으로써 이 상수를 발견했습니다:

계정은 $1.00로 시작하고 연간 100% 이자를 지불합니다. 만약 이자가 연도의 말에서 한번 적립되면, 연말에서 계정의 값은 $2.00일 것입니다. 만약 이자가 일년 동안 더 자주 계산되고 적립되면 무엇이 생깁니까?

만약 이자가 일년에 두번 적립되면, 매 6개월마다 이자율은 50%일 것이므로, 초기 $1은 두 번 1.5에 곱해지며, 연말에 $1.00 × 1.5² = $2.25를 산출합니다. 분기마다 복리는 $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414…를 산출하고, 월마다 복리는 $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035…를 산출합니다. 만약 n 복리 구간이 있으면, 각 구간마다 이자는 100%/n일 것이고 연말에서 값은 $1.00×(1 + 1/n)ⁿ일 것입니다.

베르누이는 이 수열이 더 큰 n 및 더 작은 복리 구간과 함께 극한 (이자의 힘)에 접근한다는 것을 알아차렸습니다. 주마다 복리 (n = 52)는 $2.692597...을 산출하지만, 일마다 복리 (n = 365)는 $2.714567..., 단지 이 센트 더 산출합니다. 극한은, n이 커져 갈수록, e로 알려지게 되는 숫자입니다; 연속 복리와 함께, 계정 값은 $2.7182818...에 도달할 것입니다.

보다 일반적으로, $1로 시작하고 R의 연간 이자율을 제공하는 계정은, t년 후에, 연속 복리와 함께 e^Rt 달러를 산출합니다. (여기서 R은 백분율로 표현된 이자율의 십진수 동등 값이므로, 예를 들어 5% 이자에 대해, R = 5/100 = 0.05의 값입니다.)

Bernoulli trials

Graphs of probability P of not observing independent events each of probability 1/n after n Bernoulli trials, and 1 − P  vs n ; it can be observed that as n increases, the probability of a 1/n-chance event never appearing after n tries rapidly converges to 1/e.

숫자 e 자체는 확률 이론(probability theory)에 역시 응용을 가지며, 여기서 그것이 지수 성장과 분명히 관련이 없는 방법으로 발생합니다. 겜블러가 슬롯 머신을 돌리고 n에서 일의 확률과 함께 지불하고 그것을 n번 돌린다고 가정합니다. 그런-다음, (백만과 같은) 큰 n에 대해 겜블러가 모든 각 베팅을 잃을 수 있는 확률은 근사적으로 1/e입니다. n = 20에 대해 그것은 이미 근사적으로 1/2.79입니다.

이것은 베르누이 시행(Bernoulli trial) 과정의 예제입니다. 겜블러가 슬롯을 돌릴 때마다, 백만 번 중에 한 번 승리의 기회가 있습니다. 백만 번 돌리는 것은 이항 분포(binomial distribution)에 의해 모델되고, 이것은 이항 정리(binomial theorem) 및 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)과 밀접하게 관련됩니다. 백만 번 시행 중 k 번 이길 확률은 다음입니다:

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.$

특히, 영 번 (k = 0) 이길 확률은 다음입니다:

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.$

이것은 다음 극한에 매우 가깝습니다:

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Standard normal distribution

Main article: Normal distribution

영 평균 및 단위 표준 편차를 갖는 정규 분포는 표준 정규 분포로 알려져 있으며, 다음 확률 밀도 함수(probability density function)에 의해 제공됩니다:

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

단위 분산의 구속 (및 따라서 단위 표준 편차)은 지수에서 1/2의 결과로 나타나고, 곡선 ϕ(x) 아래의 단위 총 넓이의 구속은 인수 $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$의 결과로 나타납니다.^[증명] 이 함수는 x = 0 주위로 대칭이며, 여기서 그것은 그의 최대 값 $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$에 도달하고, x = ±1에서 변곡점(inflection point)을 가집니다.

