Differential form

미분 기하학(differential geometry) 및 텐서 미적분(tensor calculus)의 수학적(mathematical) 분야에서, 미분 형식(differential forms)은 좌표(coordinate)와 독립적인 다변수 미적분(multivariable calculus)에 대한 접근 방식입니다. 미분 형식은 곡선, 표면, 고체 및 고-차원 매니폴드(manifold)에 걸쳐 피적분(integrand)을 정의하는 통합된 접근 방식을 제공합니다. 미분 형식의 현대적인 개념은 엘리 카르탕(Élie Cartan)에 의해 개척되었습니다. 그것은 특히 기하학, 위상수학 및 물리학에서 많은 응용을 가집니다.

예를 들어, 일-변수 미적분으로부터 표현 $f (x) dx$ 는 $1$ -형식의 예제이고, $f$ 의 도메인에서 방향화된 구간 $[a, b]$ 에 걸쳐 적분(integrated)될 수 있습니다:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

비슷하게, 표현 $f (x, y, z) dx \land dy + g (x, y, z) dz \land dx + h (x, y, z) dy \land dz$ 은 방향화된(oriented) 표면(surface) $S$ 에 걸쳐 표면 적분(surface integral)을 가지는 $2$ -형식입니다:

\int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).

기호 $\land$ 는 두 미분 형식의, 때때로 웨지 곱(wedge product)이라고 불리는, 외부 곱(exterior product)을 나타냅니다. 마찬가지로, $3$ -형식 $f (x, y, z) dx \land dy \land dz$ 은 공간의 방향화된 영역에 걸쳐 적분될 수 있는 부피 원소(volume element)를 나타냅니다. 일반적으로, $k$ -형식은 $k$ -차원 방향화된 매니폴드에 걸쳐 적분될 수 있고, 좌표 미분에서 차수 $k$ 의 동차인 대상입니다.

미분 형식의 대수(algebra)는 적분화의 도메인의 방향(orientation)을 자연스럽게 반영하는 방법으로 조직됩니다. $k$ -형식을 입력으로 주었을 때, $(k + 1)$ -형식을 출력으로 생성하는 외부 도함수(exterior derivative)로 알려진 미분 형식에 대한 연산 $d$ 가 있습니다. 이 연산은 함수의 미분(differential of a function)을 확장하고, 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus), 발산 정리(divergence theorem), 그린의 정리(Green's theorem), 및 이 문맥에서 일반화된 스토크스의 정리(Stokes' theorem)로 역시 알려진, 같은 일반적인 결과의 특수한 경우의 스토크스의 정리(Stokes' theorem)를 만드는 방식으로 벡터 필드의 발산(divergence) 및 컬(curl)과 직접 관련됩니다. 더 깊은 방법으로, 이 정리는 적분화의 도메인의 토폴로지(topology)를 미분 형식 자체의 구조와 관련시킵니다; 정확한 연결은 드 람의 정리(de Rham's theorem)로 알려져 있습니다.

미분 형식의 연구에 대해 일반적인 설정은 미분-가능한 매니폴드(differentiable manifold)에 있습니다. 미분 $1$ -형식은 매니폴드 위의 벡터 필드(vector field)와 자연스럽게 이중화되고, 벡터 필드와 $1$ -형식 사이의 쌍화는 내부 곱(interior product)에 의한 임의의 미분 형식으로 확장됩니다. 그것 위에 정의된 외부 도함수와 함께 미분 형식의 대수는 두 매니폴드 사이의 매끄러운 함수 아래에서 당김(pullback)에 의해 보존됩니다. 이 특색은, 정보가 미분 형식의 관점에서 표현되는 것으로 제공되는, 기하학적으로 불변하는 정보를 풀백을 통해 한 공간에서 또 다른 공간으로 이동하는 것을 허용합니다. 예를 들어, 적분화에 대해 변수 변경의 공식(change of variables formula)은 적분이 풀백 아래에서 보존된다는 단순한 명제가 됩니다.

History

미분 형식은 선형 대수에 의해 영향을 받은 미분 기하학 분야의 일부입니다. 비록 미분의 개념이 꽤 오래되었지만 미분 형식의 대수적 조직에 대한 초기 시도는 보통 그의 1899년 논문에 대한 참조와 함께 엘리 카르탕(Élie Cartan)에게 공인됩니다.^[1] 미분 형식의 외부 대수(exterior algebra)의 일부 관점은 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)의 1844년의 연구, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (선형 확장의 이론, 수학의 새로운 가지)에 나타납니다.

Concept

미분 형식은 좌표(coordinate)에 독립적인 다변수 미적분(multivariable calculus)에 대한 접근 방식을 제공합니다.

Integration and orientation

미분 $k$ -형식은 차수 $k$ 의 방향화된 매니폴드(manifold)에 걸쳐 적분될 수 있습니다. 미분 $1$ -형식은 무한소 방향화된 길이, 또는 1-차원 방향화된 밀도를 측정하는 것으로 생각될 수 있습니다. 미분 $2$ -형식은 무한소 방향화된 넓이, 또는 2-차원 방향화된 밀도를 측정하는 것으로 생각될 수 있습니다. 그리고 이런 식으로 계속됩니다.

미분 형식의 적분화는 오직 방향화된(oriented) 매니폴드(manifolds)에서 잘-정의됩니다. 1-차원 매니폴드의 예제는 구간 $[a, b]$ 이고, 구간은 방향을 지정할 수 있습니다: 그들은 만약 $a < b$ 이면 양적으로 방향화되고, 그렇지 않으면 음적으로 방향화됩니다. 만약 $a < b$ 이면, (자연스럽게 양의 방향을 갖는) 구간 $[a, b]$ 에 걸쳐 미분 1-형식 $f (x) dx$ 의 적분은 다음입니다:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx

이것은, 반대 방향이 장착될 때, 같은 구간에 걸쳐 같은 미분 형식의 적분의 음수입니다. 즉:

\int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx

이것은 1-차원 적분에 대한 관례(conventions)에 기하학적 맥락을 제공하며, 구간의 방향이 반전될 때 그 부호가 바뀝니다. 일-변수 적분 이론에서 이것의 표준 설명은 적분의 극한이 반대 순서 ( $b < a$ )에 있을 때, 증분 $dx$ 가 적분의 방향에서 음수라는 것입니다.

보다 일반적으로, $m$ -형식은 $m$ -차원 방향화된 매니폴드에 걸쳐 적분될 수 있는 방향화된 밀도입니다. (예를 들어, $1$ -형식은 방향화된 곡선에 걸쳐 적분될 수 있으며, $2$ -형식은 방향화된 표면에 걸쳐 적분될 수 있으며, 이런 식으로 계속됩니다.) 만약 $M$ 이 방향화된 $m$ -차원 매니폴드이고, $M'$ 이 반대 방향을 갖는 같은 매니폴드이고 $ω$ 가 $m$ -형식이면, 우리는 다음을 가집니다:

\int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.

이들 관례는 피적분을 적분을 체인(chain)에 걸쳐 적분된 미분 형식으로 해석하는 것에 해당합니다. 측정 이론(measure theory)에서, 대조적으로, 우리는 피적분을 측정 $μ$ 에 관한 함수 $f$ 로 해석하고 방향의 임의의 개념없이 부분집합 $A$ 에 걸쳐 적분합니다; 우리는 부분집합 $A$ 에 걸쳐 적분을 나타내기 위해 $\textstyle {\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$ 를 씁니다. 이것은 일-차원에서 사소한 차이가 있지만, 더 높은 차원의 매니폴드에서 더 미묘해집니다; 자세한 내용에 대해 아래를 참조하십시오.

