Differential (infinitesimal)

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For other uses of "differential" in mathematics, see Differential (mathematics). For more general uses, see Differential.

용어 미분(differential)은 미적분(calculus)에서 어떤 변화하는 양(varying quantity)에서 극한소(infinitesimal) (무한히 작은) 변화를 참조하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 만약 x가 변수이면, x의 값의 변화는 Δx (델타(delta) x로 발음함)로 종종 표시됩니다. 미분 dx는 변수 x에서 무한히 작은 변화를 표현합니다. 무한히 작은 또는 무한히 느린 변화의 아이디어는 직관적으로 매우 유용하고, 수학적으로 정확한 개념을 만들기 위한 여러 방법이 있습니다.

미적분학을 사용하여, 그것은 도함수(derivative)를 사용하여 다양한 변수의 무한히 작은 변화를 수학적으로 서로 관련시킬 수 있습니다. 만약 y가 x의 함수이면, y의 미분 dy는 다음 공식에 의해 dx와 관련됩니다:

$\mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x$,

여기서 dy/dx는 x에 관한 y의 도함수를 나타냅니다. 이 공식은 x에 대한 y의 도함수가 Δx가 무한소가 될 때 차이의 비율 Δy/Δx의 극한이라는 직관적인 아이디어를 요약합니다.

미분의 개념을 수학적으로 정밀하게 만들기 위한 여러 접근법이 있습니다.

1. 선형 매핑(linear map)으로써 미분. 이 접근법은 미분 기하학(differential geometry)에서 도함수(derivative)와 외부 도함수(exterior derivative)의 정의를 강조합니다.
2. 교환 링(commutative ring)의 거듭제곱영(nilpotent) 원소로써 미분. 이 접근법은 대수 기하학에서 널리 사용됩니다.
3. 집합 이론의 매끄러운 모델로써 미분. 이 접근법은 합성 미분 기하학(synthetic differential geometry) 또는 매끄러운 무한소 해석학(smooth infinitesimal analysis)으로 알려져 있고, 대수 기하학적 접근법과 밀접한 관련이 있지만, 거듭제곱영 무한소가 도입됨으로써 메커니즘을 숨기기 위해 사용되는 토포스 이론의 아이디어는 제외됩니다.
4. 역-가능한 무한소와 무한하게 큰 숫자를 포함하는 실수의 확장인, 초실수(hyperreal number) 시스템에서 무한소로써 미분. 이것은 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 개척된 비표준 해석학(nonstandard analysis)의 접근법입니다.

이들 접근법은 서로 매우 다르지만, 그들은 양적으로(quantitative), 즉 단지 미분이 무한히 작은 것이 아니라, 얼마나 그것이 작은지에 대해 말하는 공통된 아이디어를 가지고 있습니다.

History and usage

See also: History of calculus

무한소(infinitesimal) 양은 미적분학의 발달에서 중요한 역할을 수행했습니다. 아르키메데스(Archimedes)는, 비록 그는 무한소가 포함되는 논증은 엄격하다고 믿지 않았을지라도, 그것을 사용했습니다. 아이작 뉴턴(Isaac Newton)은 그것을 유율(fluxions)로 참조했습니다. 어쨌든, 고트프리트 라이프니츠는 무한소 양에 대해 용어 미분(differentials)을 만들어 냈고 오늘날 여전히 사용되는 그들에 대해 표기법을 도입했습니다.

라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)에서, 만약 x가 변수 양이면, dx는 변수 x에서 무한소 변화를 표시합니다. 따라서 만약 y가 x의 함수이면, x에 관한 y의 도함수(derivative)는 종종 dy/dx로 표시되며, 그것은 다른 방법으로 (뉴턴 또는 라그랑주(Lagrange)의 표기법에서) ẏ 또는 y′로 표시될 수 있습니다. 이 형식에서 미분의 사용은, 예를 들어 주교 버클리의 유명한 팜플렛 The Analyst에서, 많은 비판을 받았습니다. 그럼에도 불구하고, 표기법은 인기 있는 것으로 유지되어 왔는데, 왜냐하면 그것은 x에서 y의 도함수가 그의 변화의 순간 비율(instantaneous rate of change) (그래프의 접선(tangent line)의 기울기(slope))이라는 아이디어를 강하게 제안했기 때문이며, 이것은, x에서 변화가 임의적으로 작게 될 때, x에서 변화에 걸쳐 y에서 변화의 비율 Δy/Δx의 극한(limit)을 취함으로써 얻어질 수 있을 것입니다. 미분은 차원 해석학(dimensional analysis)과 역시 호환-가능이며, 여기서 dx와 같은 미분은 변수 x와 같은 차원을 가집니다.

