Field extension

수학, 특히 대수학에서, 필드 확장(field extension)은 E의 연산이 E로 제한되는(restricted) F의 연산임을 만족하는 필드(fields)의 쌍 $E\subseteq F$ 입니다. 이 경우에서, F는 E의 확장 필드이고 E는 F의 부분필드(subfield)입니다.^[1]^[2]^[3] 예를 들어, 보통의 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)의 개념 아래에서, 복소수(complex numbers)는 실수(real numbers)의 확장 필드입니다; 실수는 복소수의 부분필드입니다.

필드 확장은 대수적 숫자 이론, 및 갈루아 이론을 통한 다항식 근의 연구에서 기본이고, 대수적 기하학에서 널리 사용됩니다.

Subfield

필드(field) $L$ 의 부분필드 $K$ 는 $L$ 로부터 상속된 필드 연산에 관한 필드인 부분집합(subset) $K\subseteq L$ 입니다. 동등하게, 부분필드는 $1$ 을 포함하는 부분집합이고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 $K$ 의 비-영 원소의 역(inverse)을 취하는 연산 아래에서 닫혀 있습니다.

$1 - 1 = 0$ 이므로, 후자의 정의는 $K$ 와 $L$ 이 같은 영 원소를 가짐을 의미합니다.

예를 들어, 유리수(rational numbers)의 필드는 실수(real numbers)의 부분필드이며, 이는 그 자체로 복소수의 부분필드입니다. 보다 일반적으로, 유리수의 필드는 특성(characteristic) 0의 임의의 필드의 부분필드입니다 (또는 그것에 동형적(isomorphic)입니다).

부분필드의 특성(characteristic)은 더 큰 필드의 특성과 같습니다.

Extension field

만약 K가 L의 부분필드이면, L은 K의 필드 확장(extension field) 또는 간단히 확장(extension)이고, 이 필드의 쌍은 필드 확장(field extension)입니다. 그러한 필드 확장은 L / K로 표시됩니다 ("K에 걸쳐 L"으로 읽습니다).

만약 L이 F의 확장이며, 이는 차례로 K의 필드 확장이면, F는 L / K의 중간 필드(intermediate field, 또는 중간 확장(intermediate extension) 또는 부분확장(subextension))이라고 말합니다.

필드 확장 L / K이 주어지면, 더 큰 필드 L은 K-벡터 공간(vector space)입니다. 이 벡터 공간의 차원(dimension)은 확장의 차수(degree of the extension)라고 불리고 [L : K]에 의해 표시됩니다.

확장의 차수가 1인 것과 두 필드가 같은 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 확장은 자명한 확장(trivial extension)입니다. 차수 2와 차수 3의 확장은 각각 이차 확장(quadratic extensions)과 삼차 확장(cubic extensions)이라고 불립니다. 유한 확장(finite extension)은 유한 차수를 가지는 확장입니다.

두 개의 확장 L / K 및 M / L가 주어지면, 확장 M / K이 유한인 것과 L / K 및 M / L 둘 다는 유한인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서, 다음을 가집니다:

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

필드 확장 L / K 및 L의 부분집합 S가 주어지면, K와 S를 포함하는 L의 가장 작은 부분필드가 있습니다. 그것은 K와 S를 포함하는 L의 모든 부분필드의 교집합이고, K(S)에 의해 표시됩니다. 우리는 K(S)는 K에 걸쳐 S에 의해 생성된 필드이고, S는 K에 걸쳐 K(S)의 생성하는 집합(generating set)이라고 말합니다. $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ 이 유한일 때, 우리는 $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\})$ 대신 $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 라고 쓰고, 우리는 K(S)가 K에 걸쳐 유한하게 생성된다고 말합니다. 만약 S가 단일 원소 s로 구성되면, 확장 K(s) / K는 단수 확장(simple extension)이라고 불리고^[4]^[5] s는 확장의 원시 원소(primitive element)라고 불립니다.^[6]

K(S) 형식의 확장 필드는 종종 S를 K로의 부속물(adjunction)로부터 결과라고 말합니다.^[7]^[8]

특성(characteristic) 0에서, 모든 각 유한 확장은 단순 확장입니다. 이것은 비-영 특성의 필드에 대해 참을 유지하지 않는 원시 원소 정리(primitive element theorem)입니다.

