Diagonal

기하학(geometry)에서, 대각선은 다각형(polygon) 또는 다면체(polyhedron)의 둘의 꼭짓점(vertices)을, 그것들 꼭짓점이 같은 가장자리(edge) 위에 있지 않을 때, 연결하는 선분(line segment)입니다. 비공식적으로, 임의의 경사진 직선은 대각선이라고 불립니다. 단어 diagonal은 고대 그리스어(ancient Greek) διαγώνιος diagonios,^[1] "각도에서 각도까지"(διά- dia-, "통과", "횡단" 및 γωνία gonia, "각도", gony "무릎"과 관련됨)에서 파생됩니다; 그것은 스트라본(Strabo)과^[2] 유클리드(Euclid)에^[3] 의해 마름모(rhombus) 또는 직육면체(cuboid)의 두 꼭짓점을 연결하는 직선을 참조하기 위해 사용되었고,^[4] 나중에 라틴어에서 diagonus ("경사진 직선")으로 채택되었습니다.

행렬 대수(matrix algebra)에서, 정사각 행렬(matrix)의 대각선은 한 모서리에서 가장 먼 모서리까지 확장하는 엔트리의 집합입니다.

역시 다른, 비-수학적 용도가 있습니다.

Non-mathematical uses

A stand of basic scaffolding on a house construction site, with diagonal braces to maintain its structure

공학(engineering)에서, 대각선 버팀대는 직사각형 구조 (예를 들어, 발판(scaffolding))를 밀어 넣는 강한 힘을 견디기 위해 사용되는 빔입니다; 비록 대각선이라고 불리지만, 실용적인 고려 사항으로 인해 대각선 버팀대는 종종 직사각형의 모서리에 연결되지 않습니다.

대각선 플라이어는 턱의 절단 가장자리가 조인트 리벳을 비스듬히 또는 "대각선으로" 교차하여 절단함으로써 정의된 와이어-절단 플라이어이고, 따라서 그것의 이름이 지어졌습니다.

대각선 결박(diagonal lashing)은 결박이 기둥을 비스듬히 교차하도록 적용된 장대 또는 기둥을 함께 묶기 위해 사용되는 결박의 유형입니다.

협회 축구(association football)에서, 대각선(diagonal) 제어의 시스템은 주심과 부심이 경기장의 4사분면 중 하나에 자신을 배치하기 위해 사용하는 방법입니다.

Polygons

다각형(polygon)에 적용될 때, 대각선은 둘의 비-연속 꼭짓점을 연결하는 선분(line segment)입니다. 그러므로, 사변형(quadrilateral)은 둘의 대각선을 가지고, 반대편 꼭짓점의 쌍을 연결합니다. 임의의 볼록 다각형(convex polygon)에 대해, 모든 대각선은 다각형 내부에 있지만, 재진입 다각형(re-entrant polygon)에 대해, 일부 대각선은 다각형의 외부에 있습니다.

임의의 n-변 다각형 (n ≥ 3), 볼록(convex) 또는 오목(concave)은 ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ 대각선을 가지는데, 왜냐하면 각 꼭짓점은 자신과 둘의 인접한 꼭짓점을 제외한 모든 다른 꼭짓점에 대한 대각선, 또는 n − 3 대각선을 가지고, 각 대각선은 둘의 꼭짓점에 의해 공유됩니다.

변	대각선
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

변	대각선
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135

변	대각선
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299

변	대각선
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527

변	대각선
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

Regions formed by diagonals

볼록 다각형(convex polygon)에서, 만약 셋의 대각선이 내부에 있는 한 점에서 공점(concurrent)이 아니면, 대각선이 내부를 나누는 영역의 숫자는 다음에 의해 주어집니다:

{\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.

n=3, 4, ...을 갖는 n-각형에 대해, 영역의 숫자는 다음입니다:^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

이것은 OEIS 수열 A006522입니다.^[6]

Intersections of diagonals

만약 볼록 다각형의 셋의 대각선이 내부에 있는 한 점에서 공점이 아니면, 대각선의 내부 교차점의 숫자는 ${\binom {n}{4}}$ 에 의해 제공됩니다.^[7]^[8] 이것은, 예를 들어, 홀수의 변을 갖는 임의의 정규 다각형(regular polygon)에 대해 유지됩니다. 그 공식은 각 교차점이 두 교차하는 대각선의 네 끝점에 의해 고유하게 결정된다는 사실에서 따릅니다: 교차점의 숫자는 따라서 한 번에 n 꼭짓점 4의 조합의 숫자입니다.