방향화된 밀도의 개념을 정확히, 따라서 미분 형식의 개념을 만드는 것은 외부 대수(exterior algebra)를 포함합니다. 좌표의 집합의 미분, $dx 1$ , ..., $dx n$ 은 모든 $1$ -형식에 대해 기저로 사용될 수 있습니다. 이들의 각각은 대응하는 좌표 방향에서 작은 변위를 측정하는 것으로 생각될 수 있는 매니폴드 위의 각 점에서 코벡터(covector)를 나타냅니다. 일반적인 $1$ -형식은 매니폴드 위의 모든 점에서 이들 미분의 선형 조합입니다:

f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},

여기서 $f k = f k (x 1, ... , x n)$ 는 모든 좌표의 함수입니다. 미분 $1$ -형식은 곡선 적분으로 방향화된 곡선을 따라 적분됩니다.

표현 $dx i \land dx j$ 은, 여기서 $i < j$ 이며, 모든 2-형식에 대해 매니폴드 위의 모든 각 점에서 기저로 사용될 수 있습니다. 이것은 $x i$ – $x j$ -평면에 평행한 무한소 방향화된 제곱으로 생각될 수 있습니다. 일반적인 2-형식은 매니폴드 위의 모든 각 점에서 이들의 선형 조합: $\sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}$ 이고, 그것은 표면 적분처럼 적분됩니다.

미분 형식에 정의된 기본 작동은 외부 곱(exterior product)입니다 (기호는 쐐기(wedge) $\land$ 입니다). 이것은 교대하는 곱이라는 점에서 벡터 미적분의 교차 곱(cross product)과 유사합니다. 예를 들어,

dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}

첫 번째 변이 $dx 1$ 이고 두 번째 변이 $dx 2$ 인 정사각형은 첫 번째 변이 $dx 2$ 이고 두 번째 변이 $dx 1$ 인 정사각형과 반대 방향을 가지는 것으로 여겨지기 때문입니다. 이것이 우리가, $i < j$ 와 함께, 표현 $dx i \land dx j$ 에 걸쳐 합하는 것이 오직 요구되는 이유입니다; 예를 들어: $a (dx i \land dx j) + b (dx j \land dx i) = (a - b) dx i \land dx j$ 입니다. 외부 곱은 벡터 미적분에서 교차 곱(cross product)이 두 변을 가리키는 벡터로부터 평행사변형의 넓이 벡터를 계산하는 것을 허용하는 것과 거의 같은 방법으로, 더 낮은 차수 것으로부터 고차 미분 형식을 만드는 것을 허용합니다. 교안적인 것은 평행 벡터의 교차 곱은, 그의 크기가 그들의 벡터에 의해 확장된 평행사변형의 넓이이며, 영인 것과 같은 방법에서 $dx i \land dx i = 0$ 임을 역시 의미합니다. 더 높은 차원에서, 만약 인덱스 $i 1$ , ..., $i m$ 의 임의의 두 개가 같으면, 그것의 가장자리 벡터가 선형적으로 독립(linearly dependent)인 평행다면체(parallelotope)에 의해 둘러싸인 "부피"가 영인 것과 같은 방법에서, $dx i 1 \land \cdot\cdot\cdot \land dx i m = 0$ 입니다.

Multi-index notation

기본 $1$ -형식의 쐐기 곱에 대해 공통적인 표기법은 소위 다중-인덱스 표기법(multi-index notation)입니다: $n$ -차원 문맥에서, $I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq n$ 에 대해, 우리는 ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{m}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ 을 정의합니다.^[2] 또 다른 유용한 표기법은, 차원 $n$ 의 공간에서, ${\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ 으로 표시되는, 길이 $k$ 의 모든 엄격하게 증가하는 다중-인덱스의 집합을 정의함으로써 얻습니다. 그런-다음 지역적으로 (좌표가 적용되는 곳마다), $\{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}$ 는 $M$ 위에 매끄러운 함수의 링 $C \infty (M)$ 에 걸쳐 모듈로 보일 때 차원 $n$ 의 매니폴드 $M$ 에서 미분 $k$ -형식의 공간을 확장합니다. 조합론적으로 ${\mathcal {J}}_{k,n}$ 의 크기를 계산함으로써, $n$ -차원 매니폴드 위에 $k$ -형식의 모듈, 및 일반적으로 $n$ -차원 벡터 공간 위에 $k$ -코벡터의 공간은 $n$ 선택 $k$ : $\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}$ 입니다. 이것은 역시 놓여있는 매니폴드의 차원보다 큰 차수의 비-영 미분 형식이 없는 것을 시연합니다.

The exterior derivative

외부 곱 외에도, 역시 외부 도함수(exterior derivative) 연산자 $d$ 가 있습니다. 미분 형식의 외부 도함수는, $f \in C \infty (M) = Ω 0 (M)$ 의 외부 도함수가 정확히 $f$ 의 도함수라는 의미에서, 함수의 미분(differential of a function)의 일반화입니다. 더 높은 형식으로 일반화될 때, 만약 $Ω = f dx I$ 가 단순한 $k$ -형식이면, 그것의 외부 도함수 $dω$ 는 계수 함수의 미분을 취함으로써 정의된 $(k + 1)$ -형식입니다:

d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

선형성을 통해 일반적인 $k$ -형식으로 확장과 함께: 만약 $\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)$ 이면, 그것의 외부 도함수는 다음입니다:

d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)

$R 3$ 에서, 호지 별 연산자(Hodge star operator)와 함께, 외부 도함수는, 비로 이 대응이, 교차 곱처럼, 더 높은 차원으로 일반화되지 않고, 일부 주의와 함께 처리되어야 할지라도, 그래디언트(gradient), 컬(curl), 및 발산(divergence)에 해당합니다.

외부 도함수 자체는 임의의 유한 숫자의 차원에 적용되고, 미분 기하학(differential geometry), 미분 위상학(differential topology), 및 물리학의 많은 영역에서 광범위한 응용을 갖는 유연하고 강력한 도구입니다. 참고로, 상기 외부 미분에 대한 정의는 국부 좌표에 대해 정의되었지만, 미분 형식의 외부 대수(exterior algebra)에 대한 차수 1의 역도함수(antiderivation)로서, 그것은 전적으로 좌표-없는 방식으로 정의될 수 있습니다. 이러한 보다 일반적인 접근 방식의 이점은 매니폴드(manifold)의 적분에 대한 자연스러운 좌표-없는 접근을 허용한다는 것입니다. 그것은 역시 매니폴드의 적분화 이론의 중심적인 결과인 (일반화된) 스토크스의 정리(Stokes' theorem)라고 불리는 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 자연적으로 일반화를 허용합니다.

Differential calculus

$U$ 를 $R n$ 에서 열린 집합(open set)으로 놓습니다. 미분 $0$ -형식 ("영-형식")은 $U$ – $C \infty (M)$ 로 표시되는 집합 위에 매끄러운 함수(smooth function) $f$ 인 것으로 정의됩니다. 만약 $v$ 가 $R n$ 에서 임의의 벡터이면, $f$ 는 방향 도함수(directional derivative) $\partial v f$ 를 가지며, 이것은 점 $p \in U$ 에서 그것의 값이 $v$ 방향에서 $f$ 의 ( $p$ 에서) 변화율인 $U$ 에서 또 다른 함수입니다.

(\partial _{v}f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+tv)\right|_{t=0}.

(이 개념은 점-별을 $v$ 가 정의에서 그 점 $p$ 에서 $v$ 를 평가함으로써 $U$ 의 벡터 필드(vector field)인 경우로 확장될 수 있습니다.)

특히, 만약 $v = e j$ 가 $j$ 번째 좌표 벡터(coordinate vector)이면, $\partial v f$ 는 $j$ 번째 좌표 함수에 관한 $f$ 의 부분 도함수(partial derivative), 즉, $\partial f / \partial x j$ 이며, 여기서 $x 1$ , $x 2$ , ..., $x n$ 는 $U$ 의 좌표 함수입니다. 바로 그 정의에 의해, 부분 도함수는 좌표의 선택에 의존합니다: 만약 새로운 좌표 $y 1$ , $y 2$ , ..., $y n$ 가 도입되면, 다음입니다:

{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.