미분은 적분에 대한 표기법에서 역시 사용되는데 왜냐하면 적분은 무한소 양의 무한 합으로 여길 수 있기 때문입니다: 그래프 아래의 넓이는 그래프를 무한하게 얇은 조각으로 나누고 그들의 넓이를 합함으로써 얻어질 수 있습니다. 다음과 같은 표현에서

$\int f(x)\,\mathrm {d} x,$

적분 기호 (이것은 수정된 긴 긴 s(long s)입니다)은 무한 합을 표시하고, f(x)는 얇은 조각의 높이를 의미하고, 미분 dx는 그의 무한하게 얇은 너비를 의미합니다.

Differentials as linear maps

그들을 선형 맵(linear map)으로 관련함으로써 미분을 정확하게 이해할 수 있는 간단한 방법이 있습니다. 설명하기 위해, f(x)가 R에 대한 실수-값 함수로 가정합니다. 우리는 f(x)에서 변수 x를 숫자가 아닌 함수, 즉, 실수 p에서 그 자체로의 값을 취하는, 실수 직선에 대한 항등 맵(identity map): x(p) = p으로 재해석할 수 있습니다. 그런-다음 f(x)는, p에서 그의 값이 f(x(p)) = f(p)인, x와 함께 f의 합성입니다. (물론 f에 의존하는) 미분 df는 그런-다음 (보통 df_p로 표시되는) p에서 그의 값이 숫자가 아니라, R에서 R로의 선형 맵인 함수입니다. R에서 R로의 선형 맵은 1×1 행렬(matrix)로 제공되므로, 본질적으로 숫자와 같은 것이지만, 관점에서 변화는 우리에게 df_p를 무한소로 생각하는 것을 허용하고 표준 무한소(standard infinitesimal) dx_p, (엔트리 1을 갖는 행렬(matrix) 1×1) 다시 바로 R에서 R로의 항등 맵과 비교하는 것을 허용합니다. 항등 맵은, 만약 ε가 매우 작으면, 그것을 무한소로 여기는 것을 가능하게 하는, dx_p(ε)가 매우 작다는 속성을 가집니다. 미분 df_p는 같은 속성을 가지는데, 왜냐하면 그것은 바로 dx_p의 배수이고, 이 배수는 정의에 의해 도함수 f ′(p)이기 때문입니다. 우리는 따라서 df_p = f ′(p) dx_p이고, 그러므로 df = f ′ dx임을 얻습니다. 따라서 우리는 f ′은 미분 df와 dx의 비율이라는 아이디어를 다시-회복합니다.

이것은, 다음이 사실이 아니라면, 단지 속임수일 뿐입니다:

1. 그것은 p에서 f의 도함수의 아이디어를 p에서 f에 대한 최상의 선형 근사로서 획득합니다;
2. 그것은 많은 일반화를 가집니다.

예를 들어, 만약 f은 Rⁿ에서 R로의 함수이면, 우리는, 임의의 ε > 0에 대해, x ∈ N에 대해

$\left|f(x)-f(p)-\mathrm {d} f_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|$

을 만족하는 p의 이웃(neighbourhood) N이 있는 것을 만족하는 Rⁿ에서 R로의 선형 맵 df_p이 있으면, f가 p ∈ Rⁿ에서 미분 가능이라고 말합니다.

우리는 지금 일-차원 경우에서 처럼 같은 트릭을 사용하고, (x^j(p)가 p ∈ Rⁿ의 j-번째 성분이 되도록) 표현 f(x¹, x², …, xⁿ)을 Rⁿ 위에 표준 좌표 x¹, x², …, xⁿ를 가진 f의 합성으로 생각할 수 있습니다. 그런-다음, 점 p에서 미분 (dx¹)_p, (dx²)_p, (dxⁿ)_p는 Rⁿ에서 R로의 선형 맵의 벡터 공간(vector space)에 대한 기저(basis)를 형성하고 그러므로, 만약 f가 p에서 미분-가능이면, 우리는 df_p를 이들 기저 원소의 선형 조합(linear combination)으로 쓸 수 있습니다:

$\mathrm {d} f_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(\mathrm {d} x^{j})_{p}.$

계수 D_jf(p)는 (정의에 의해) x¹, x², …, xⁿ에 관한 p에서 f의 부분 도함수(partial derivative)입니다. 그러므로, 만약 f가 Rⁿ의 모두에서 미분-가능이면, 우리는 보다 간결하게 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial f}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}\,\mathrm {d} x^{n}.$

일-차원 경우에서 이것은 위에서 처럼 다음입니다:

$\mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x$.

이 아이디어는 Rⁿ에서 R^m로의 함수로 직접적으로 일반화합니다. 게다가, 그것은, 좌표의 변화 아래에서 불변(invariant)인, 도함수의 다른 정의에 걸쳐 결정적인 이점을 가집니다. 이것은 같은 아이디어가 매끄러운 매너폴드(smooth manifold) 사이의 매끄러운 맵(smooth map)의 미분(differential)을 정의하기 위해 사용됨을 의미합니다.