Regular polygons

삼각형(triangle)은 대각선을 가지지 않습니다.

정사각형(square)은 정사각형의 중심에서 교차하는 같은 길이의 두 대각선을 가집니다. 한 변에 대한 대각선의 비율은 ${\sqrt {2}}\approx 1.414$ 입니다.

정규 오각형(regular pentagon)은 모두 같은 길이의 다섯 대각선을 가집니다. 한 변에 대한 대각선의 비율은 황금 비율(golden ratio), ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$ 입니다.

정규 육각형(hexagon)은 아홉 대각선을 가집니다: 여섯의 더 짧은 대각선은 길이에서 서로 같습니다; 셋의 더 긴 대각선은 길이에서 서로 같고 육각형의 중심에서 서로 교차합니다. 한 변에 대한 긴 대각선의 비율은 2이고, 한 변에 대한 짧은 대각선의 비율은 ${\sqrt {3}}$ 입니다.

정규 칠각형(heptagon)은 14 대각선을 가집니다. 일곱 더 짧은 대각선은 서로 같고, 일곱 더 긴 것은 서로 같습니다. 한 변의 역수는 짧은 대각선과 긴 대각선의 역수의 합과 같습니다.

짝수 n을 갖는 임의의 정규 n-각형에서, 긴 대각선 모두는 다각형의 중심에서 서로 교차합니다.

Polyhedrons

다면체(polyhedron) (이-차원(two-dimensional) 면(faces)에 위해 둘러싸인 삼차원 공간(three-dimensional space)에서 고체 대상(solid object))는 두 가지 다른 유형의 대각선을 가질 수 있습니다: 같은 면 위에 비-인접한 꼭짓점을 연결하는 다양한 면 위의 면 대각선(face diagonal); 그리고 (꼭짓점에 끝점을 제외한) 완전하게 다면체 내부에 있는 공간 대각선(space diagonal).

삼각형(triangle)이 대각선을 가지지 않는 것처럼, (넷의 삼각형 면을 갖는) 사면체(tetrahedron)는 역시 면 대각선을 가지지 않고 공간 대각선을 가지지 않습니다.

직육면체(cuboid)는 여섯 면 각각에 둘의 대각선과 넷의 공간 대각선을 가집니다.

Matrices

정사각 행렬(square matrix)의 경우에서, 기본(main) 또는 주요 대각선(principal diagonal)은 왼쪽-꼭대기 모서리에서 오른쪽-아래쪽 모서리까지 이어지는 엔트리의 대각 직선입니다.^[9]^[10]^[11] $i$ 에 의해 지정된 행 인덱스와 $j$ 에 의해 지정된 열 인덱스를 갖는 행렬 $A$ 에 대해, 이것들은 $i=j$ 를 갖는 엔트리 $A_{ij}$ 일 것입니다. 예를 들어, 항등 행렬(identity matrix)은 주요 대각선에서 1의 엔트리를 가지고 다른 곳에서 영을 가지는 것으로 정의될 수 있습니다:

{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

오른쪽-꼭대기에서 왼쪽-아래쪽까지 대각선은 때때로 보조(minor) 대각선 또는 역-대각선(antidiagonal)으로 설명됩니다. 비-대각(off-diagonal) 엔트리는 주요 대각선에 있지 않는 엔트리입니다. 대각 행렬(diagonal matrix)은 그것의 비-대각 엔트리가 모두 영인 행렬입니다.^[12]^[13]

초월대각(superdiagonal) 엔트리는 주요 대각선의 바로 위 오른쪽에 있는 엔트리입니다.^[14]^[15] 대각선 엔트리가 $j=i$ 를 갖는 엔트리 $A_{ij}$ 인 것처럼, 초월대각 엔트리는 $j=i+1$ 를 갖는 엔트리입니다. 예를 들어, 다음 행렬의 비-영 엔트리는 모두 초월대각에 놓입니다:

{\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}

마찬가지로, 하위대각(subdiagonal) 엔트리는 주요 대각 바로 아래 왼쪽에 있는 엔트리, 즉, $j=i-1$ 를 갖는 엔트리 $A_{ij}$ 입니다.^[16] 일반 행렬 대각선은 주요 대각선을 기준으로 측정된 인덱스 $k$ 에 의해 지정될 수 있습니다: 주요 대각선은 $k=0$ 을 가집니다; 초월대각선은 $k=1$ 을 가집니다; 하위대각선은 $k=-1$ 을 가집니다; 그리고 일반적으로, $k$ -대각선은 항목 $j=i+k$ 를 갖는 엔트리 $A_{ij}$ 로 구성됩니다.

Geometry

아날로그에 의해, 모든 쌍 (x,x)으로 구성된 임의의 집합 X와 자체의 데카르트 곱(Cartesian product) X×X의 부분집합(subset)은 대각선이라고 불리고, X 위의 상등(equality) 관계(relation)의 그래프(graph) 또는 동등하게 X에서 x로의 항등 함수(identity function)의 그래프(graph)입니다. 이것은 기하학에서 중요한 역할을 합니다; 예를 들어, X에서 자체로의 매핑(mapping) F의 고정된 점(fixed point)은 F의 그래프를 대각선과 교차함으로써 얻어질 수 있습니다.

기하학 연구에서, 대각선을 자체와 교차한다는 아이디어는 직접적으로가 아니라 동치 클래스(equivalence class) 내에서 그것을 교란함으로써 공통적입니다. 이것은 오일러 특성(Euler characteristic) 및 벡터 필드(vector field)의 영들과 깊은 수준에서 관련됩니다. 예를 들어, 원(circle) S¹은 베티 숫자(Betti number) 1, 1, 0, 0, 0을 가지고, 따라서 오일러 특성 0을 가집니다. 이를 기하학적으로 표현하는 방법은 둘-토러스(torus) S¹xS¹ 위에 대각선을 보고 그것이 (θ, θ)에서 (θ, θ + ε)로의 작은 움직임에 의해 스스로 벗어날 수 있음을 관찰하는 것입니다. 일반적으로 함수 그래프와 대각선의 교차점 숫자는 렙셰츠 고정된 점 정리(Lefschetz fixed point theorem)를 통한 호몰로지를 사용하여 계산될 수 있습니다; 대각선의 자체-교차는 항등 함수의 특별한 경우입니다.

Notes

^ Online Etymology Dictionary
^ Strabo, Geography 2.1.36–37
^ Euclid, Elements book 11, proposition 28
^ Euclid, Elements book 11, proposition 38
^ Weisstein, Eric W. "Polygon Diagonal." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006522". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. "The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon". SIAM J. Discrete Math. 11 (1998), no. 1, 135–156; link to a version on Poonen's website
^ [1], beginning at 2:10
^ Bronson (1970, p. 2)
^ Herstein (1964, p. 239)
^ Nering (1970, p. 38)
^ Herstein (1964, p. 239)
^ Nering (1970, p. 38)
^ Bronson (1970, pp. 203, 205)
^ Herstein (1964, p. 239)
^ Cullen (1966, p. 114)

References

Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

External links

Diagonals of a polygon with interactive animation
Polygon diagonal from MathWorld.
Diagonal of a matrix from MathWorld.

[1] Online Etymology Dictionary

[2] Strabo, Geography 2.1.36–37

[3] Euclid, Elements book 11, proposition 28

[4] Euclid, Elements book 11, proposition 38

[5] Weisstein, Eric W. "Polygon Diagonal." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html

[6] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A006522". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[7] Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. "The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon". SIAM J. Discrete Math. 11 (1998), no. 1, 135–156; link to a version on Poonen's website

[youtube-8] [1], beginning at 2:10

[9] Bronson (1970, p. 2)

[10] Herstein (1964, p. 239)

[11] Nering (1970, p. 38)

[12] Herstein (1964, p. 239)

[13] Nering (1970, p. 38)

[14] Bronson (1970, pp. 203, 205)

[15] Herstein (1964, p. 239)

[16] Cullen (1966, p. 114)

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