미분 형식으로 이어지는 첫 번째 아이디어는 $\partial v f (p)$ 가 $v$ 의 선형 함수(linear function)라는 관찰입니다: 임의의 벡터 $v$ , $w$ 와 임의의 실수 $c$ 에 대해, 다음입니다:

{\begin{aligned}(\partial _{v+w}f)(p)&=(\partial _{v}f)(p)+(\partial _{w}f)(p)\\(\partial _{cv}f)(p)&=c(\partial _{v}f)(p)\end{aligned}}

각 점 p에서, 이런 $R n$ 에서 $R$ 로의 선형 맵(linear map)은 $df p$ 로 나타내고 $p$ 에서 $f$ 의 도함수(derivative) 또는 미분(differential)이라고 불립니다. 따라서 $df p (v) = \partial v f (p)$ 입니다. 전체 집합에 걸쳐 확장된, 대상 $df$ 는 $U$ 에 대한 벡터 필드를 취하는 함수로 보일 수 있고, 각 점에서 그것의 값이 함수 $f$ 의 벡터 필드를 따른 도함수인 실수-값 함수를 반환합니다. 각 $p$ 에서, 미분 $df p$ 는 실수가 아니지만, 탄젠트 벡터에 대한 선형 함수형이고, 미분 $1$ -형식의 원형적 예제임을 주목하십시오.

임의의 벡터 $v$ 가 그것의 성분(components)의 선형 조합(linear combination) $\sum v j e j$ 이므로, $df$ 는 각 $j$ 와 각 $p \in U$ 에 대해 $df p (e j)$ 에 의해 고유하게 결정되며, 이것은 단지 $U$ 에 대한 $f$ 의 부분 도함수입니다. 따라서 $df$ 는 $f$ 의 부분 도함수를 인코딩하는 방법을 제공합니다. 그것은 좌표 $x 1$ , $x 2$ , ..., $x n$ 가 $U$ 위의 자체로 함수이고, 따라서 미분 $1$ -형식 $dx 1$ , $dx 2$ , ..., $dx n$ 을 정의하는 것을 주목함으로써 디코딩될 수 있습니다. $f = x i$ 라고 놓습니다. $\partial x i / \partial x j = δ ij$ , 크로네크 델타 함수(Kronecker delta function)이므로, 그것은 다음임을 따릅니다:

df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

(*)

이 표현의 의미는 임의의 점 $p$ 에서 양쪽 변을 평가함으로써 주어집니다: 오른쪽 변에서, 그 합은 다음이 되도록 "점별로(pointwise)" 정의됩니다:

df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.

양쪽 변에 $e j$ 를 적용하면, 각 변에 대한 결과는 $p$ 에서 $f$ 의 $j$ 번째 부분 도함수입니다. $p$ 와 $j$ 는 임의적이므로, 이것은 공식 (*)을 입증합니다.

보다 일반적으로, $U$ 위의 임의의 매끄러운 함수 $g i$ 와 $h i$ 에 대해, 우리는 각 $p \in U$ 에 대해 다음에 의해 점별 미분 $1$ -형식 $α = \sum i g i dh i$ 로 정의합니다:

\alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}

임의의 미분 $1$ -형식은 이런 방법으로 발생하고, (*)을 사용함으로써, $U$ 위의 임의의 미분 $1$ -형식 $α$ 는 다음과 같이 $U$ 위의 일부 매끄러운 함수 $f i$ 에 대해 좌표에서 표현될 수 있습니다:

\alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}

.

미분 형식으로 이어지는 두 번째 아이디어는 다음 질문에서 비롯됩니다: $U$ 위의 미분 $1$ -형식 $α$ 가 주어지면, 언제 $α = df$ 를 만족하는 $U$ 위에 함수 $f$ 가 존재합니까? 위의 확장은 이 질문을 함수 $f$ 에 대해 그의 부분 도함수 $\partial f / \partial x i$ 가 주어진 함수 $f i$ 와 같은 것을 찾는 것으로 축소됩니다. $n > 1$ 에 대해, 그러한 함수가 항상 존재하는 것은 아닙니다: 임의의 매끄러운 함수 $f$ 는 다음을 만족시킵니다:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},

그래서 만약 모든 $i$ 와 $j$ 에 대해 다음이 아니면 그러한 $f$ 를 찾는 것이 불가능할 것입니다:

{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0

.

$i$ 와 $j$ 에서 왼쪽 변의 반-대칭(skew-symmetry)은, 이들 방정식이 단일 조건으로 결합될 수 있도록, 미분 $1$ -형식, 외부 곱(exterior product)에 반대칭 곱 $\land$ 을 도입할 것을 제안합니다:

\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,

여기서 $\land$ 는 다음이도록 정의됩니다:

dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.

이것은 미분 $2$ -형식의 예제입니다. 이 $2$ -형식은 $α = \sum n j =1 f j dx j$ 의 외부 도함수(exterior derivative) $dα$ 라고 불립니다. 그것은 다음에 의해 제공됩니다:

d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.

요약하면: $dα = 0$ 는 $α = df$ 을 갖는 함수 $f$ 의 존재에 대해 필요 조건입니다.

미분 $0$ -형식, $1$ -형식, 및 $2$ -형식은 미분 형식의 특별한 경우입니다. 각 $k$ 에 대해, 다른 $k$ -형식의 공간이 있으며, 이것은 함수 $f i 1 i 2 \cdot\cdot\cdot i k$ 의 모음에 대해 다음과 같은 좌표의 관점에서 표현될 수 있습니다:

\sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

.

이미 $2$ -형식에 존재했었던, 반대칭은 $i 1 < i 2 < ... < i k -1 < i k$ 인 것에 대해 인덱스의 집합으로 합을 제한하는 것을 가능하게 만듭니다.

미분 형식은 외부 곱을 사용하여 함께 곱해질 수 있고, 임의의 미분 $k$ -형식 $α$ 에 대해, $α$ 의 외부 도함수라고 불리는 미분 $(k + 1)$ -형식 $dα$ 가 있습니다.

미분 형식, 외부 곱과 외부 도함수는 좌표의 선택에 독립적입니다. 결과적으로, 그것들은 임의의 매끄러운 매니폴드(smooth manifold) $M$ 위에서 정의될 수 있습니다. 이것을 수행하는 한 가지 방법은 좌표 차트(coordinate chart)로 $M$ 을 덮고 겹치는 부분에 동의하는 각 차트의 미분 $k$ -형식의 가족이 되도록 $M$ 에 미분 $k$ -형식을 정의하는 것입니다. 어쨌든, 좌표의 독립성을 명시하는 만드는 더 많은 본질적인 정의가 있습니다.

Intrinsic definitions

$M$ 을 매끄러운 매니폴드(smooth manifold])로 놓습니다. 차수 $k$ 의 매끄러운 미분 형식은 $M$ 의 코탄젠트 번들(cotangent bundle)의 $k$ 번째 외부 거듭제곱(exterior power)의 매끄러운 섹션(smooth section)입니다. 매니폴드 $M$ 위에 모든 미분 $k$ -형식의 집합은 종종 $Ω k (M)$ 로 표시되는 벡터 공간(vector space)입니다.

미분 형식의 정의는 다음과 같이 다시-말할 수 있습니다. 임의의 점 $p \in M$ 에서, $k$ -형식 $β$ 는 다음 원소를 정의합니다:

\beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,

여기서 $T p M$ 는 $p$ 에서 $M$ 에 대한 탄젠트 공간(tangent space)이고 $T p * M$ 는 그것의 이중 공간(dual space)입니다. 이 공간은 $M$ 의 탄젠트 번들(tangent bundle)의 $k$ 번째 외부 거듭제곱의 이중 번들의 $p$ 에서 피버에 대한 당연히 동형적입니다. 즉, $β$ 는 역시 선형 함수 ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ 이며, 즉, $k$ 번째 외부 거듭제곱의 이중은 이중의 $k$ 번째 외부 거듭제곱에 대해 동형적입니다:

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}

외부 거듭제곱의 보편적인 속성에 의해, 이것은 동등하게 교대하는(alternating) 다중선형 맵(multilinear map)입니다:

\beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .

결과적으로 미분 $k$ -형식은 $M$ 의 같은 점 $p$ 에 대한 탄젠트 벡터의 임의의 $k$ -튜플에 대해 평가될 수 있습니다. 예를 들어, 미분 $1$ -형식 $α$ 는 각 점 $p \in M$ 에 $T p M$ 위의 선형 함수형(linear functional) $α p$ 를 할당합니다. ( $M$ 에 대한 리만 메트릭(Riemannian metric)에 의해 유도된) $T p M$ 에 대한 안의 곱(inner product)의 존재에서, $α p$ 는 탄젠트 벡터(tangent vector) $X p$ 를 갖는 안의 곱으로 표시될 수 있습니다. 미분 $1$ -형식은 때때로 특히 물리학 내에서 공변 벡터 필드(covariant vector fields), 코벡터 필드, 또는 "이중 벡터 필드"라고 불립니다.

외부 대수는 교대 맵을 수단으로 텐서 대수에서 삽입될 수 있습니다. 교대 맵은 다음 맵핑으로 정의됩니다:

\operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

점 $p$ 에서 텐서에 대해,

\operatorname {Alt} (\omega _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\omega _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),

여기서 $S k$ 는 $k$ 원소에서 대칭 그룹(symmetric group)입니다. 교대 맵은 대칭 2-형식에 의해 생성된 텐서 대수에서 아이디어의 코셋에 대한 상수이고, 따라서 다음 삽입으로 감소합니다:

\operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.

이 맵은 $β$ 를 랭크 $k$ 의 전체적으로 반대칭(totally antisymmetric) 공변(covariant) 텐서 필드(tensor field)로 나타냅니다. $M$ 에 대한 미분 형식은 그러한 텐서 필드를 갖는 일-대-일 대응에 있습니다.

Operations

벡터 공간 구조로부터 발생하는 스칼라 연산에 의한 덧셈과 곱셈 외에도, 미분 형식에 정의된 여러 다른 표준 연산이 있습니다. 가장 중요한 연산은 두 미분 형식의 외부 곱(exterior product), 단일 미분 형식의 외부 도함수(exterior derivative), 미분 형식과 벡터 필드의 내부 곱(interior product), 벡터 필드에 관한 미분 형식의 리 도함수(Lie derivative)와 정의된 연결을 갖는 매니폴드에 대한 벡터 필드에 관한 미분 형식의 공변 도함수(covariant derivative)입니다.

Exterior product

$k$ -형식 $α$ 와 $ℓ$ -형식 $β$ 의 외부 곱은 $α \land β$ 로 표시되는 ( $k + ℓ$ )-형식입니다. 매니폴드 $M$ 의 각 점 $p$ 에서, 형식 $α$ 와 $β$ 는 $p$ 에서 코탄젠트 공간의 외부 거듭제곱의 원소입니다. 외부 대수가 텐서 대수의 몫으로 보일 때, 외부 곱은 텐서 곱 (외부 대수를 정의하는 동등한 관계 모듈로)에 해당합니다.

외부 대수에 내재된 반대칭은 $α \land β$ 가 다중-선형 함수형으로 여길 때, 그것은 교대하는 것을 의미합니다. 어쨌든, 외부 대수가 교대 맵을 수단으로 텐서 대수의 부분공간을 삽입할 때, 텐서 곱 $α \otimes β$ 는 교대하지 않습니다. 이 상황에서 외부 곱을 설명하는 명확한 공식이 있습니다. 외부 곱은 다음입니다:

\alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).

이 설명은 명시적 계산에 대해 유용합니다. 예를 들어, 만약 $k = ℓ = 1$ 이면, $α \land β$ 는 점 $p$ 에서의 값이 $v, w \in T p M$ 에 대해 다음에 의해 정의된 교대하는 쌍선형 형식(alternating bilinear form)인 $2$ -형식입니다:

(\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)

.

외부 곱은 쌍선형입니다: 만약 $α$ , $β$ , 및 $γ$ 가 임의의 다른 형식이고, $f$ 가 임의의 매끄러운 함수이면, 다음입니다:

\alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,

\alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).

그것은 반대칭 교환적(skew commutative, 역시 graded commutative으로 알려짐)이며, 그것은 형식의 차수에 따라 달라지는 반교환성(anticommutativity)의 변형을 만족시킴을 의미합니다: 만약 $α$ 가 $k$ -형식이고 $β$ 가 $ℓ$ -형식이면, 다음입니다:

\alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .

Riemannian manifold

리만 매니폴드(Riemannian manifold), 또는 보다 일반적으로 준-리만 매니폴드(pseudo-Riemannian manifold)에서, 메트릭은 탄젠트와 코탄젠트 공간의 피버-별 동형을 정의합니다. 이것은 벡터 필드를 코벡터 필드로 및 그 반대로 변환하는 것을 가능하게 만듭니다. 역시 호지 별 연산자(Hodge star operator) $\star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)$ 와 차수가 $-1$ 이고 외부 미분 $d$ 에 인접하는 공미분(codifferential) $\delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$ 과 같은 추가적인 연산을 정의할 수 있습니다.

Vector field structures

준-리만 매니폴드에서, $1$ -형식은 벡터 필드로 식별될 수 있습니다; 벡터 필드는 문맥에 대해 혼동을 피하기 위해 여기에 나열되는 추가적인 구별되는 대수 구조를 가집니다.

첫째, 각 (코)탄젠트 공간은 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 생성하며, 여기서 그 자체와 함께 (코)벡터의 곱은 이차 형식의 값으로 주어집니다 – 해당 경우에서, 자연스러운 형식은 메트릭(metric)에 의해 유도됩니다. 이 대수는 미분 형식의 외부 대수(exterior algebra)와 구별되며, 이것은 이차 형식이 사라지는 클리퍼드 대수로 보일 수 있습니다 (왜냐하면 자체와 함께 임의의 벡터의 외부 곱은 영이기 때문입니다). 클리퍼드 대수는 따라서 외부 대수의 비-반교환적 ("양자") 변형입니다. 그들은 기하 대수(geometric algebra)에서 연구됩니다.

또 다른 대안은 벡터 필드를 도함수로 고려하는 것입니다. 이들이 생성하는 미분 연산자(differential operator)의 (비교환적) 대수는 바일 대수(Weyl algebra)이고 벡터 필드에서 대칭 대수의 비교환적 ("양자") 변형입니다.

Exterior differential complex

외부 도함수의 한 가지 중요한 속성은 $d 2 = 0$ 인 것입니다. 이것은 외부 도함수가 코체인 복소(cochain complex)를 정의한다는 것입니다:

0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.

이 복소는 드람 복소라고 불리고, 그것의 코호몰로지(cohomology)는 정의에 의해 $M$ 의 드람 코호몰로지(de Rham cohomology)입니다. 푸앵카레 보조정리(Poincaré lemma)에 의해, 드람 복소는 $Ω 0 (M)$ 에서 제외하고 지역적으로 완전(exact)입니다. $Ω 0 (M)$ 에서 커널은 $M$ 에서 지역적으로 상수 함수(locally constant function)의 공간입니다. 그러므로, 그 복소는 상수 층(sheaf) $R$ 의 분해이며, 이것은 차례로 드람의 이론의 형식을 의미합니다: 드람 코호몰로지는 $R$ 의 뭉치 코호몰로지(sheaf cohomology)를 계산합니다.

Pullback

$f : M \to N$ 가 매끄럽다고 가정합니다. $f$ 의 미분은 $M$ 과 $N$ 의 탄젠트 번들 사이의 매끄러운 맵 $df : TM \to TN$ 입니다. 이 맵은 역시 $f *$ 로 표시되고 밂(pushforward)이라고 불립니다. 임의의 점 $p \in M$ 과 임의의 $v \in T p M$ 에 대해, $T f (p) N$ 에서 잘 정의된 밂 벡터 $f * (v)$ 가 있습니다. 어쨌든, 같은 것은 벡터 필드에서 참이 아닙니다. 만약 $f$ 가 단사가 아니면, 말하자면 $q \in N$ 가 둘 이상의 이전-이미지가 있기 때문에, 벡터 필드는 $T q N$ 에서 둘 이상의 구별되는 벡터를 결정할 수 있습니다. 만약 $f$ 가 전사가 않으면, $f *$ 가 임의의 탄젠트 벡터를 전혀 결정하지 않는 점 $q \in N$ 일 것입니다. $N$ 에 대한 벡터 필드는, 정의에 의해, $N$ 의 모든 각 점에서 고유한 탄젠트 벡터를 결정하므로, 벡터 필드의 밂이 항상 존재하는 것은 아닙니다.

