Element (mathematics)

수학(mathematics)에서, 집합(set)의 원소(element) 또는 구성원(member)은 해당 집합에 속하는 구별(distinct)되는 대상(objects)의 임의의 하나입니다.

Sets

$A=\{1,2,3,4\}$ 를 쓰는 것은 집합 $A$ 의 원소가 숫자 1, 2, 3 및 4임을 의미합니다. $A$ 의 원소의 집합, 예를 들어 $\{1,2\}$ 는 $A$ 의 부분집합(subset)입니다.

집합은 자체로 원소일 수 있습니다. 예를 들어, 집합 $B=\{1,2,\{3,4\}\}$ 를 생각해 보십시오. $B$ 의 원소는 1, 2, 3, 및 4가 아닙니다. 오히려, $B$ 의 오직 셋의 원소, 즉 숫자 1, 2와 집합 $\{3,4\}$ 가 있습니다.

집합의 원소는 무엇이든 될 수 있습니다. 예를 들어, $C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}$ 는 그것의 원소가 색깔 red, green 및 blue인 집합입니다.

Notation and terminology

관계(relation) "의 원소입니다"는, 역시 집합 구성원(set membership)이라고 불리며, 기호 "∈"에 의해 표시됩니다. 다음은

x\in A

"x가 A의 원소입니다"를 의미합니다.^[1]^[2] 동등한 표현은 "x가 A의 구성원입니다", "x가 A에 속합니다", "x가 A 안에 있습니다" 및 "x가 A에 놓입니다"입니다. 표헌 "A는 x를 포함합니다" 및 "A가 x를 담고 있습니다"는 역시 집합 구성원임을 의미하기 위해 사용되지만, 일부 저자는 그것들을 대신에 "x가 A의 부분집합(subset)입니다"를 의미하기 위해 사용합니다.^[3] 논리학자 조지 불로스(George Boolos)는 "contains"을 오직 구성원임에 대해 사용하고, "includes"를 오직 부분집합 관계에 대해 사용해야 한다고 강하게 주장했습니다.^[4]

관계 ∈에 대해, 전환 관계(converse relation) ∈^T는 다음으로 쓸 수 있습니다:

A\ni x,

는 "A가 x를 포함합니다"를 의미합니다.

집합 구성원임의 부정(negation)은 기호 "∉"에 의해 표시됩니다. 다음을 씁니다:

x\notin A

는 "x가 A의 원소가 아닙니다"를 의미합니다.^[1]

기호 ∈는 처음 주세페 페아노(Giuseppe Peano)에 의해, 1889년 연구 Arithmetices principia, nova methodo exposita에서 사용되었습니다.^[5] 여기서 그는 다음과 같이 씁니다:

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

이것은 다음을 의미합니다:

기호 ∈는 있습니다를 의미합니다. 따라서 a ∈ b는 a 있습니다 b로 읽습니다; …

기호 자체는 "있습니다"를 의미하는 단어 ἐστί의 첫 글자, 양식화된 그리스 소문자 엡실론(epsilon) ("ϵ")입니다.^[5]

Character information
Preview	∈		∉		∋		∌
Unicode name	ELEMENT OF		NOT AN ELEMENT OF		CONTAINS AS MEMBER		DOES NOT CONTAIN AS MEMBER
Encodings	decimal	hex	dec	hex	dec	hex	dec	hex
Unicode	8712	U+2208	8713	U+2209	8715	U+220B	8716	U+220C
UTF-8	226 136 136	E2 88 88	226 136 137	E2 88 89	226 136 139	E2 88 8B	226 136 140	E2 88 8C
Numeric character reference	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
Named character reference	&Element;, &in;, ∈, &isinv;		&NotElement;, ∉, &notinva;		&ni;, &niv;, &ReverseElement;, &SuchThat;		&notni;, &notniva;, &NotReverseElement;
LaTeX	\in		\notin		\ni		\not\ni or \notni
Wolfram Mathematica	\[Element]		\[NotElement]		\[ReverseElement]		\[NotReverseElement]

Cardinality of sets

특정 집합에서 원소의 숫자는 카디널리티(cardinality)로 알려진 속성입니다; 비공식적으로, 이것은 집합의 크기입니다.^[6] 위의 예제에서, 집합 A의 카디널리티는 4이고, 반면에 집합 B와 집합 C의 카디널리티는 둘 다 3입니다. 무한 집합은 무한 숫자의 원소를 갖는 집합이고, 반면에 유한 집합(finite set)은 유한 숫자의 원소를 갖는 집합입니다. 위의 예제는 유한 집합의 예제입니다. 무한 집합의 예제는 양의 정수의 집합 {1, 2, 3, 4, ...}입니다.

Examples

위에 정의된 집합, 즉 A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}} 및 C = {red, green, blue}를 사용하여, 다음 명제는 참입니다:

2 ∈ A
5 ∉ A
{3,4} ∈ B
3 ∉ B
4 ∉ B
Yellow ∉ C

References

^ ^a ^b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault. 2020-04-11. Retrieved 2020-08-10.
^ Weisstein, Eric W. "Element". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-10.
^ Eric Schechter (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
^ George Boolos (February 4, 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture) (Speech). Massachusetts Institute of Technology.
^ ^a ^b Kennedy, H. C. (July 1973). "What Russell learned from Peano". Notre Dame Journal of Formal Logic. 14 (3). Duke University Press: 367–372. doi:10.1305/ndjfl/1093891001. MR 0319684.
^ "Sets - Elements | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2020-08-10.