Differential (mathematics)

Original article: w:Differential (mathematics)

수학(mathematics)에서, 미분(differential)은 무한소(infinitesimal) 차이 또는 함수의 도함수(derivative)를 나타냅니다. 이 용어는 미적분학(calculus), 미분 기하학(differential geometry), 대수 기하학(algebraic geometry) 및 대수 토폴로지(algebraic topology)와 같은, 수학의 다양한 분야에서 사용됩니다.

Basic notions

• 미적분학(calculus)에서, 미분(differential)은 함수(function)의 선형화(linearization)에서 변화를 나타냅니다.
  • 전체 미분(total differential)은 여러 변수의 함수에 대한 그의 일반화입니다.
• 미적분에 대한 전통적인 접근에서, 미분(differentials) (예를 들어 dx, dy, dt, 등.)은 무한소(infinitesimal)로 해석됩니다. 무한소를 엄격하게 정의하는 것의 여러 방법이 있지만, 무한하게 큰 숫자가 임의의 실수보다 큰 것처럼, 무한소 숫자는 임의의 양의 실수보다 절댓값에서 더 작다고 말하는 것으로 충분합니다.
• 미분(differential)은 Rⁿ에서 R^m로의 함수의 (특별히 이 행렬(matrix)이 선형 맵(linear map)으로 보일 때) 부분 도함수(partial derivative)의 야코비 행렬(Jacobian matrix)에 대해 또 다른 이름입니다.
• 보다 일반적으로, 미분(differential) 또는 밂(pushforward)은 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)와 그것이 정의된 밂 연산 사이의 맵의 도함수를 참조합니다. 미분은 당김(pullback)의 이중 개념을 정의하기 위해 역시 사용됩니다.
• 확률 미적분학(Stochastic calculus)은 확률론적 프로세서(stochastic process)에 대해 확률론적 미분(stochastic differential)과 관련된 미적분의 개념을 제공합니다.
• 스틸티어스 적분(Stieltjes integral)에서 적분기(integrator)는 함수의 미분으로 표현됩니다. 공식적으로, 적분 아래에 나타나는 미분은 미분과 똑같이 동작합니다: 따라서, 스틸티어스 적분에 대해 치환에 의한 적분화(integration by substitution) 및 부분에 의한 적분화(integration by parts) 공식은, 각각, 미분에 대해 체인 규칙(chain rule) 및 곱 규칙(product rule)에 해당합니다.

Differential geometry

미분의 개념은 미분 기하학(differential geometry) (및 미분 토폴로지(differential topology))에서 여러 개념에 동기-부여합니다.

• 매니폴드 사이의 맵의 미분 (밂)(differential (Pushforward))
• 미분 형식(differential form)은 미분의 곱셈 및 미분화를 수용하는 프레임워크를 제공합니다.
• 외부 도함수(exterior derivative)는 함수의 미분(differential)을 일반화하는 미분 형식의 미분화의 개념입니다 (이것이 미분 1-형식입니다).
• 당김(Pullback)은, 특히, 목표 매니폴드 위에 미분 형식을 갖는 매니폴드 사이의 맵을 합성하기 위한 체인 규칙(chain rule)에 대해 기하학적 이름입니다.
• 공변 도함수 또는 미분(Covariant derivatives or differentials)은 매니폴드 위에 벡터 필드(vector field)와 텐서 필드(tensor field)의 미분화, 또는, 보다 일반적으로, 벡터 묶음의 섹션에 대해 일반적인 개념을 제공합니다: 연결 (벡터 묶음)을 참조하십시오. 이것은 궁극적으로 연결(connection)의 일반적인 개념으로 이어집니다.

Algebraic geometry

미분은 대수 기하학(algebraic geometry)에서 역시 중요하고, 여러 중요한 개념이 있습니다.

• 아벨 미분(Abelian differential)은 보통 대수 곡선(algebraic curve) 또는 리만 곡면(Riemann surface)의 미분 일-형식을 참조합니다.
• 이차 미분(Quadratic differential) (아벨 미분의 "제곱"처럼 행동하는)은 리만 곡면의 이론에서 역시 중요합니다.
• 켈러 미분(Kähler differential)은 대수 기하학에서 미분의 일반적인 개념을 제공합니다.

Other meanings

용어 미분(differential)은 드람 코호몰로지(de Rham cohomology)에서 외부 도함수의 역할을 담당하기 때문에, 호몰로지 대수 및 대수적 토폴로지에서 역시 채택되어 왔습니다: 코체인 복합체(cochain complex) $(C_{\bullet },d_{\bullet })$에서, 맵 (또는 coboundary operators) d_i는 종종 미분으로 불립니다. 이중으로, 체인 복소수에서 경계 연산자는 때때로 공-미분(codifferentials)으로 불립니다.

미분의 속성은 미분화(derivation) 및 미분 대수(differential algebra)의 대수 개념에 역시 동기-부여합니다.

External links

• Weisstein, Eric W. "Differentials". MathWorld.