대조적으로, 미분 형식을 되돌리는 것은 항상 가능합니다. $N$ 에 대한 미분 형식은 각 탄젠트 공간에서 선형 함수로 보일 수 있습니다. 이 함수를 미분 $df : TM \to TN$ 로 사전구성하는 것은 $M$ 의 각 탄젠트 공간에 대한 선형 함수형을 정의하고 따라서 $M$ 에 대한 미분 형식을 정의합니다. 당김의 존재는 미분 형식 이론의 주요 특징 중 하나입니다. 그것은 드람 코호몰로지의 당김 준동형과 같은 다른 상황에서 당김 맵의 존재로 이어집니다.

공식적으로 $f : M \to N$ 를 매끄러운 것으로 놓고, $ω$ 를 $N$ 에서 매끄러운 $k$ -형식으로 놓습니다. 그런-다음, $ω$ 의 당김(pullback)이라고 불리는, $M$ 에서 미분 형식 $f * ω$ 가 있으며, 이것은 $f$ 에 상대적으로 보이는 것처럼 $ω$ 의 동작을 포착합니다. 당김을 정의하기 위해, $M$ 의 점 $p$ 와 탄젠트 벡터 $v 1$ , ..., $v k$ 를 $p$ 에서 $M$ 으로 고정합니다. $ω$ 의 당김은 다음 공식으로 정의됩니다:

(f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).

이 정의를 보는 여러 보다 추상적인 방법이 있습니다. 만약 $ω$ 가 $N$ 에서 $1$ -형식이면, $N$ 의 코탄젠트 번들 $T * N$ 의 섹션으로 보일 수 있습니다. 이중 맵을 나타내기 위해 ^∗를 사용하면, $f$ 의 미분에 대한 이중은 $(df) * : T * N \to T * M$ 입니다. $ω$ 의 당김은 다음 합성으로 정의될 수 있습니다:

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.

이것은 $M$ 의 코탄젠트 번들의 한 섹션이고 따라서 $M$ 에서 미분 $1$ -형식입니다. 완전한 일반성에서, ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ 는 미분에 대한 이중 맵의 $k$ 번째 외부 거듭제곱을 나타내는 것으로 놓습니다. 그런-다음 $k$ -형식 $ω$ 의 당김은 다음 합성입니다:

M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.

당김을 보는 또 다른 추상적인 방법은 $k$ -형식 $ω$ 를 탄젠트 공간에서 선형 함수로 보는 것에서 옵니다. 이 관점으로부터, $ω$ 는 벡터 번들(vector bundle)의 사상입니다:

{\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,

여기서 $N \times R$ 는 $N$ 에서 자명한 랭크 일 번들입니다. 다음 합성 맵은

{\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R}

$M$ 의 각 탄젠트 공간에서 선형 함수형을 정의하고, 따라서 그것은 자명한 번들 $M \times R$ 을 통해 인수화합니다. 이러한 방법으로 정의된 벡터 번들 사상 ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$ 은 $f * ω$ 입니다.

당김은 형식에 대한 모든 기본 연산을 존중합니다. 만약 $ω$ 와 $η$ 가 형식이고 $c$ 가 실수이면, 다음입니다:

{\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}

형식의 당김은 역시 좌표에서 쓸 수 있습니다. $x 1$ , ..., $x m$ 가 $M$ 에서 좌표임을 가정하고, $y 1$ , ..., $y n$ 은 $N$ 에서 좌표라고 가정하고, 이들 좌표 시스템이 모든 $i$ 에 대해 공식 $y i = f i (x 1, ..., x m)$ 에 의해 관련됨을 가정합니다. $N$ 에서 지역적으로, $ω$ 는 다음으로 쓸 수 있습니다:

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},

여기서, $i 1$ , ..., $i k$ 의 각 선택에 대해, $ω i 1 \cdot\cdot\cdot i k$ 는 $y 1$ , ..., $y n$ 의 실수-값 함수입니다. 당김의 선형성과 외부 곱과의 적합성을 사용하여, $ω$ 의 당김은 다음 공식을 가집니다:

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.

각 외부 도함수 $df i$ 는 $dx 1$ , ..., $dx m$ 의 관점에서 확장될 수 있습니다. 결과 $k$ -형식은 야코비(Jacobian) 행렬을 사용하여 쓸 수 있습니다:

f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.

여기서, ${\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}$ 는 엔트리가 ${\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}$ , $1\leq m,n\leq k$ 인 행렬의 행렬식을 나타냅니다.

Integration

미분 $k$ -형식은 방향화된 $k$ -차원 매니폴드에 걸쳐 적분될 수 있습니다. $k$ -형식이 $n > k$ 를 갖는 $n$ -차원 매니폴드에 정의될 때, $k$ -형식은 방향화된 $k$ -차원 부분-매니폴드에 걸쳐 적분될 수 있습니다. 만약 $k = 0$ 이면, 방향화된 0-차원 부분-매니폴드에 걸쳐 적분은 해당 점의 방향에 따라 점에서 평가된 피적분의 단지 합입니다. $k = 1, 2, 3, ...$ 의 다른 값은 곡선 적분, 표면 적분, 부피 적분, 등에 해당합니다. 미분 형식의 적분을 공식적으로 정의하는 여러 동등한 방법이 있으며, 그것의 모두는 유클리드 공간의 경우로 축소하는 데 의존합니다.

Integration on Euclidean space

$U$ 를 $R n$ 의 열린 부분-집합으로 놓습니다. $R n$ 에 표준 방향을 지정하고 $U$ 에 해당 방향의 제한을 지정합니다. $U$ 에서 모든 각 매끄러운 $n$ -형식 $ω$ 는 일부 매끄러운 함수 $f : R n \to R$ 에 대해 다음 형식을 가집니다:

\omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

그러한 함수는 리만 또는 르베그 의미에서 적분을 가집니다. 이것은 우리에게 $ω$ 의 적분을 $f$ 의 적분으로 정의하는 것을 허용합니다:

\int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.

방향을 고정하는 것이 이것에 대해 잘-정의하기 위해 필요합니다. 미분 형식의 반-대칭은, 말하자면, $dx 1 \land dx 2$ 의 적분이 $dx 2 \land dx 1$ 의 적분의 음수여야 함을 의미합니다. 리만과 르베그 적분은 좌표의 순서에 대한 이러한 의존성을 볼 수 없으므로, 그들은 적분의 부호를 결정되지 않은 상태로 둡니다. 방향은 이러한 모호성을 해결합니다.

Integration over chains

$M$ 을 $n$ -매니폴드로 놓고 $ω$ 를 $M$ 에서 $n$ -형식으로 놓습니다. 먼저, 유클리드 공간의 열린 부분집합에 의한 $M$ 의 매개변수화가 있음을 가정합니다. 즉, 다음 미분-동형이 존재함을 가정합니다:

\varphi \colon D\to M

여기서 $D \subseteq R n$ 입니다. $M$ 에 $φ$ 에 의해 유도된 방향을 지정하십시오. 그런-다음 (Rudin 1976)은 $M$ 에 걸쳐 $ω$ 의 적분을 $D$ 에 걸쳐 $φ * ω$ 의 적분으로 정의합니다. 좌표에서, 이것은 다음 표현을 가집니다. 좌표 $x 1, ..., x n$ 을 갖는 $M$ 의 차트를 고정하십시오. 그런-다음

\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.

$φ$ 가 다음에 의해 정의됨을 가정합니다:

\varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{n}({\mathbf {u} })).