만약 단순 확장 K(s) / K가 유한이 아니면, 필드 K(s)는 K에 걸쳐 s에서 유리 분수(rational fractions)의 필드에 동형적입니다.

Caveats

표기법 L / K는 순수하게 형식적이고 몫 링(quotient ring) 또는 몫 그룹(quotient group) 또는 임의의 다른 종류의 나눗셈의 형성을 의미하지 않습니다. 대신 슬래시는 "over"라는 단어를 표현합니다. 일부 문헌에서, 표기법 L:K가 사용됩니다.

작은 필드가 실제로 큰 필드에 포함되지 않지만, 자연스럽게 삽입되는 상황에서 필드 확장에 대해 이야기하는 것이 종종 바람직합니다. 이러한 목적을 위해, 우리는 필드 확장을 두 필드 사이의 단사(injective) 링 준동형(ring homomorphism)으로 추상적으로 정의합니다. 필드 사이의 모든 각 비-영 링 준동형은 필드가 비-자명한 적절한 아이디얼(ideals)을 소유하지 않기 때문에 단사적이므로, 필드 확장은 정확히 필드의 카테고리(category of fields)의 사상(morphisms)입니다.

이제부터는, 우리는 단사 준동형을 억제할 것이고 실제 부분필드를 다루고 있다고 가정합니다.

Examples

복소수 $\mathbb {C}$ 의 필드는 실수(real numbers) $\mathbb {R}$ 의 필드의 확장 필드이고, $\mathbb {R}$ 은 차례로 유리수 $\mathbb {Q}$ 의 필드의 확장 필드입니다. 분명하게 그런-다음, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ 는 역시 필드 확장입니다. 우리는 $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ 를 가지는데 왜냐하면 $\{1,i\}$ 는 기저이므로, 확장 $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 는 유한하기 때문입니다. 이것은 단순 필드인데 왜냐하면 $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum))이므로, 이 확장은 유한하기 때문입니다.

다음 필드는

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

$\mathbb {Q}$ 의 확장 필드이고, 역시 분명하게 단순 필드입니다. 그 차수는 2인데 왜냐하면 $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ 가 기저로 역할을 하기 때문입니다.

다음 필드는

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 와 $\mathbb {Q}$ 둘 다의 확장 필드이고, 각각 차수 2와 4의 필드입니다. 그것은 역시 단순 필드인데, 왜냐하면 다음임을 보일 수 있기 때문입니다:

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

$\mathbb {Q}$ 의 유한 확장은 역시 대수적 숫자 필드(algebraic number fields)라고 불리고 숫자 이론(number theory)에서 중요합니다. 숫자 이론에서 역시 중요한 유리수의 또 다른 확장 필드는, 비록 유한 확장은 아니지만, 소수 p에 대해 p-진수 숫자(p-adic numbers) $\mathbb {Q} _{p}$ 의 필드입니다.

주어진 다항식 f(X)에 대해 근(root)을 "생성"하기 위해 다항식 링(polynomial ring) K[X]의 몫 링(quotient ring)으로 주어진 필드 K의 확장 필드를 구성하는 것이 공통적입니다. 예를 들어 K가 x² = −1를 갖는 임의의 원소 x를 포함하지 않는다고 가정합니다. 그런-다음 다항식 $X^{2}+1$ 은 K[X]에서 기약(irreducible)되며, 결과적으로 이 다항식에 의해 생성된 아이디얼은 최대(maximal)이고, $L=K[X]/(X^{2}+1)$ 은 그것의 제곱이 −1 (즉, X의 잔여 클래스)인 원소를 포함하는 K의 확장 필드입니다.

