Einstein notation

수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)을 물리학(physics)으로의 응용에서, 아인슈타인 표기법은, 역시 아인슈타인 합계 관례 또는 아인슈타인 합계 표기법으로 알려져 있으며, 공식에서 인덱스된 항의 집합에 걸쳐 합계(summation)를 의미하고, 따라서 간결성을 달성하는 표기법적 관례입니다. 수학의 일부로서, 그것은 리치 계산법(Ricci calculus)의 표기법적 부분집합입니다; 어쨌든, 그것은 종종 접(tangent) 공간과 코탄젠트 공간(cotangent space) 사이를 구분하지 않는 물리학 응용에서 사용됩니다. 그것은 1916년 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)에 의해 물리학에 도입되었습니다.^[1]

Introduction

Statement of convention

이 관례에 따르면, 인덱스 변수가 단일 항(term)에 두 번 나타나고 그렇지 않으면 정의되지 않을 때 (자유와 경계 변수(Free and bound variables)를 참조), 그것은 인덱스의 모든 값에 걸쳐 해당 항의 합계를 의미합니다. 따라서 인덱스가 집합(set) ${1, 2, 3}$ 에 걸쳐 변할 수 있으면,

y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}

그 관례에 의해 다음으로 단순화됩니다:

y=c_{i}x^{i}.

위쪽 인덱스는 지수(exponents)가 아니라 좌표, 계수(coefficient), 또는 기저 벡터(basis vector)의 인덱스입니다. 즉, 이 문맥에서, $x 2$ 은 $x$ 의 제곱이 아니라 $x$ 의 두 번째 성분으로 이해되어야 합니다 (이것은 때때로 모호성으로 이어질 수 있습니다). $x i$ 에서 위쪽 인덱스 위치는 전형적으로 인덱스가 항에서 위쪽 (위첨자)와 아래쪽 (아래첨자) 위치에서 한 번 발생하기 때문입니다 (아래 § Application를 참조). 전형적으로, $(x 1 x 2 x 3)$ 는 전통적인 $(x y z)$ 와 동등합니다.

일반 상대성(general relativity)에서, 공통적인 관례는 다음과 같습니다:

그리스 알파벳(Greek alphabet)은 인덱스가 0, 1, 2, 또는 3 값을 취하는 공간과 시간 성분에 사용됩니다 (자주 사용되는 문자는 $μ, ν, \dots$ 입니다).
라틴 알파벳(Latin alphabet)은 인덱스가 1, 2, 또는 3인 오직 공간 성분에 사용됩니다 (자주 사용되는 문자는 $i, j, \dots$ 입니다).

일반적으로, 인덱스는 무한 집합(infinite set)을 포함하여 임의의 인덱싱 집합(indexing set)에 걸쳐 변할 수 있습니다. 이것은 텐서 인덱스 표기법(tensor index notation)과 밀접하게 관련되어 있지만 구별되는 기본-독립적인 추상 인덱스 표기법(abstract index notation) 사이를 구별하기 위해 사용되는 인쇄상의 유사한 관례와 혼동되어서는 안 됩니다.

합해지는 인덱스는 합계 인덱스(summation index)이며, 이 경우에서 " $i$ "입니다. 그것은 역시 더미 인덱스(dummy index)라고 불리는데 왜냐하면 어떤 기호라도 표현의 의미를 변경없이 " $i$ "를 대체할 수 있기 때문입니다 (같은 항에서 다른 인덱스 기호와 충돌하지 않는다는 조건으로 합니다).

합해지지 않은 인덱스는 자유 인덱스(free index)이고 항당 한 번만 나타나야 합니다. 만약 그러한 인덱스가 나타나면, 그것은 보통 역시 방정식에서 모든 각 항에서 나타납니다. 자유 인덱스의 예제는 방정식 $v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}$ 에서 " $i$ "이며, 방정식 ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$ 와 동등합니다.

Application

아인슈타인 표기법은 약간 다른 방법으로 적용될 수 있습니다. 전형적으로, 각 인덱스는 항에서 위쪽 (위첨자)과 아래쪽 (아래첨자) 위치에 한 번 나타납니다; 어쨌든, 그 관례는 항 내에서 임의의 반복되는 인덱스에 더 일반적으로 적용될 수 있습니다.^[2] 인덱스의 위치는 역시 벡터의 유형을 나타내는 공변과 반변(covariant and contravariant) 벡터를 처리할 때, 첫 번째 경우가 보통 적용됩니다; 공변 벡터는 오직 계수 곱의 합에 해당하는 반변 벡터로 수축될 수 있습니다. 다른 한편으로, 고정된 좌표 기저가 있을 때 (또는 좌표 벡터를 고려하지 않을 때), 우리는 오직 아래첨자를 사용하도록 선택할 수 있습니다; 아래의 § Superscripts and subscripts versus only subscripts를 참조하십시오.