Derangements

Main article: Derangement

피에르 레몽 드 몽모르(Pierre Raymond de Montmort)와 함께 야콥 베르누이에 의해 부분적으로 역시 발견된 e의 또 다른 응용은 모자 검사 문제로 역시 알려진 교란의 문제에 있습니다: n 손님은 파티에 초대되고, 문에서 손님 모두는 집사와 함께 그들의 모자를 검사하며, 그는 차례로 한 사람의 이름과 함께 각 레이블된 n 상자에 모자를 넣습니다. 그러나 집사는 손님의 신원을 묻지 않았고, 그래서 그는 모자를 무작위로 선택된 상자에 넣습니다. 드 몽모르의 문제는 모자의 어떤 것도 올바른 상자에 들어가지 않을 확률을 찾는 것입니다. 정답은 다음입니다:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

손님의 숫자 n이 무한대로 경향이 있을 때, p_n은 1/e에 접근합니다. 게다가, 모자의 어떤 것도 올바른 상자에 있지 않도록 위치될 수 있는 방법의 숫자는, 모든 각 양의 n에 대해, 가장 가까운 정수로 반올림된 n!/e입니다.

Optimal planning problems

길이가 L의 스틱은 n 개의 같은 부분으로 부서집니다. 길이의 곱을 최대화하는 n의 값은 그런-다음 다음 둘 중 하나입니다:

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ 또는 $\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor +1.$

명시된 결과는 따르는데 왜냐하면 $x^{-1}\ln x$의 최댓값이 $x=e$에서 발생하기 때문입니다 (슈타이너의 문제(Steiner's problem), 아래에 논의됩니다). 양 $x^{-1}\ln x$은 확률 $1/x$로 발생하는 사건으로부터 수집된 정보(information)의 측정이므로, 본질적으로 같은 최적 분할은 비서 문제(secretary problem)와 같은 최적 계획 문제에 나타납니다.

Asymptotics

숫자 e는 점근학(asymptotics)을 포함하는 많은 문제와 관련하여 자연스럽게 발생합니다. 예제는 팩토리얼 함수(factorial function)의 점근학(asymptotics)에 대해 스털링의 공식(Stirling's formula)이며, 이것에 숫자 e와 π 둘 다가 들어갑니다:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

결과로써,

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

In calculus

The graphs of the functions x ↦ a^x are shown for a = 2 (dotted), a = e (blue), and a = 4 (dashed). They all pass through the point (0,1), but the red line (which has slope 1) is tangent to only e^x there.

The value of the natural log function for argument e, i.e. ln(e), equals 1.

숫자 e를 도입하는 것에 대해 주요 동기는, 특히 미적분학(calculus)에서, 지수 함수(exponential function) 및 로그(logarithm)와 함께 미분(differential) 및 적분 미적분학(integral calculus)을 수행하는 것입니다. 일반적인 지수 함수 y = a^x는 도함수를 가지며, 다음 극한(limit)에 의해 제공됩니다:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}$

오른쪽에 괄호로 묶인 극한은 변수 x와 무관합니다: 그것은 오직 밑수 a에 의존합니다. 밑수가 e로 설정되면, 이 극한은 1과 같고, 그래서 e는 다음 방정식에 의해 기호적으로 정의됩니다:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

결과적으로, 밑수 e를 갖는 지수 함수는 미적분을 하는 것에 특별히 적합합니다. 지수 함수의 밑으로, 어떤 다른 숫자와 달리, e를 선택하면, 도함수를 포함하는 계산을 훨씬 더 간단하게 만듭니다.

또 다른 동기는, x > 0에 대해, 밑수-a 로그, 즉, log_a x의 도함수를 고려함으로써 옵니다:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}$

여기서 치환 u = h/x이 만들어집니다. e의 a-로그는, 만약 a가 e와 같으면, 1입니다. 그래서 기호적으로,

${\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.$

이 특수 기수를 가진 로그는 자연 로그(natural logarithm)로 불리고 ln으로 표시됩니다; 그것은 미분화에 아래에서 잘 작동하는데 왜냐하면 계산을 통해 수행하기 위해 비-결정된 극한은 없기 때문입니다.

그러한 특수 숫자 a를 선택하는 것에서 따라서 두 가지 방법이 있습니다. 한 가지 방법은 지수 함수 a^x의 도함수를 a^x와 같게 놓고, a에 대해 푸는 것입니다. 다른 방법은 밑수 a 로그의 도함수를 1/x로 놓고 a에 대해 푸는 것입니다. 각각의 경우에서, 우리는 미적분학을 수행하기 위한 편리한 밑수의 선택에 도달합니다. a에 대한 이들 두 해는 실제로는 같은 숫자 e임이 밝혀집니다.