위 구성을 반복함으로써, K[X]에서 임의의 다항식의 분해 필드(splitting field)를 구성할 수 있습니다. 이것은 주어진 다항식이 선형 인수의 곱으로 분해되는 K의 확장 필드 L입니다.

만약 p가 임의의 소수(prime number)이고 n이 양의 정수이면, 우리는 pⁿ 원소를 갖는 유한 필드(finite field) GF(pⁿ)를 가집니다; 이것은 p 원소를 갖는 유한 필드 $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 의 확장 필드입니다.

필드 K가 주어지면, K에서 계수를 갖는 변수 X에서 모든 유리 함수(rational functions)의 필드 K(X)를 고려할 수 있습니다; K(X)의 원소는 K에 걸쳐 두 다항식(polynomials)의 분수이고, 실제로 K(X)는 다항식 링 K[X]의 분수의 필드(field of fractions)입니다. 유리 분수의 이 필드는 K의 확장 필드입니다. 이 확장은 무한합니다.

리만 표면(Riemann surface) M가 주어지면, M 위에 정의된 모든 유리형 함수(meromorphic functions)의 집합은 필드이며, $\mathbb {C} (M)$ 에 의해 표시됩니다. 그것은 만약 우리가 M 위에 정의된 해당하는 상수 함수(constant function)로 모든 각 복소수를 식별한다면 $\mathbb {C}$ 의 초월적 확장 필드입니다. 보다 일반적으로, 일부 필드 K에 걸쳐 대수적 다양체(algebraic variety) V가 주어지면, V의 함수 필드(function field)는 K의 확장 필드이며, V 위에 정의된 유리 함수로 구성되고 K(V)에 의해 표시됩니다.

Algebraic extension

필드 확장 L / K의 원소 x는 만약 그것이 K에서 계수를 갖는 비-영 다항식(polynomial)의 근(root)이면 K에 걸쳐 대수적입니다. 예를 들어, ${\sqrt {2}}$ 는 유리수에 걸쳐 대수적인데, 왜냐하면 그것은 $x^{2}-2$ 의 근이기 때문입니다. 만약 L의 원소 x가 K에 걸쳐 대수적이면, x를 근으로 가지는 가장 낮은 차수의 일계수 다항식(monic polynomial)은 x의 최소 다항식(minimal polynomial)이라고 불립니다. 이 최소 다항식은 K에 걸쳐 기약(irreducible)입니다.

L의 원소 s가 대수적인 것과 단순 확장 K(s) /K가 유한 확장인 것은 필요충분 조건입니다. 이 경우에서. 확장의 차수는 최소 다항식의 차수와 같고, K-벡터 공간(vector space) K(s)의 기저는 $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1}$ 로 구성되며, 여기서 d는 최소 다항식의 차수입니다.

K에 걸쳐 대수적인 L의 원소의 집합은 L에서 K의 대수적 클로저(algebraic closure)라고 불리는 부분확장을 형성합니다. 이것은 이전 특성화로부터 결과입니다: 만약 s와 t가 대수적이면, 확장 K(s) /K와 K(s)(t) /K(s)는 유한합니다. 따라서 K(s, t) /K와 부분 확장 K(s ± t) /K, K(st) /K, 및 K(1/s) /K (s ≠ 0이면)도 유한합니다. 따라서 s ± t, st 및 1/s는 모두 대수적입니다.

대수적 확장(algebraic extension) L / K은 L의 모든 각 원소가 K에 걸쳐 대수적임을 만족하는 확장입니다. 동등하게, 대수적 확장은 대수적 원소에 의해 생성된 확장입니다. 예를 들어, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ 는 $\mathbb {Q}$ 의 대수적 확장인데, 왜냐하면 ${\sqrt {2}}$ 와 ${\sqrt {3}}$ 는 $\mathbb {Q}$ 에 걸쳐 대수적이기 때문입니다.