그런-다음 적분은 다음으로 좌표에서 쓸 수 있습니다:

\int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},

여기서

{\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}

는 야코비(Jacobian)의 행렬식입니다. 야코비는 존재하는데 왜냐하면 $φ$ 는 미분-가능이기 때문입니다.

일반적으로 $n$ -매니폴드는 $R n$ 의 열린 부분집합으로 매개변수화될 수 없습니다. 그러나 그러한 매개 변수화는 항상 지역적으로 가능하므로, 임의의 매니폴드에 걸쳐 적분을 지역적 매개변수화의 모음에 걸쳐 적분의 합으로 그들을 정의함으로써 정의하는 것이 가능합니다. 게다가, $k < n$ 에 대해 $k$ -차원 부분집합의 매개변수화를 정의하는 것이 역시 가능하고, 이것은 $k$ -형식의 적분을 정의하는 것을 가능하게 만듭니다. 이를 정확하게 하기 위해, $R k$ 에서 표준 도메인 $D$ , 보통 정육면체 또는 심플렉스에 고정하는 것이 편리합니다. $k$ -체인은 매끄러운 삽입 $D \to M$ 의 공식적인 합입니다. 즉, 그것은 매끄러운 삽입의 모음이며, 그것의 각각은 정수 중복도를 할당합니다. 각 매끄러운 삽입은 $M$ 의 $k$ -차원 부분-매니폴드를 결정합니다. 만약 체인이 다음이면:

c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},

$c$ 에 걸쳐 $k$ -형식 $ω$ 의 적분은 $c$ 의 항에 걸쳐 적분의 합으로 결정됩니다:

\int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .

적분을 정의하는 것에 대한 이 접근은 직접적인 의미를 전체 매니폴드 $M$ 에 걸쳐 적분에 할당하지 않습니다. 어쨌든, 모든 각 매끄러운 매니폴드는 본질적으로 고유한 방법으로 매끄럽게 삼각분할될(triangulated) 수 있고, $M$ 에 걸쳐 적분이 삼각분할에 의해 결정된 체인에 걸쳐 적분으로 정의될 수 있기 때문에 그러한 의미를 간접적으로 할당하는 것이 여전히 가능합니다.

Integration using partitions of unity

(Dieudonne 1972)에 상세히 설명된 또 다른 접근 방식이 있으며, 이것은 $M$ 에 걸쳐 적분에 대한 의미를 직접 할당하지만, 이 접근 방식은 $M$ 의 방향을 고정함을 요구합니다. $n$ -차원 매니폴드에서 $n$ -형식 $ω$ 의 적분은 챠트에서 작업함으로써 정의됩니다. 먼저 $ω$ 가 단일 양적으로 방향화된 차트에서 지원된다고 가정합니다. 이 차트에서, $R n$ 의 열린 부분집합에 대한 $n$ -형식으로 다시 가져올 수 있습니다. 여기서, 형식은 이전과 같이 잘-정의된 리만 또는 르베그 적분을 가집니다. 변수 공식의 변경과 차트가 함께 양적으로 방향화된 것이라는 가정은 $ω$ 의 적분이 선택한 차트와 독립적임을 보장합니다. 일반적인 경우에서, 단위의 분할을 $ω$ 를 $n$ -형식의 합으로 쓰기 위해 사용하며, 그것의 각각은 단일 양적으로 방향화된 차트에서 지원되고, $ω$ 의 적분을 단위의 분할에서 각 항의 적분의 합으로 정의합니다.

이러한 보다 본질적인 접근 방식을 사용하여 방향화된 $k$ -차원 부분-매니폴드에서 $k$ -형식을 적분하는 것이 역시 가능합니다. 양식은 부분-매니폴드로 다시 당겨지며, 여기서 적분은 이전과 같이 차트를 사용하여 정의됩니다. 예를 들어, 경로 $γ (t) : [0, 1] \to R 2$ 가 주어지면, 경로에 대한 $1$ -형식을 적분하는 것은 단순히 양식을 $[0, 1]$ 에 대한 형식 $f (t) dt$ 으로 되돌리는 것이고, 이 적분은 구간에서 함수 $f (t)$ 의 적분입니다.

Integration along fibers

푸비니의 정리(Fubini's theorem)는 곱인 집합에 걸쳐 적분은 곱에서 두 인수에 걸쳐 반복된 적분으로 계산될 수 있다고 말합니다. 이것은 곱에 걸쳐 미분 형식의 적분이 마찬가지로 반복 적분으로 계산될 수 있어야 함을 시사합니다. 미분 형식의 기하학적 유연성은 이것이 단지 곱이 아니라, 마찬가지로 보다 일반적인 상황에서 가능하다는 보장합니다. 일부 가설 아래에서, 매끄러운 맵의 피버를 따라 적분하는 것이 가능하고, 푸비니의 정리의 아날로그가 이 맵이 곱으로부터 인수 중 하나로 투영된 경우입니다.

부분-매니폴드에 걸쳐 미분 형식을 적분하는 것이 방향을 고정함을 요구하기 때문에, 피버를 따라 적분하기 위한 전제 조건은 해당 섬유에 잘-정의된 방향의 존재입니다. $M$ 과 $N$ 을 각각 순수한 차원 $m$ 과 $n$ 의 두 가지 방향-가능한 매니폴드라고 놓습니다. $f : M \to N$ 이 전사 침몰이라고 가정합니다. 이것은 각 섬유 $f -1 (y)$ 가 $(m - n)$ -차원이고, $M$ 의 각 점 주변에, $f$ 가 곱으로부터 그것의 인수 중 하나 위로의 투영처럼 보이는 차트가 있음을 의미합니다. $x \in M$ 을 고정하고 $y = f (x)$ 를 정합니다. 다음임을 가정하고

{\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}

$η y$ 가 사라지지 않음을 가정합니다. (Dieudonne 1972)를 따르면, 고유한 다음이 있습니다:

\sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))

이것은 $η y$ 에 관한 $ω x$ 의 피버의 부분으로 생각될 수 있습니다. 보다 정확하게, $j : f -1 (y) \to M$ 을 포함으로 정의합니다. 그런-다음 $σ x$ 는 다음이라는 속성에 의해 정의됩니다:

\omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,

여기서

\sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M

는 다음에 대해 임의의 $(m - n)$ -코벡터입니다:

\sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.

형식 $σ x$ 가 역시 $ω x / η y$ 로 표기될 것입니다.

게다가, 고정된 $y$ 에 대해, $σ x$ 가 $x$ 에 관해 매끄럽게 변합니다. 즉, 다음

\omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M

이 투영 맵의 매끄러운 섹션임을 가정합니다;

\omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M

우리는 $ω$ 가 $f -1 (y)$ 를 따라 $M$ 에서 매끄러운 미분 $m$ -형식이라고 말합니다. 그런-다음 각 $x \in f -1 (y)$ 에서 다음을 만족하는 $f -1 (y)$ 에서 매끄러운 미분 $(m - n)$ -형식 $σ$ 가 있습니다:

\sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.

이 형식은 $ω / η y$ 으로 나타냅니다. 같은 구성은 만약 $ω$ 가 피버의 이웃에서 $m$ -형식이고, 같은 표기법이 사용되면 작동합니다. 하나의 결과는 각 피버 $f -1 (y)$ 가 방향-가능하다는 것입니다. 특히, 방향의 선택은 $M$ 에서 형성되고 $N$ 이 $f$ 의 모든 각 피버의 방향을 정의합니다.

푸비니의 정리의 아날로그는 다음과 같습니다. 이전과 마찬가지로, $M$ 과 $N$ 은 순수한 차원 $m$ 과 $n$ 의 두 가지 방향-가능한 매니폴드이고, $f : M \to N$ 은 전사 침몰입니다. $M$ 과 $N$ 의 방향을 고정하고 $f$ 의 각 섬유에 유도된 방향을 지정합니다. $θ$ 를 $M$ 에서 $m$ -형식으로 놓고, $ζ$ 를 $N$ 의 방향과 관한 거의 모든 곳에서 양수인 $N$ 에서 $n$ -형식을 놓습니다. 그런-다음, 거의 모든 각 $y \in N$ 에 대해, 형식 $θ / ζ y$ 은 $f -1 (y)$ 에서 잘-정의된 적분-가능 $m - n$ 형식입니다. 게다가, 다음에 의해 정의된 $N$ 에 대한 적분-가능 $n$ -형식이 있습니다:

y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta _{y}{\bigg )}\,\zeta _{y}.