Alternative characterizations

The five colored regions are of equal area, and define units of hyperbolic angle along the hyperbola $xy=1.$

See also: § Representations, and Characterizations of the exponential function

e의 다른 특성화가 역시 가능합니다: 하나는 수열의 극한(limit of a sequence), 다른 하나는 무한 급수의 합으로 특성화이고, 여전히 다른 것들은 적분 미적분(integral calculus)에 의존합니다. 지금까지, 다음 두 가지 속성이 도입되었습니다:

1. 숫자 e는 ${\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}$를 만족하는 유일한 양의 실수(real number)입니다.
2. 숫자 e는 ${\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}$를 만족하는 유일한 양의 실수입니다.

다음 네 특성화는 동등한 것으로 입증될 수 있습니다:

3. 숫자 e는 다음 극한(limit)입니다:

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

   비슷하게:

   $e=\lim _{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac {1}{t}}$

4. 숫자 e는 다음 무한 급수(infinite series)의 합입니다:
   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$
   여기서 n!는 n의 팩토리얼(factorial)입니다. (관례 ${0!}=1$에 의해.)
5. 숫자 e는 다음을 만족하는 유일한 양의 실수입니다:

   $\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.$

6. 만약 f(t)가 지수 함수(exponential function)이면, 양 $\tau =f(t)/f'(t)$은 상수이며, 때때로 시간 상수(time constant)로 불립니다. (그것은 지수 성장 상수(exponential growth constant) 또는 감쇠 상수(decay constant)의 역수입니다). 시간 상수는 지수 함수가 e의 인수에 의해 증가하는 데 걸리는 시간입니다: $f(t+\tau )=ef(t)$.

Properties

Calculus

동기에서 처럼, 지수 함수(exponential function) e^x는 부분에서 중요한데 왜냐하면 그것은 그 자신의 도함수(derivative)인 유일한 비-자명한 함수 (상수에 의한 곱셈까지(up to))이기 때문입니다:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

및 그러므로 마찬가지로 그 자신의 역도함수(antiderivative)인 함수입니다:

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C.$

Inequalities

Exponential functions y = 2^x and y = 4^x intersect the graph of y = x + 1, respectively, at x = 1 and x = -1/2. The number e is the unique base such that y = e^x intersects only at x = 0. We may infer that e lies between 2 and 4.

숫자 e는, 모든 양의 x에 대해, 다음을 만족하는 유일한 실수입니다:

$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}$

역시, 우리는 등호와 함께, 모든 실수 x에 대해, 부등식

$e^{x}\geq x+1$

인 것과 x = 0인 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, e는 모든 x에 대해, 부등식 a^x ≥ x + 1이 유지되는 것에 대해 지수의 유일한 밑수입니다. 이것은 베르누이의 부등식(Bernoulli's inequality)의 극한하는 경우입니다.

Exponential-like functions

The global maximum of ${\sqrt[{x}]{x}}$ occurs at x = e.

슈타이너의 문제(Steiner's problem)는 다음 함수의 전역 최대(global maximum)를 찾도록 요청합니다:

$f(x)=x^{\frac {1}{x}}.$

이 최대는 x = e에서 정확히 발생합니다. 증명에 대해, 부등식 $e^{y}\geq y+1$은, 위로부터, $y=(x-e)/e$에서 평가되고 단순화는 $e^{x/e}\geq x$를 제공합니다. 그래서 모든 양의 x에 대해 $e^{1/e}\geq x^{1/x}$입니다.

비슷하게, x = 1/e는 양의 x에 대해 정의된 함수

$f(x)=x^{x}$

에 대해 전역 최소(global minimum)가 발생되는 곳입니다.

보다 일반적으로, 다음 함수에 대해

$f(x)=x^{x^{n}}$

양의 x에 대해 전역 최소는 임의의 n < 0에 대해 x = 1/e에서 발생합니다; 그리고 전역 최소는 임의의 n > 0에 대해 x = e^−1/n에서 발생합니다.

무한 테트레이션(Tetration)

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ or ${^{\infty }}x$

이 수렴하는 것과 e^−e ≤ x ≤ e^1/e (또는 근사적으로 0.0660와 1.4447 사이)인 것은 필요충분 조건이며, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 정리에 기인합니다.

