Family of sets

수학의 집합 이론(set theory) 및 관련된 분야에서, 주어진 집합(set) S의 부분집합(subset)의 모음 F는 S의 부분집합의 가족 또는 S에 걸쳐 집합의 가족이라고 합니다. 보다 일반적으로, 임의의 집합의 모음은 무엇이든지 집합의 가족 또는 집합-가족 또는 집합-시스템이라고 불립니다.

용어 "모음"은 여기에서 사용되는데, 왜냐하면, 일부 문맥에서, 집합의 가족은 임의의 지정된 구성원의 반복된 복사본을 포함하도록 허용될 수 있고,^[1]^[2]^[3] 다른 문맥에서 그것은 집합이라기보다는 적절한 클래스(proper class)를 형성할 수 있기 때문입니다.

유한 집합 S의 부분집합의 유한 가족은 역시 초월그래프(hypergraph)라고 불립니다.

Examples

거듭제곱 집합 P(S)는 S에 걸쳐 집합의 가족입니다.
집합 S의 k-부분집합 S^(k) (즉, 부분집합 원소의 숫자를 k로 갖는 S의 부분집합)은 집합의 가족을 형성합니다.
S = {a,b,c,1,2}라고 놓습니다. S에 걸쳐 집합의 가족의 예제는 (중복집합(multiset) 의미에서) F = {A₁, A₂, A₃, A₄}에 의해 제공되며, 여기서 A₁ = {a,b,c}, A₂ = {1,2}, A₃ = {1,2} 및 A₄ = {a,b,1}입니다.
모든 순서 숫자(ordinal number)의 클래스 Ord는 집합의 큰 가족입니다. 즉, 그것은 집합 자체가 아니지만 대신 적절한 클래스(proper class)입니다.

Properties

S의 부분집합의 임의의 가족은 그것이 반복된 구성원을 가지지 않으면 거듭제곱 집합 P(S)의 자체 부분집합입니다.
반복없이 집합의 임의의 가족은 모든 집합 (우주(universe))의 적절한 클래스 V의 부분클래스(subclass)입니다.
Philip Hall에 기인한 홀의 결혼 문제(Hall's marriage theorem)는 개별 대표의 시스템(system of distinct representatives)을 가지기 위한 비-빈 집합 (반복 허용됨)의 유한 가족에 대해 필요충분 조건을 제공합니다.

Related concepts

수학의 다른 영역에서 가져온 특정 유형의 대상은 순수하게 일부 유형의 대상의 집합의 모음으로 설명될 수 있다는 점에서 집합의 가족과 동등합니다:

초그래프(hypergraph)는, 역시 집합 시스템이라고 불리며, 각각 임의적인 집합일 수 있는 또 다른 초가장자리(hyperedges)의 집합과 함께 꼭짓점 집합에 의해 형성됩니다. 초그래프의 초가장자리는 집합의 가족을 형성하고, 임의의 집합의 가족은 꼭짓점으로 집합의 합집합을 가지는 초그래프로 해석될 수 있습니다.
추상적 단순 복합체(abstract simplicial complex)는 단순 복합체(simplicial complex), 면을 맞대어 연결된, 선분, 삼각형, 사면체, 및 고차원 심플렉스(simplices)의 합집합에 의해 형성된 모양의 개념의 조합론적 추상화입니다. 추상 단순 복합체에서, 각 심플렉스는 단순히 그것의 꼭짓점의 집합으로 표현됩니다. 가족에서 임의의 집합의 부분집합이 역시 가족에 속해 있는 반복없이 유한 집합의 임의의 가족은 추상적 단순 복합체를 형성합니다.
발생 구조(incidence structure)는 점의 집합, 선의 집합, 및 발생 관계라고 하는 (임의적인) 이항 관계(binary relation)로 구성되며, 어떤 점이 어떤 선에 속하는지 지정합니다. 발생 구조는 집합의 가족 (심지어 둘의 구별되는 선이 같은 점의 집합을 포함하더라도), 각 선에 속하는 점의 집합에 의해 지정될 수 있고, 집합의 임의의 가족은 이러한 방식에서 발생 구조로 해석될 수 있습니다.
이진 블록 코드(block code)는 코드단어의 집합으로 구성되며, 각각은 0과 1, 모두 같은 길이의 문자열(string)입니다. 각 코드단어 쌍이 큰 해밍 거리(Hamming distance)를 가지면, 그것은 오류-수정 코드(error-correcting code)로 사용될 수 있습니다. 블록 코드는 역시 각 코드단어를 1을 포함하는 위치의 집합으로 설명함으로써 집합의 가족으로 설명할 수 있습니다.
토폴로지적 공간(topological space)은 쌍 (X, τ)으로 구성되며 여기서 X는 집합 (점이라고 함)이고 τ는 X에 걸쳐 집합 (열린 집합이라고 함)의 가족입니다. τ는 빈 집합과 X 자체를 모두 포함해야 하고, 집합 합집합과 유한 집합 교집합 아래에 닫혀 있어야 합니다.

Special types of set families

슈페르너 가족(Sperner family)은 집합 중 어느 것도 다른 집합을 포함하지 않는 집합-가족입니다. 슈페르너의 정리(Sperner's theorem)는 슈페르너 가족의 최대 크기를 경계짓습니다.

헬리 가족(Helly family)은 빈 교집합을 갖는 최소 부분가족이 경계진 크기를 가짐을 만족하는 집합-가족입니다. 헬리의 정리(Helly's theorem)는 경계진 차원의 유클리드 공간에서 볼록 집합이 헬리 가족을 형성한다고 말합니다.

추상적 단순 복합체(abstract simplicial complex)는 아래방향-닫힌 것인 집합-가족 F입니다. 즉, F에 있는 집합의 모든 각 부분집합은 역시 F에 있습니다. 매트로이드(matroid)는 증대 속성(augmentation property)이라고 하는 추가 속성을 갖는 추상적 단순 복합체입니다.

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ -system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
λ-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Topology							(even arbitrary unions)			Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a $π$ -system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring that contains $\Omega .$ All families are assumed to be non-empty. $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}.$

Notes

^ Brualdi 2010, pg. 322
^ Roberts & Tesman 2009, pg. 692
^ Biggs 1985, pg. 89

References

Biggs, Norman L. (1985), Discrete Mathematics, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
Brualdi, Richard A. (2010), Introductory Combinatorics (5th ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), Applied Combinatorics (2nd ed.), Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

External links

Media related to Set families at Wikimedia Commons

[1] Brualdi 2010, pg. 322

[2] Roberts & Tesman 2009, pg. 692

[3] Biggs 1985, pg. 89

[1]

[2]

[3]