Separable polynomial
수학(mathematics)에서, 주어진 필드(field) K에 걸쳐 다항식 P(X)는 만약 그 근이 K의 대수적 클로저(algebraic closure)에서 구별되면, 즉, 구별되는 근(roots)의 개수가 다항식의 차수(degree)와 같으면 분리-가능(separable)입니다.[1]
이 개념은 제곱-없는 다항식(square-free polynomial)과 밀접한 관련이 있습니다. 만약 K가 완전 필드(perfect field)이면 두 개념은 일치합니다. 일반적으로, P(X)가 분리-가능인 것과 그것이 K를 포함하는 임의의 필드에 걸쳐 제곱-없는 것은 필요충분 조건이며, 이가 유지되는 것과 P(X)가 그것의 형식적 도함수(formal derivative) D P(X)와 서로소(coprime)인 것은 필요충분 조건입니다.
Older definition
이전 정의에서, P(X)는 만약 K[X]의 각 기약(irreducible) 인수가 현대 정의에서 분리-가능이면 분리-가능으로 고려되었습니다.[2] 이 정의에서, 분리-가능성은 필드 K에 따라 달라집니다; 예를 들어, 완전 필드(perfect field)에 걸쳐 임의의 다항식은 분리-가능으로 고려되어 왔을 것입니다. 이 정의는, 비록 그것이 갈루아 이론(Galois theory)에 편리할 수 있지만, 더 이상 사용되지 않습니다.
Separable field extensions
분리-가능 다항식은 분리-가능 확장(separable extensions)을 정의하기 위해 사용됩니다: 필드 확장(field extension) K ⊂ L이 분리-가능 확장인 것과 K에 걸쳐 대수적인 L에서 모든 각 α에 대해, K에 걸쳐 α의 최소 다항식(minimal polynomial)이 분리-가능 다항식인 것은 필요충분 조건입니다.
비-분리가능 확장(Inseparable extensions, 즉, 분리-가능이 아닌 확장)은 양수 특성(characteristic)에서만 발생할 수 있습니다.
위의 기준은 P가 기약이고 분리-가능이 아니면, D P(X) = 0이라는 빠른 결론에 도달합니다. 따라서, 우리는 K에 걸쳐 일부 다항식 Q에 대해 다음을 가져야 합니다:
- P(X) = Q(X p)
여기서 소수(prime number) p는 특성입니다.
이 단서와 함께, 다음 예제를 구성할 수 있습니다:
- P(X) = X p − T
여기서 K는 p 원소를 갖는 유한 필드(finite field)에 걸쳐 불확정 T의 유리 함수(rational functions)의 필드입니다. 여기서 우리는 P(X)가 기약이고 분리-가능이 아니라는 것을 직접적으로 입증할 수 있습니다. 이것은 실제로 비-불리가능성이 중요한 이유에 대한 전형적인 예제입니다; 기하학적 용어에서 P는 유한 필드에 걸쳐 투영 직선(projective line) 위에 매핑을 나타내며, 좌표를 p-번째 거듭제곱으로 가져옵니다. 그러한 매핑은 유한 필드의 대수적 기하학(algebraic geometry)에 토대적입니다. 다른 말로 하면, 갈루아 이론에 의해 '볼' 수 없는 해당 설정에서 덮는 것이 있습니다. (더 높은 수준의 논의에 대해 근본적 사상(Radical morphism)을 참조하십시오.)
만약 L이 다음과 같은 필드 확장이면
- K(T 1/p),
다시 말해서 P의 분할 필드(splitting field)이면, L/K는 순수하게 비-분리가능 필드 확장(purely inseparable field extension)의 예제입니다. 그것은 차수 p이지만, T 1/p이 P의 고유한 근이기 때문에 항등성 외에 K를 고정하는 자기동형(automorphism)을 가지지 않습니다. 이것은 갈루아 이론이 여기서 무너져야 함을 직접적으로 보여줍니다. 이러한 확장이 없음을 만족하는 필드는 완전(perfect)이라고 불립니다. 해당 유한 필드는 그것들의 알려진 구조에서 사후(a posteriori)를 따르는 완전입니다.
이 예제에 대해 K에 걸쳐 L의 필드의 텐서 곱이 비-영인 거듭제곱영(nilpotent) 원소를 가짐을 보여줄 수 있습니다. 이것은 비-분리가능성의 또 다른 표현입니다: 즉, 필드 위에 텐서 곱 연산은 필드의 곱인 링(ring)을 생성할 필요는 없습니다 (따라서, 교환 반단순 링이 아닙니다).
만약 P(x)가 분리가능이고, 그것의 근이 그룹(group, 필드 K의 부분그룹(subgroup))이면, P(x)는 덧셈 다항식(additive polynomial)입니다.
Applications in Galois theory
분리-가능 다항식은 갈루아 이론(Galois theory)에서 자주 발생합니다.
예를 들어, P를 정수 계수를 갖는 기약 다항식으로 놓고 p를 P의 선행 계수를 나누지 않는 소수라고 놓습니다. Q를 P의 계수를 모듈로(modulo) p로 줄임으로써 얻어지는 p 원소를 갖는 유한 필드에 걸쳐 다항식이라고 놓습니다. 그런 다음, 만약 Q가 분리-가능이면 (이는 유한 숫자를 제외한 모든 각 p에 대한 경우입니다), Q의 기약 인수의 차수는 P의 갈루아 그룹(Galois group)의 일부 순열(permutation)의 순환(cycles)의 길이입니다.
또 다른 예제: P는 위와 같고, 그룹 G에 대한 분해(resolvent) R은 그의 계수가 P의 계수에서 다항식인 다항식이며, 이는 P의 갈루아 그룹 위에 일부 정보를 제공합니다. 더 정확하게, R이 분리-가능이고 유리(rational) 근을 가지면, P의 갈루아 그룹은 G에 포함됩니다. 예를 들어, D가 P의 판별식(discriminant)이면 는 교대 그룹(alternating group)에 대한 분해입니다. 이 분해는 P가 기약이면 항상 분리-가능이지만 (특성이 2가 아니라고 가정함), 대부분의 분해는 항상 분리-가능인 것은 아닙니다.
See also
References
- ^ Pages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- ^ N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233
- Pages 240-241 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001