추가: x에서 f(x)의 모든 부분 도함수(partial derivative)의 존재는 x에서 미분의 존재에 대해 필요 조건(necessary condition)임을 주목하십시오. 어쨌든 그것은 충분 조건(sufficient condition)은 아닙니다. 반례에 대해, 가르토 도함수(Gâteaux derivative)를 참조하십시오.

Algebraic geometry

대수 기하학(algebraic geometry)에서, 미분과 다른 무한소 개념은 공간의 좌표 링(coordinate ring) 또는 구조 뭉치(structure sheaf)이 거듭제곱영 원소(nilpotent element)를 포함할 수 있음을 받아들임으로써 아주 명백한 방법으로 처리됩니다. 가장 단순한 예제는, ε² = 0인, 이중 숫자(dual number:이원수) R[ε]의 링입니다.

이것은 점 p에서 R에서 R로의 함수 f의 도함수의 대수-기하학적 관점에 의해 동기부여될 수 있습니다. 이것에 대해, 먼저 f − f(p)1 (여기서 1은 항등 함수)은 p에서 사라지는 R 위의 함수의 아이디얼(ideal) I_p에 속한다는 점에 주목하십시오. 만약 도함수 f가 p에서 사라지면, f − f(p)1은 이 아이디얼의 제곱 I_p²에 속합니다. 따라서 p에서 f의 도함수는 몫 공간(quotient space) I_p/I_p²에서 동치 클래스 [f − f(p)1], 및 (그의 값과 그의 첫 번째 도함수를 인코딩하는) f의 1-제트(1-jet)는 모든 함수 모듈로 I_p²의 공간에서 f의 동치 클래스에 의해 획득될 수 있습니다. 대수 기하학자는 이 동치 클래스를 좌표 링이 (R 모듈로 I_p 위의 함수의 몫 공간인) R이 아닌 R 모듈로 I_p² 위의 함수의 몫 공간인 R[ε]인 점 p의 두꺼워진 버전에 대한 f의 제한으로 여깁니다. 그러한 두꺼워진 점은 스킴(scheme)의 간단한 예제입니다.

Synthetic differential geometry

무한소에 대한 세 번째 접근은 합성 미분 기하학(synthetic differential geometry) 또는 매끄러운 무한소 해석학(smooth infinitesimal analysis)의 방법입니다. 이것은 무한소가 보다 암시적이고 직관적인 것을 제외하면 대수-기하학적 접근과 밀접하게 관련됩니다. 이 접근의 주된 아이디어는 집합의 카테고리(category of sets)를 토포스(topos)라는 매끄럽게 변화하는 집합의 또 다른 카테고리(category)로 대체하는 것입니다. 이 카테고리에서, 우리는 실수, 매끄러운 함수, 등을 정의할 수 있지만, 실수는 거듭제곱영 무한소를 자동으로 포함하므로, 이들은 대수 기하학적 접근에서 처럼 손으로 도입될 필요는 없습니다. 어쨌든 이 새로운 카테고리에서 논리(logic)는 집합의 카테고리의 익숙한 논리와 동일하지 않습니다: 특히, 제외된 중간의 법칙(law of the excluded middle)은 유지되지 않습니다. 이것은 집합-이론적 수학적 논증이, 만약 그들이 (예를 들어, 모순에 의한 증명(proof by contradiction)을 사용하지 않는) 구성적(constructive)이면, 매끄럽게 무한소 해석학으로 오직 확장됨을 의미합니다. 어떤 사람들은 이 단점을 긍정적인 것으로 여기는데, 왜냐하면 그것은 그들이 이용-가능한 곳마다 구성적 논증을 찾는 것을 우리에게 강요하기 때문입니다.

Nonstandard analysis

무한소에 대한 마지막 접근은 다시 실수를 확장하는 것을 포함하지만, 덜 격렬한 방식입니다. 비표준 해석학(nonstandard analysis) 접근에서, 거듭제곱영 무한소는 없고, 무한하게 큰 숫자의 역수(reciprocal)로 보일 수 있는 오직 역이 가능한 것이 있습니다. 실수의 그러한 확장은 실수의 수열의 동치 클래스를 사용하여 명시적으로 구성될 수 있고, 그래서, 예를 들어, 수열 (1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …)은 무한소를 나타냅니다. 초실수(hyperreal number)의 이 새로운 집합의 일-차 논리(first-order logic)는 보통 실수에 대해 논리와 같지만, (이-차 논리(second-order logic) 포함하는) 완비성 공리(completeness axiom)는 유지되지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 이것은 무한소를 사용하여 미적분학에 대한 기본적이고 매우 직관적인 접근을 개발하는 것으로 충분하며, 전달 원리(transfer principle)를 참조하십시오.

See also

• Infinitesimal calculus
• Differential equation
• Differential form
• Differential of a function

References

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