Number theory

실수 e는 무리적(irrational)입니다. 오일러(Euler)는 단순 연속된 분수(simple continued fraction) 전개가 무한하다는 것을 보임으로써 이것을 입증했습니다. (e가 무리적이라는 푸리에(Fourier)의 증명을 역시 참조하십시오.)

게다가, 린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)에 의해, e는 초월적(transcendental)이며, 그것은 유리 계수를 갖는 임의의 비-상수 다항식 방정식의 해가 아님을 의미합니다. 그것은 이 목적에 대해 특별하게 구성되는 것없이 초월적임이 입증된 최초의 숫자였습니다 (리우빌 숫자(Liouville number)와 비교하십시오); 이 증명은 1873년에서 샤를 에르미트(Charles Hermite)에 의해 제공되었습니다.

e가 정규(normal)인 것은 추측되며, e가 임의의 밑으로 표현될 때 해당 밑수(base)에서 가능한 자릿수는 (주어진 길이의 임의의 수열에서 같은 확률로 발생하는) 균등하게 분포되는 것을 의미합니다.

Complex numbers

지수 함수(exponential function) e^x는 다음 테일러 급수(Taylor series)로 쓸 수 있을 것입니다:

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

이 급수는 x의 모든 각 복소(complex) 값에 대해 수렴(convergent)하기 때문에, 그것은 공통적으로 e^x의 정의를 복소수로 확장하는 것에 사용됩니다. 이것은, 사인 및 코사인에 대해 테일러 급수와 함께, 우리에게 오일러의 공식(Euler's formula)을 도출하는 것을 허용합니다:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

이것은 모든 각 복소수 x에 대해 유지됩니다. x = π를 가진 특별한 경우는 오일러의 항등식(Euler's identity)입니다:

$e^{i\pi }+1=0,$

이것으로부터 그것은 로그의 주요 가지(principal branch)에서 다음임을 따릅니다:

$\ln(-1)=i\pi .$

게다가, 지수의 법칙을 사용하여,

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

이것은 드 무아브로의 공식(de Moivre's formula)입니다.

표현

$\cos x+i\sin x$

은 때때로 cis(x)로 참조됩니다.

지수 함수(exponential function)의 관점에서 $\sin x$ 및 $\cos x$의 표현은 추론될 수 있습니다:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.$

Differential equations

C가 임의의 실수인 함수

$y(x)=Ce^{x}$

의 가족은 다음 미분 방정식(differential equation)에 대한 해입니다:

$y'=y.$

Representations

Main article: List of representations of e

숫자 e는 다양한 방법: 무한 급수(infinite series), 무한 곱(infinite product), 연속된 분수(continued fraction), 또는 수열의 극한(limit of a sequence)에서 실수로 표현될 수 있습니다. 특히 초급 미적분학(calculus) 과정에서, 이들 표현 중 최고는 위에서 주어진 다음 극한이며

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$

마찬가지로, x = 1에서 e^x에 대해 위의 거듭제곱 급수(power series)를 평가함으로써 제공된 다음 급수입니다:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$.

덜 공통적인 것은 연속된 분수(continued fraction)입니다:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],$

이것은 다음처럼 작성됩니다:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

e에 대해 이 연속된 분수는 세 배만큼 빠르게 수렴합니다:

$e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

e의 많은 다른 급수, 수열, 연속된 분수, 및 무한 곱 표현이 개발되어 왔습니다.

Stochastic representations

e의 대표에 대해 정확한 해석적 표현 외에도, e를 추정하기 위한 확률론적 기법이 있습니다. 하나의 그러한 접근은 [0, 1] 위에 균등 분포(uniform distribution)로부터 그어진, 독립적 확률 변수 X₁, X₂...의 무한 수열로 시작합니다. V를 첫 n 관측의 합이 1을 초과하는 것을 만족하는 최소 숫자 n으로 놓습니다.

$V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.$

그런-다음 V의 기댓값(expected value)은 e: E(V) = e입니다.