이 형식을 다음에 의해 표시합니다:

{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta {\bigg )}\,\zeta .

그런-다음 (Dieudonne 1972)는 일반화된 푸비니 공식을 입증합니다:

\int _{M}\theta =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\theta /\zeta {\bigg )}\,\zeta .

역시 침몰의 피버를 따라 다른 차수의 형식을 적분하는 것이 가능합니다. 이전처럼 같은 가설을 가정하고, $α$ 를 $M$ 에서 컴팩트하게 지원된 $(m - n + k)$ -형식이라고 놓습니다. 그런-다음 $f$ 의 피버를 따라 $α$ 를 적분한 결과인 $N$ 에서 $k$ -형식 $γ$ 가 있습니다. 형식 $α$ 가 각 $y \in N$ 에서, $α$ 가 $y$ 에서 각 $k$ 벡터 $v$ 에 맞서 어떻게 쌍을 이루고, 해당 쌍의 값이 $α$ , $v$ , 및 $M$ 과 $N$ 의 방향에 오직 의존하는 $f -1 (y)$ 에 걸쳐 적분을 지정하여 정의됩니다. 보다 정확하게, 각 $y \in N$ 에서, 다음 내부 곱에 의해 정의된

\mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y}

다음 동형이 있습니다:

{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{y}^{*}N

.

만약 $x \in f -1 (y)$ 이면, $y$ 에서 $k$ -벡터 $v$ 는 당김에 의해 $x$ 에서 $(m - k)$ -코벡터를 결정합니다:

f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{m-k}T_{x}^{*}M.

이들 코벡터의 각각은 $α$ 에 맞서는 외부 곱을 가지므로, 다음에 의해 정의된 $f -1 (y)$ 를 따라 $M$ 에서 $(m - n)$ -형식 $β v$ 이 있습니다:

(\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.

이 형식은 $N$ 의 방향에 의존하지만 $ζ$ 의 선택에는 의존하지 않습니다. 그런-다음 $k$ -형식 $γ$ 는 다음 속성과

\langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} }(x),

$γ$ 가 매끄럽다는 것에 의해 고유하게 정의됩니다 (Dieudonne 1972). 이 형식은 역시 $α ♭$ 로 표시하고 $f$ 의 피버를 따라 $α$ 의 적분이라고 불립니다. 피버를 따른 적분은 드람 코호몰로지에서 가이슨 맵의 구성에 중요합니다.

피버에 따른 적분은 투영 공식을 만족시킵니다 (Dieudonne 1972). 만약 $λ$ 가 $N$ 에서 임의의 $ℓ$ -형식이면, 다음입니다:

\alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.

Stokes's theorem

외부 도함수와 적분 사이의 근본적인 관계는 스토크스의 정리(Stokes' theorem)에 의해 주어집니다: 만약 $ω$ 가 $M$ 에서 컴팩트 지원을 갖는 ( $n - 1$ )-형식이고 $\partialM$ 가 그것의 유도된 방향(orientation)을 갖는 $M$ 의 경계(boundary)를 나타내면, 다음입니다:

\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .

이것의 주요 결과는 "상동 체인에 걸쳐 닫힌 형식의 적분은 같다"는 것입니다: 만약 $ω$ 가 닫힌 $k$ -형식이고 $M$ 과 $N$ 이 ( $M - N$ 이 $(k + 1)$ -체인 $W$ 의 경계를 만족하는) 상동인 $k$ -체인이면, 다음입니다:

\textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }

, since the difference is the integral

\textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0

.

예를 들어, 만약 $ω = df$ 가 평면 또는 $R n$ 에서 잠재적인 함수의 도함수이면, $a$ 에서 $b$ 로의 경로에 걸쳐 $ω$ 의 적분은 경로의 선택에 의존하지 않는데 (적분은 $f (b) - f (a)$ 입니다), 왜냐하면 주어진 끝점을 갖는 다른 경로는 호모토피적(homotopic)이며, 따라서 상동이기 때문입니다 (더 약한 조건). 이 경우는 그래디언트 정리(gradient theorem)라고 불리고, 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 일반화합니다. 이 경로 독립은 윤곽 적분(contour integration)에서 매우 유용합니다.

이 정리는 역시 드람 코호몰로지(de Rham cohomology)와 체인의 호몰로지(homology) 사이의 이중성의 기초가 됩니다.

Relation with measures

(추가적인 구조없이) 일반적인 미분-가능 매니폴드에서, 미분 형식은 매니폴드의 부분집합에 걸쳐 적분될 수 없습니다; 이러한 구분은 체인 또는 방향화된 부분-매니폴드에 걸쳐 적분되는 미분 형식과 부분집합에 걸쳐 적분되는 측정 사이에 구분하는 것이 핵심입니다. 가장 간단한 예제는 구간 $[0, 1]$ 에 걸쳐 $1$ -형식 $dx$ 를 적분하려는 시도입니다. 실수 직선에서 보통 거리 (따라서 측정)를 가정하면, 이 적분은 방향에 따라 $1$ 또는 $-1$ 입니다: $\textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}$ 이지만, $\textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$ 입니다. 대조적으로, 구간에서 측정 $| dx |$ 의 적분은 모호하지 않게 1입니다 (공식적으로, 이 측정에 관한 상수 함수 $1$ 의 적분은 $1$ 입니다). 비슷하게, 좌표의 변경 아래에서 미분 $n$ -형식은 야코비 행렬식(Jacobian determinant) $J$ 에 의해 변경되지만, 측정은 야코비 행렬식의 절댓값, $| J |$ 에 의해 변경하며, 이것은 나아가서 방향 문제를 반영합니다. 예를 들어, 직선에서 맵 $x \mapsto - x$ 아래에서, 미분 형식 $dx$ 는 $- dx$ 로 되돌아갑니다; 방향이 반전되었습니다; 반면에 여기서 우리가 $| dx |$ 로 표시하는 르베그 측정(Lebesgue measure)은 $| dx |$ 로 되돌아갑니다; 그것은 변경되지 않습니다.

방향의 추가적인 데이터의 존재에서, 전체의 매니폴드에 걸쳐 또는 컴팩트 부분집합에 걸쳐 $n$ -형식 (최고-차원 형식)을 적분하는 것이 가능합니다; 전체의 매니폴드에 걸쳐 적분은 매니폴드의 기본 클래스(fundamental class), $[M]$ 에 걸쳐 형식을 적분하는 것에 해당합니다. 공식적으로, 방향의 존재에서, 우리는 매니폴드에서 밀도(densities on a manifold)를 갖는 $n$ -형식을 식별할 수 있습니다; 밀도는 차례로 측정을 정의하고, 따라서 적분될 수 있습니다 (Folland 1999, Section 11.4, pp. 361–362).

방향-가능이지만 방향화된 매니폴드 아닌 것에서, 두 가지 방향의 선택이 있습니다; 두 선택은 우리에게 컴팩트 부분집합에 걸쳐 $n$ -형식을, 부호에 의해 다른 두 선택과 함께, 적분하는 것을 허용합니다. 비-방향가능 매니폴드에서, $n$ -형식과 밀도는 절대 식별될 수 없습니다 – 특히, 임의의 최고-차원 형식은 어딘가에서 사라져야 하지만 (비-방향가능 매니폴드에 대한 부피 형식(volume form)이 없습니다), 어디에도 사라지지 않는 밀도가 있습니다 – 따라서 우리가 컴팩트 부분집합에 걸쳐 밀도를 적분할 수 있지만, 우리는 $n$ -형식을 절대 적분할 수 없습니다. 우리는 대신에 최고-차원 유사-형식(pseudoform)을 갖는 밀도를 식별할 수 있습니다.

