Domain of a function

A function

f

from

X

to

Y

. The red oval

X

is the domain of

f

.

File:Square root 0 25.svg

Graph of the real-valued square root function, f(x) = √x, whose domain consists of all nonnegative real numbers

수학(mathematics)에서, 함수(function)의 도메인(domain) 또는 출발의 집합(set of departure)은 함수의 모든 입력이 속하도록 제한되는 집합(set)입니다.^[1] 그것은 표기법 $f : X \to Y$ 에서 집합 $X$ 이고, 대안적으로 $\operatorname {dom} (f)$ 로 표시됩니다.^[2] 함수는 그것의 전체 도메인에서 정의되기 때문에, 그것의 도메인은 그것의 정의의 도메인(domain of definition)과 일치합니다.^[3] 어쨌든, 이러한 일치는 부분 함수(partial function)에 대해 더 이상 참이 아닌데, 왜냐하면 부분 함수의 정의의 도메인은 도메인의 적절한 부분집합(proper subset)이 될 수 있기 때문입니다.

도메인은 만약 $f$ 가 세-쌍 $(X, Y, G)$ 으로 정의되면 함수 $f$ 의 일부이며, 여기서 $X$ 는 $f$ 의 도메인, $Y$ 는 코도메인(codomain), 및 $G$ 는 그것의 그래프(graph)라고 불립니다.^[4]

도메인은 만약 $f$ 가 단지 그래프로 정의되면 함수 $f$ 의 일부가 아닙니다. ^[5]^[6] 예를 들어, 집합 이론(set theory)에서 함수의 도메인을 적절한 클래스(proper class) $X$ 가 되도록 허용하는 것이 때때로 편리하며, 이 경우에서 공식적으로 세-쌍 $(X, Y, G)$ 와 같은 것은 없습니다. 그러한 정의와 함께, 함수는, 비록 일부 저자가 형식 $f : X \to Y$ 에서 함수를 도입한 후에 그것을 비공식적으로 사용할지라도, 도메인을 가지지 않습니다.^[7]

예를 들어, 코사인(cosine)의 도메인은 모든 실수(real numbers)의 집합이지만, 제곱 근(square root)의 도메인은 오직 0보다 크거나 같은 숫자로 구성됩니다 (두 경우 모두에서 복소수(complex numbers)는 무시합니다).

만약 함수의 도메인이 실수의 부분집합이고 그 함수가 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서 표현되면, 도메인은 x-축 위에 표시됩니다.

Examples

잘-정의된 함수는 반드시 그것의 도메인의 모든 각 원소를 그것의 코도메인의 하나의 원소에 매핑해야 합니다. 예를 들어, 다음에 의해 정의된 함수 $f$ 는

f(x)={\frac {1}{x}}

$f(0)$ 에 대해 값을 가지지 않습니다. 따라서 모든 실수(real number)의 집합, $\mathbb {R}$ 은 그것의 도메인이 될 수 없습니다. 이것과 같은 경우에서, 함수는 $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ 위에 정의되거나, "그 틈"은 명시적으로 $f(0)$ 를 정의함으로써 "매워져야 합니다". 예를 들어, 만약 우리가 $f$ 의 정의를 다음과 같은 조각별(piecewise) 함수로 확장하면:

f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}

$f$ 는 모든 실수에 대해 정의되고, 그것의 도메인은 $\mathbb {R}$ 입니다.

임의의 함수는 그것의 도메인의 부분집합으로 제한될 수 있습니다. $g\colon A\to B$ 를 $S$ 로의 제한(restriction)은, 여기서 $S\subseteq A$ 이며, $\left.g\right|_{S}\colon S\to B$ 로 쓰입니다.