단순 확장이 대수적인 것과 그것이 유한인 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 확장이 대수적인 것과 그것이 유한 부분확장의 합집합인 것과 필요충분(iff) 조건이고, 모든 각 유한 확장이 대수적인 것과 필요충분 조건임을 의미합니다.

모든 각 필드 K는 대수적 클로저를 가지며, 이는 K에 걸쳐 대수적인 동형(up to)까지 K의 가장 큰 확장 필드이고, 역시 K에서 계수를 갖는 모든 각 다항식이 그 안에 근을 가짐을 만족하는 가장 작은 확장 필드입니다. 예를 들어, $\mathbb {C}$ 는 $\mathbb {R}$ 의 대수적 클로저이지만, $\mathbb {Q}$ 의 대수적 클로저는 아닌데, 왜냐하면 그것은 $\mathbb {Q}$ 에 걸쳐 대수적이 아니기 때문입니다 (예를 들어 $π$ 는 $\mathbb {Q}$ 에 걸쳐 대수적이 아닙니다).

Transcendental extension

See transcendence degree for examples and more extensive discussion of transcendental extensions.

필드 확장 L / K가 주어지면, L의 부분집합 S는 만약 K에서 계수를 갖는 비-자명한 다항식 관계가 S의 원소 중에서 존재하면 K에 걸쳐 대수적으로 독립(algebraically independent)이라고 불립니다. 대수적으로 독립 집합의 가장 큰 카디널리티는 L/K의 초월 차수(transcendence degree)라고 불립니다. L/K(S)가 대수적임을 만족하는, K에 걸쳐 대수적으로 독립, 집합 S를 찾는 것이 항상 가능합니다. 그러한 집합 S는 L/K의 초월 기저(transcendence basis)라고 불립니다. 모든 초월 기저는 확장의 초월 차수와 같은, 같은 카디널리티를 가집니다. 확장 L/K는 순수하게 초월적(purely transcendental)이라고 말하는 것과 L = K(S)임을 만족하는 L/K의 초월 기저 S가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다 . 그러한 확장은 K의 원소를 제외한 L의 모든 원소가 K에 걸쳐 초월적이라는 속성을 가지지만, 어쨌든, 순수하게 초월적이지 않은 이 속성을 갖는 확장이 있습니다—그러한 확장의 클래스는 L/K 형식을 취하며 여기서 L과 K 둘 다는 대수적으로 닫혀 있습니다. 추가적으로, 만약 L/K가 순수하게 초월적이고 S가 확장의 초월 기저이면, 반드시 L = K(S)임을 따르지는 않습니다.

예를 들어, 확장 $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q}$ 를 생각해 보십시오, 여기서 x는 $\mathbb {Q}$ 에 걸쳐 초월적입니다. 집합 $\{x\}$ 은 대수적으로 독립인데 왜냐하면 x가 초월적이기 때문입니다. 분명하게, 확장 $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ 은 대수적이며, 따라서 $\{x\}$ 는 초월 기저입니다. 그것은 전체 확장을 생성하지는 않는데 왜냐하면 ${\sqrt {x}}$ 에 대해 $x$ 에서 다항식 표현이 존재하지 않기 때문입니다. 그러나 $\{{\sqrt {x}}\}$ 가 $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$ 를 생성하는 초월 기저임을 보이는 것은 쉬우므로, 이 확장은 실제로 순수하게 초월적입니다.

Normal, separable and Galois extensions

대수적 확장 L/K는 만약 L에서 근을 가지는 K[X]에서 모든 각 기약 다항식(irreducible polynomial)이 L에 걸쳐 선형 인수로 완벽하게 인수화되면 정규(normal)라고 불립니다. 모든 각 대수적 확장 F/K는 L/K가 정규이고 그것이 이 속성으로 최소임을 만족하는 F의 확장 필드인 정규 클로저 L을 허용합니다.