Known digits

e의 알려진 자릿수의 숫자는 지난 수십 년 동안 실질적으로 증가해 왔습니다. 이것은 컴퓨터의 성능 향상 및 알고리듬 개선 둘 다에 기인합니다.

e의 알려진 십진 자릿수의 숫자

연도	십진 자릿수	계산을 수행한 사람
1690	1	야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)
1714	13	로저 코츠(Roger Cotes)
1748	23	레온하르트 오일러(Leonhard Euler)
1853	137	윌리엄 생크스(William Shanks)
1871	205	윌리엄 생크스(William Shanks)
1884	346	마커스 부어맨(J. Marcus Boorman)
1949	2,010	존 폰 노이만(John von Neumann) (에니악에서)
1961	100,265	다니엘 생크스(Daniel Shanks) 및 존 렌치(John Wrench)
1978	116,000	스티브 워즈니악(Steve Wozniak) (애플 2에서)

2010년 무렵부터, 현대의 고속 데스크탑 컴퓨터의 확산은 대부분의 아마추어에 대해 허용-가능한 시간 안에 e의 수조 자릿수를 계산하는 것이 실현-가능해졌습니다.

Computing the digits

e의 자릿수를 계산하는 한 가지 방법은 다음 급수가 갖는 것입니다:$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.$$더 빠른 방법은 두 개의 재귀적 함수 $p(a,b)$와 $q(a,b)$와 관련되어 있습니다. 그 함수는 다음으로 정의됩니다:$${\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor \end{cases}}$$다음 표현은$$1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}$$e의 자릿수를 생성합니다. 이 방법은 이진 분할을 더 적은 단일-자릿수 산술 연산과 감소된 비트 복잡성(bit complexity)을 갖는 e를 계산하기 위해 사용합니다. 이것을 고속 푸리에 변환-기반 정수 곱셈 방법과 결합하면 자릿수를 매우 빠르게 계산하게 만듭니다.

In computer culture

인터넷 문화(internet culture)의 출현 동안, 개인과 조직은 때때로 숫자 e에 경의를 표했습니다.

초기 예제에서, 컴퓨터 과학자(computer scientist) 도널드 커누스(Donald Knuth)는 자신의 프로그램 메타폰트(Metafont)의 버전 숫자를 e에 접근하게 만들었습니다. 그 버전은 2, 2.7, 2.71, 2.718, 이런 식으로 계속됩니다.

또 다른 예제, 2004년에 구글에서 IPO를 신청한 경우에서, 전형적인 반올림 금액이 아닌, 2,718,281,828 USD를 모금하겠다고 발표했으며, 이것은 가장 가까운 달러로 반올림된 e 십억 달러(dollars)입니다.

구글은 역시 실리콘 밸리의 중심부와 나중에 매사추세츠 주 캠브리지; 워싱턴 주 시애틀; 및 텍사스 주 오스틴에 게재된 광고판을 담당했습니다. 그것은 "{e의 연속적인 자릿수에서 발견된 처음 10-자릿수}.com"으로 쓰여 있습니다. e에서 처음 10-자리 소수는 7427466391이며, 99번째 자리에서 시작합니다. 이 문제를 해결하고 광고된 (현재는 없어진) 웹 사이트를 방문하면 풀려는 훨씬 더 어려운 문제로 이어졌으며, 이것은 수열 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391에서 다섯 번째 항을 찾는 것으로 구성되었습니다. 10-자릿수 숫자로 구성된 수열은 그것의 자릿수가 합해서 49인 e의 연속적인 자릿수에서 찾아지는 것으로 밝혀졌습니다. 수열에서 다섯 번째 항은 127번째 자릿수에서 시작하는 5966290435입니다. 이 두 번째 문제를 해결하는 것은 마침내 방문자가 이력서를 제출하도록 초대된 Google Labs 웹 페이지로 이어졌습니다.

Further reading

• Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
• Commentary on Endnote 10 of the book Prime Obsession for another stochastic representation
• McCartin, Brian J. (2006). "e: The Master of All" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 28 (2): 10–21. doi:10.1007/bf02987150.

External links

• The number e to 1 million places and 2 and 5 million places
• e Approximations – Wolfram MathWorld
• Earliest Uses of Symbols for Constants Jan. 13, 2008
• "The story of e", by Robin Wilson at Gresham College, 28 February 2007 (available for audio and video download)
• e Search Engine 2 billion searchable digits of e, π and √2