Vector representations

Superscripts and subscripts versus only subscripts

공변과 반변 벡터(covariance and contravariance of vectors)의 관점에서,

위쪽 인덱스는 반변 벡터(contravariant vectors) (벡터)의 성분을 나타냅니다,
아래쪽 인덱스는 공변(covariant) 벡터 (코벡터)의 성분을 나타냅니다.

그것들은 기저의 변경(change of basis)에 관해, 가각, 반변적으로 또는 공변적으로 변환합니다.

이 사실을 인식하여, 다음 표기법은 아래에서 처럼 벡터 또는 코벡터와 그것의 성분에 대해 둘 다 같은 기호를 사용합니다:

{\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

여기서 $v$ 는 벡터이고 $v i$ 는 ( $i$ 번째 코벡터 $v$ 가 아니라) 그것의 성분이고, $w$ 는 코벡터이고 $w i$ 는 그것의 성분입니다. 기저 벡터 원소 $e_{i}$ 는 각 열 벡터이고, 코벡터 기저 원소 $e^{i}$ 는 각 행 벡터입니다. (역시 #Abstract description; 이중성(duality), 아래와 예제를 참조하십시오)

비-퇴화 형식(non-degenerate form) (동형 $V \to V *$ , 예를 들어, 리만 메트릭 또는 민코프스키 메트릭)의 존재에서, 우리는 인덱스를 올리고 내릴 수 있습니다.

기저는 (이중 기저(dual basis)를 통해) 그러한 형식을 제공하고, 따라서 유클리드 메트릭(Euclidean metric)과 고정된 직교정규 기저(orthonormal basis)를 갖는 $R n$ 에서 작업할 때, 우리는 오직 아래첨자로 작업할 수 있는 선택사항을 가집니다.

어쨌든, 만약 우리가 좌표를 변경하면, 계수가 변경되는 방법은 대상의 분산에 따라 달라지므로 분포를 무시할 수 없습니다; 벡터의 공변과 반변을 참조하십시오.

Mnemonics

위의 예제에서, 벡터는 $n \times 1$ 행렬(matrices) (열 벡터)로 표시되고, 반면에 코벡터는 $1 \times n$ 행렬 (행 공벡터)로 표시됩니다.

열 벡터 관례를 사용할 때:

"Upper indices go up to down; lower indices go left to right."
"Covariant tensors are row vectors that have indices that are below (co-row-below)."
코벡터는 행 벡터입니다: ${\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.$ 따라서 아래쪽 인덱스는 현재 있는 열을 나타냅니다.
반변 벡터는 열 벡터입니다: ${\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}$ 따라서 위쪽 인덱스 현재 있는 행을 나타냅니다.

Abstract description

아인슈타인 표기법의 장점은 단순한 표기법으로 불변(invariant) 량을 표현한다는 것입니다.

물리학에서, 스칼라(scalar)는 기저의 변환 아래에서 불변입니다. 특히, 로렌츠 스칼라(Lorentz scalar)는 로렌츠 변환(Lorentz transformation) 아래에서 불변입니다. 합계에서 개별 항은 그렇지 않습니다. 기저가 변경될 때, 벡터의 성분은 행렬에 의해 설명되는 선형 변환(linear transformation)에 의해 변경됩니다. 이것은 아인슈타인 관례를 반복되는 인덱스가 합계가 이루어져야 함을 의미하는 관례를 제안하는 것으로 어어집니다.

코벡터에 관해서, 그것들은 역행렬(inverse matrix)에 의해 변경됩니다. 이것은 위의 합, 코벡터와 결합된 선형 함수가 기저가 무엇이든 상관없이 같다는 것을 보장하기 위해 설계되었습니다.

아인슈타인 관례의 가치는 텐서 곱(tensor product)과 이중성(duality)을 사용하여 $V$ 에서 구축된 다른 벡터 공간(vector space)에 적용된다는 것입니다. 예를 들어, $V \otimes V$ , $V$ 와 자체의 텐서 곱은 형식 $e ij = e i \otimes e j$ 의 텐서로 구성된 기저를 가집니다. $V \otimes V$ 에서 임의의 텐서 $T$ 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.