심지어 방향의 존재에서, $k < n$ 에 대해 부분집합에 걸쳐 $k$ -형식을 적분하기 위한 의미있는 방법이 일반적으로 없는데 왜냐하면 $k$ -차원 부분집합을 방향화하기 위해 주변 방향을 사용하기 위한 일반적으로 일관된 방법이 없기 때문입니다. 기하학적으로, $k$ -차원 부분집합은 제자리에서 돌려질 수 있으며, 반대 방향을 갖는 같은 부분집합을 산출합니다; 예를 들어, 평면에서 수평 축은 180도 만큼 회전될 수 있습니다. $n$ -차원 공간에서 $k$ 개의 벡터의 집합의 그람 행렬식(Gram determinant)을 비교하며, 이것은, $n$ 개의 벡터의 행렬식과 달리, 항상 양수이며, 제곱된 숫자에 해당합니다. $k$ -부분-매니폴드의 방향은 따라서 주변 매니폴드로부터 파생될 수 없는 여분의 데이터입니다.

리만 매니폴드에서, 우리는 임의의 $k$ (정수 또는 실수)에 대해 $k$ -차원 하우스도르프 측정(Hausdorff measure)을 정의할 수 있으며, 이것은 매니폴드의 $k$ -차원 부분집합에 걸쳐 적분될 수 있습니다. 함수 곱하기 이 하우스도르프 측정은 그런-다음 $k$ -차원 부분집합에 걸쳐 적분될 수 있으며, $k$ -형식의 적분에 대한 측정-이론적 아날로그를 제공합니다. $n$ -차원 하우스도르프 측정은 위에서 처럼 밀도를 산출합니다.

Currents

분포(distribution) 또는 일반화된 함수의 미분 형식 아날로그는 흐름(current)이라고 불립니다. $M$ 에서 $k$ -흐름의 공간은 미분 $k$ -형식의 적절한 공간에 대한 이중 공간입니다. 흐름은 체인과 유사하지만 훨씬 더 유연한 적분의 일반화된 도메인의 역할을 합니다.

Applications in physics

미분 형식은 여러 중요한 물리적 문맥에서 발생합니다. 예를 들어, 맥스웰의 전자기(electromagnetism) 이론에서, 패러데이 2-형식(Faraday 2-form), 또는 전자기 필드 강도(electromagnetic field strength)는 다음과 같습니다:

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,

여기서 $f ab$ 는 전자기 필드 ${\vec {E}}$ 및 ${\vec {B}}$ 로부터 형성됩니다; 즉, $f 12 = E z / c$ , $f 23 = - B z$ , 또는 동등한 정의입니다.

이 형식은 전자기학 및 일반적인 게이지 이론(gauge theories) 둘 다가 설명될 수 있는 $U(1)$ 주요 번들(principal bundle)에서 곡률 형식(curvature form)의 특별한 경우입니다. 주요 번들에 대해 연결 형식(connection form)은 벡터 전위이며, 전형적으로 일부 게이지에서 표시될 때 $A$ 로 표시됩니다. 우리는 그때에 다음을 가집니다:

{\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.

흐름 $3$ -형식은 다음입니다:

{\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,

여기서 $j a$ 는 흐름 밀도의 네 성분입니다. (여기서 $f ab$ 대신에 $F ab$ 를 쓰는 것, 즉 대문자를 사용하고, $j a$ 대신에 $J a$ 를 쓰는 것은 관례의 문제입니다. 어쨌든, 벡터 rsp. 텐서 성분과 위에-언급된 형식은 다른 물리적 차원을 가집니다. 게다가, 국제 순수 및 응용 물리학 연합(International Union of Pure and Applied Physics)의 국제위원회의 결정에 의해, 자기 편광 벡터는 수십 년 동안 ${\vec {J}}$ 라고 불리고, 일부 출판사에 의해 $J$ , 즉, 같은 이름이 다른 양에 대해 사용됩니다.)

위에-언급된 정의를 사용하여, 맥스웰의 방정식(Maxwell's equations)은 다음으로 기하학화된 단위(geometrized units)에서 매우 간결하게 쓸 수 있습니다:

{\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}

여기서 $\star$ 는 호지 별(Hodge star) 연산자를 나타냅니다. 비슷한 고려사항이 일반적으로 게이지 이론의 가하학을 설명합니다.

패러데이 형식에 대한 이중(dual)인, $2$ -형식 ${\star }\mathbf {F}$ 은 역시 맥스웰 2-형식이라고 불립니다.

전자기학은 $U(1)$ 게이지 이론(guage theory)의 예제입니다. 여기서 리 그룹(Lie group)은 $U(1)$ , 일-차원 유니태리 그룹(unitary group)이며, 이것은 특히 아벨(abelian입니다. 양–밀스 이론(Yang–Mills theory)과 같은 게이지 이론이 있으며, 이것에서 리 그룹은 아벨이 아닙니다. 해당 경우에서, 우리는 여기서 묘사된 그들과 비슷한 관계를 얻습니다. 그러한 이론에서 필드 $F$ 의 아날로그는 연결의 곡률 형식이며, 이것은 게이지에서 리 대수(Lie algebra)-값 일-형식 $A$ 에 의해 표현됩니다. 양–밀스 필드 $F$ 는 그때에 다음에 의해 정의됩니다:

\mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .

전자기와 같은, 아벨 경우에서, $A \land A = 0$ 이지만, 이것은 일반적으로 유지되지 않습니다. 마찬가지로 필드 방정식은 게이지 그룹의 구조 방정식(structure equations)으로 인해 $A$ 와 $F$ 의 외부 곱을 포함하는 추가적인 항에 의해 수정됩니다.

Applications in geometric measure theory

복소 해석적 매니폴드에 대해 수많은 최소성 결과는 $2$ -형식에 대해 비르팅거 부등식(Wirtinger inequality)을 기반으로 합니다. 간결한 증명은 헤버트 피더러(Herbert Federer)의 고전적인 텍스트 Geometric Measure Theory에서 찾을 수 있습니다. 비르팅거 부등식은 역시 수축 기하학(systolic geometry)에서 복소 투영 공간에 대해 그로모프 부등식(Gromov's inequality for complex projective space)의 핵심 성분입니다.

Notes

^ Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332
^ Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.

References

Bachman, David (2006), A Geometric Approach to Differential Forms, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4499-4
Bachman, David (2003), A Geometric Approach to Differential Forms, arXiv:math/0306194v1, Bibcode:2003math......6194B
Cartan, Henri (2006), Differential Forms, Dover, ISBN 0-486-45010-4—Translation of Formes différentielles (1967)
Dieudonné, Jean (1972), Treatise on Analysis, vol. 3, New York-London: Academic Press, Inc., MR 0350769
Edwards, Harold M. (1994), Advanced Calculus; A Differential Forms Approach, Boston, Basel, Berlin: Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-8412-9, ISBN 978-0-8176-8411-2
Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.), ISBN 978-0-471-31716-6, provides a brief discussion of integration on manifolds from the point of view of measure theory in the last section.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
Flanders, Harley (1989) [1964], Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
Fleming, Wendell H. (1965), "Chapter 6: Exterior algebra and differential calculus", Functions of Several Variables, Addison-Wesley, pp. 205–238. This textbook in multivariate calculus introduces the exterior algebra of differential forms at the college calculus level.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X
Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Menlo Park, California: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-9021-9, standard introductory text{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
Tu, Loring W. (2008), An Introduction to Manifolds, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-0-387-48098-5
Zorich, Vladimir A. (2004), Mathematical Analysis II, Springer, ISBN 3-540-40633-6

External links

Weisstein, Eric W. "Differential form". MathWorld.
Sjamaar, Reyer (2006), Manifolds and differential forms lecture notes, a course taught at Cornell University.
Bachman, David (2003), A Geometric Approach to Differential Forms, arXiv:math/0306194, Bibcode:2003math......6194B, an undergraduate text.
Jones, Frank, Integration on manifolds (PDF)

[1] Cartan, Élie (1899), "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332

[2] Tu, Loring W. (2011). An introduction to manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC 682907530.

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