Natural domain

함수의 자연스러운 도메인 (때로는 도메인으로 축약됨)은 함수가 정의된 값의 최대 집합이며,^[8] 전형적으로 실수 이내에 있지만 때때로 마찬가지로 정수 또는 복소수 사이에 있습니다. 예를 들어, 제곱 근의 자연스러운 도메인은 실수 함수로 고려될 때 비-음의 실수입니다. 자연스러운 도메인을 고려할 때, 함수의 가능한 값의 집합은 전형적으로 그것의 치역(range)이라고 불립니다.^[9]^[8]

Category theory

카테고리 이론(Category theory)은 함수 대신 모피즘(morphisms)을 다룹니다. 모피즘은 한 대상에서 또 다른 대상으로의 화살표입니다. 모든 모피즘의 도메인은 화살표가 시작하는 대상입니다. 이러한 문맥에서, 도메인에 대한 많은 집합 이론적 아이디어는 버려져야 합니다–또는 적어도 보다 추상적으로 공식화되어야 합니다. 예를 들어, 그것의 도메인의 부분집합으로 모피즘을 제한하는 개념은 반드시 수정되어야 합니다. 자세한 것에 대해, 부분-대상(subobject)을 참조하십시오.

Other uses

단어 "도메인"은 수학의 일부 영역에서 다른 관련된 의미와 함께 사용됩니다. 토폴로지(topology)에서, 도메인은 연결된(connected) 열린 집합(open set)입니다.^[10] 실수(real) 및 복소 해석학(complex analysis)에서, 도메인은 실수(real) 또는 복소(complex) 벡터 공간의 열린(open) 연결된(connected) 부분집합입니다. 부분 미분 방정식(partial differential equation)의 연구에서, 도메인은 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$ 의 열린 연결된 부분집합이며 여기서 문제가 제기됩니다 (즉, 여기서 알려지지 않은 함수가 정의됩니다).

More common examples

실수에서 실수로의 부분함수로서, 함수 $x\mapsto {\sqrt {x}}$ 는 도메인 $x\geq 0$ 을 가집니다. 어쨌든, 만약 우리가 음수 x의 제곱근을 z² = x를 만족하는 양의 허수 부분(imaginary part)을 갖는 복소수(complex number) z로 정의하면, 함수 $x\mapsto {\sqrt {x}}$ 는 전체 실수 직선을 그것의 도메인으로 가집니다 (그러나 이제 더 큰 코도메인을 가집니다). 삼각 함수(trigonometric function) $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ 의 도메인은 형식 ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ 의 숫자가 아닌, 모든 (실 또는 복소)수의 집합입니다.

Notes

^ Codd, Edgar Frank (June 1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks" (PDF). Communications of the ACM. 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685. Retrieved 2020-04-29.
^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-28.
^ Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). A First Course in Abstract Algebra. New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 16.
^ Bourbaki 1970, p. 76
^ Bourbaki 1970, p. 77
^ Forster 2003, pp. 10–11
^ Eccles 1997, p. 91 (quote 1, quote 2); Mac Lane 1998, p. 8; Mac Lane, in Scott & Jech 1967, p. 232; Sharma 2004, p. 91; Stewart & Tall 1977, p. 89
^ ^a ^b Bourne, Murray. "Domain and Range of a Function". www.intmath.com. Retrieved 2020-08-28.
^ Rosenbaum, Robert A.; Johnson, G. Philip (1984). Calculus: basic concepts and applications. Cambridge University Press. p. 60. ISBN 0-521-25012-9.
^ Weisstein, Eric W. "Domain". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.

References

Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.

[Codd1970-1] Codd, Edgar Frank (June 1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks" (PDF). Communications of the ACM. 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685. Retrieved 2020-04-29.

[2] "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-28.

[3] Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). A First Course in Abstract Algebra. New York: Holt, Rinehart and Winston. p. 16.

[4] Bourbaki 1970, p. 76

[5] Bourbaki 1970, p. 77

[6] Forster 2003, pp. 10–11

[7] Eccles 1997, p. 91 (quote 1, quote 2); Mac Lane 1998, p. 8; Mac Lane, in Scott & Jech 1967, p. 232; Sharma 2004, p. 91; Stewart & Tall 1977, p. 89

[:0-8] Bourne, Murray. "Domain and Range of a Function". www.intmath.com. Retrieved 2020-08-28.

[9] Rosenbaum, Robert A.; Johnson, G. Philip (1984). Calculus: basic concepts and applications. Cambridge University Press. p. 60. ISBN 0-521-25012-9.

[10] Weisstein, Eric W. "Domain". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.

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