$V *$ , $V$ 의 이중은 기저 $e 1$ , $e 2$ , …, $e n$ 를 가지며 다음 규칙을 준수합니다:

\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.

여기서 $δ$ 는 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. 다음일 때

\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W

행렬에서 행/열 좌표는 텐서 곱에서 위쪽/아래쪽 인덱스에 해당합니다.

Common operations in this notation

아인슈타인 표기법에서, 행렬 $A$ 의 $m$ 번째 행과 $n$ 번째 열에 대해 보통 원소 참조 $A_{mn}$ 는 ${A^{m}}_{n}$ 이 됩니다. 우리는 그런-다음 다음 연산을 아인슈타인 표기법에서 다음으로 작성할 수 있습니다.

Inner product (hence also vector dot product)

직교 기저(orthogonal basis)를 사용하여, 안의 곱은 함께 곱해져 해당하는 성분의 합입니다:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{j}v^{j}

이것은 역시 벡터에 코벡터를 곱함으로써 계산될 수 있습니다.

Vector cross product

다시 (3 차원에서) 직교 기저를 사용하여, 교차 곱은 본질적으로 성분의 순열에 걸쳐 합계를 포함합니다:

\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\varepsilon ^{i}}_{jk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}

여기서

{\varepsilon ^{i}}_{jk}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}

$ε ijk$ 는 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)이고, $δ il$ 는 일반화된 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. $ε$ 의 이 정의에 기반으로, $ε i jk$ 와 $ε ijk$ 사이에는 차이가 없지만 인덱스의 위치가 다릅니다.

Matrix-vector multiplication

열 벡터 $v j$ 를 갖는 행렬 $A ij$ 의 곱은 다음입니다:

\mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}

다음과 동등합니다:

u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}

이것은 행렬 곱셈의 특별한 경우입니다.

Matrix multiplication

두 행렬 $A ij$ 와 $B jk$ 의 행렬 곱(matrix product)은 다음입니다:

\mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}

다음과 동등합니다:

{C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}

Trace

정사각 행렬(square matrix) $A i j$ 에 대해, 대각합은 대각 원소의 합이고, 따라서 열 인덱스 $A i i$ 에 걸쳐 합입니다.

Outer product

행 벡터 $v j$ 에 의한 열 벡터 $u i$ 의 밖의 곱은 $m \times n$ 행렬 $A$ 를 산출합니다:

{A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}

$i$ 와 $j$ 가 둘의 다른 인덱스를 나타내기 때문에, 합계가 없고 인덱스는 곱셈에 의해 제거되지 않습니다.

Raising and lowering indices

텐서가 주어지면, 우리는 텐서를 메트릭 텐서(metric tensor), $g μν$ 로 수축함으로써 인덱스를 올리거나 내릴 수 있습니다. 예를 들어, 텐서 $T α β$ 를 사용하면, 우리는 인덱스를 올릴 수 있습니다:

T^{\mu \alpha }=g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }

또는 우리는 인덱스를 내릴 수 있습니다:

T_{\mu \beta }=g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }

Notes

This applies only for numerical indices. The situation is the opposite for abstract indices. Then, vectors themselves carry upper abstract indices and covectors carry lower abstract indices, as per the example in the introduction of this article. Elements of a basis of vectors may carry a lower numerical index and an upper abstract index.

References

^ Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity". Annalen der Physik. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Archived from the original (PDF) on 2006-08-29. Retrieved 2006-09-03.
^ "Einstein Summation". Wolfram Mathworld. Retrieved 13 April 2011.

Bibliography

Kuptsov, L. P. (2001) [1994], "Einstein rule", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

External links

Rawlings, Steve (2007-02-01). "Lecture 10 – Einstein Summation Convention and Vector Identities". Oxford University. Archived from the original on 2017-01-06. Retrieved 2008-07-02.
"Understanding NumPy's einsum". Stack Overflow.

[Ein1916-1] Einstein, Albert (1916). "The Foundation of the General Theory of Relativity". Annalen der Physik. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Archived from the original (PDF) on 2006-08-29. Retrieved 2006-09-03.

[wolfram-2] "Einstein Summation". Wolfram Mathworld. Retrieved 13 April 2011.

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