대수적 확장 L/K는 K에 걸쳐 L의 모든 각 원소의 최소 다항식이 분리-가능(separable)이면, 즉, K에 걸쳐 대수적 클로저에 반복된 근을 가지지 않으면 분리-가능(separable)이라고 불립니다. 갈루아 확장(Galois extension)은 정규와 분리-가능 둘 다인 필드 확장입니다.

원시 원소 정리(primitive element theorem)의 결과는 모든 각 유한 분리-가능 확장이 원시 원소를 가진다는 것입니다 (즉, 단순 확장입니다).

임의의 필드 확장 L/K가 주어지면, 우리는 K에서 모든 x에 대해 α(x) = x를 갖는 모든 필드 자기동형(automorphisms) α: L → L로 구성된 자기동형 그룹 Aut(L/K)를 고려할 수 있습니다. 그 확장이 갈루아일 때, 이 자기동형 그룹은 확장의 갈루아 그룹(Galois group)이라고 불립니다. 갈루아 그룹이 아벨인 확장은 아벨 확장(abelian extensions)이라고 불립니다.

주어진 필드 확장 L/K에 대해, 우리는 종종 중간 필드 F (K를 포함하는 L의 부분필드)에 관심이 있습니다. 갈루아 확장과 갈루아 그룹의 중요성은 그것들이 중간 필드의 완전한 설명을 허용한다는 것입니다: 갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory)에 의해 설명된 갈루아 그룹의 부분그룹(subgroups)과 중간 필드 사이에 전단사(bijection)가 있습니다.

Generalizations

필드 확장은 링(ring)과 그 부분링(subrings) 중 하나로 구성된 링 확장(ring extensions)으로 일반화될 수 있습니다. 더 가까운 비-교환 아날로그는 중심 단순 대수(central simple algebras, CSA)입니다 – 필드에 걸쳐 링 확장, 이는 단순 대수 (필드와 마찬가지로, 비-자명한 2-측 아이디얼은 없음)이고 여기서 링의 중심이 정확히 그 필드입니다. 예를 들어, 실수의 오직 유한 필드 확장은 복소수이고, 반면 쿼터니언은 실수에 걸쳐 중심 단순 대수이고, 실수에 걸쳐 모든 CSA는 실수 또는 쿼터니언에 대한 브라우어 동치(Brauer equivalent)입니다. CSA는 아즈마야 대수(Azumaya algebras)로 더 일반화될 수 있으며, 여기서 기저 필드가 교환 지역적 링(local ring)으로 대체됩니다.

Extension of scalars

필드 확장이 주어지면, 우리는 결합된 대수적 대상 위에 "스칼라를 확장"할 수 있습니다. 예를 들어, 실수 벡터 공간이 주어지면, 복소화(complexification)를 통해 복소 벡터 공간을 생성할 수 있습니다. 벡터 공간 외에도, 다항식 또는 그룹 대수(group algebras) 및 결합된 그룹 표현(group representations)과 같은 필드에 걸쳐 정의된 결합 대수(associative algebras)에 대해 스칼라의 확장을 수행할 수 있습니다. 다항식의 스칼라의 확장은 종종 계수를 더 큰 필드의 원소인 것으로 단지 고려함으로써 암시적으로 사용되지만, 더 형식적으로 고려될 수도 있습니다. extension of scalars: applications에서 설명한 대로 스칼라의 확장은 다양한 응용을 가집니다.

Notes

^ Fraleigh (1976, p. 293)
^ Herstein (1964, p. 167)
^ McCoy (1968, p. 116)
^ Fraleigh (1976, p. 298)
^ Herstein (1964, p. 193)
^ Fraleigh (1976, p. 363)
^ Fraleigh (1976, p. 319)
^ Herstein (1964, p. 169)

References

Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

External links

"Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976, p. 293)

[2] Herstein (1964, p. 167)

[3] McCoy (1968, p. 116)

[4] Fraleigh (1976, p. 298)

[5] Herstein (1964, p. 193)

[6] Fraleigh (1976, p. 363)

[7] Fraleigh (1976, p. 319)

[8] Herstein (1964, p. 169)

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