Dimension (vector space)

수학(mathematics)에서, 벡터 공간(vector space) V의 차원(dimension)은 V의 그것의 기저 필드(field)에 걸쳐 기저(basis)의 카디널리티(cardinality, 즉, 벡터의 개수)입니다.^[1]^[2] 그것은 때때로 다른 유형의 차원(dimension)과 구별하기 위해 하멜 차원(Hamel dimension, 게오르크 하멜(Georg Hamel)의 이름을 땀) 또는 대수적 차원(algebraic dimension)이라고 불니다.

모든 각 벡터 공간에 대해, 기저가 존재하고,^[a] 벡터 공간의 모든 기저는 같은 카디널리티를 가집니다;^[b] 결과적으로, 벡터 공간의 차원은 고유하게 정의됩니다. 우리는 $V$ 가 만약 $V$ 의 차원이 유한(finite)이면 유한-차원적(finite-dimensional)이고, 차원이 무한(infinite)이면 무한-차원적(infinite-dimensional)이라고 말합니다.

필드 $F$ 에 걸쳐 벡터 공간 $V$ 의 차원은 $\dim _{F}(V)$ 로 또는 $[V:F]$ 로 작성하며, " $F$ 에 걸쳐 $V$ 의 차원"으로 읽을 수 있습니다. $F$ 가 문맥에서 유추될 수 있을 때, $\dim(V)$ 은 전형적으로 쓰입니다.

Examples

벡터 공간 $\mathbb {R} ^{3}$ 가 표준 기저(standard basis)로 다음을 가지고, $\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$ 따라서 $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3$ 입니다. 보다 일반적으로, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n$ 이고, 훨씬 더 일반적으로, 임의의 필드(field) $F$ 에 대해 $\dim _{F}(F^{n})=n$ 입니다.

복소수(complex numbers) $\mathbb {C}$ 는 실수 벡터 공간과 복소 벡터 공간 둘 다입니다; 우리는 $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ 를 가지고 $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1$ 을 가집니다. 따라서 차원은 기저 필드에 의존합니다.

차원 0을 갖는 유일한 벡터 공간은 $\{0\},$ 그것의 영 원소로만 구성되는 벡터 공간입니다.

Properties

만약 $W$ 가 $V$ 의 선형 부분공간(linear subspace)이면, $\dim(W)\leq \dim(V)$ 입니다.

두 개의 유한-차원 벡터 공간이 같음을 보여주기 위해, 다음 기준이 사용될 수 있습니다: 만약 $V$ 가 유한-차원 벡터 공간이고 $W$ 가 $\dim(W)=\dim(V)$ 를 갖는 $V$ 의 선형 부분-공간이면 $W=V$ 입니다.

공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 이 표준 기저 $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}$ 를 가지며, 여기서 $e_{i}$ 는 대응하는 항등 행렬(identity matrix)의 $i$ -번째 열입니다. 그러므로, $\mathbb {R} ^{n}$ 은 차원 $n$ 을 가집니다.

같은 차원을 갖는 $F$ 에 걸쳐 임의의 두 유한 차원 벡터 공간은 동형적(isomorphic)입니다. 그것들의 기저 사이에 임의의 전단사(bijective ) 맵은 벡터 공간 사이의 전단사 선형 맵으로 고유하게 확장될 수 있습니다. 만약 $B$ 가 일부 집합이면, $F$ 에 걸쳐 차원 $|B|$ 를 갖는 벡터 공간은 다음처럼 구성될 수 있습니다: $B$ 에서 유한하게 많은 $b$ 를 제외하고 모두에 대해 $f(b)=0$ 임을 만족하는 모든 함수 $f:B\to F$ 의 집합 $F(B)$ 를 취합니다. 이들 함수는 원했던 $F$ -벡터 공간을 얻기 위해 $F$ 의 원소를 더하고 곱할 수 있습니다.

차원에 대한 중요한 결과는 선형 맵(linear maps)에 대한 랭크-널러티 정리(rank–nullity theorem)에 의해 제공됩니다.

만약 $F/K$ 가 필드 확장(field extension)이면, $F$ 는 $K$ 에 걸쳐 특정 벡터 공간입니다. 게다가, 모든 각 $F$ -벡터 공간 $V$ 는 역시 $K$ -벡터 공간입니다. 그 차원은 다음 공식에 의해 관련됩니다: $\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$ 특히, 차원 $n$ 의 모든 각 복소 벡터 공간은 차원 $2n$ 의 실수 벡터 공간입니다.

일부 공식은 벡터 공간의 차원을 기저 필드의 카디널리티(cardinality)와 공간 자체의 카디널리티와 관련시킵니다. 만약 $V$ 가 필드 $F$ 에 걸쳐 벡터 공간이고 $V$ 의 차원이 $\dim V$ 로 표시되면:

만약 dim

V

가 유한이면

|V|=|F|^{\dim V}

입니다.

만약 dim

V

가 무한이면

|V|=\max(|F|,\dim V)

입니다.

Generalizations

벡터 공간은 매트로이드(ma troid)의 특별한 경우로 볼 수 있고, 후자에서 잘-정의된 차원의 개념이 있습니다. 모듈의 길이(length of a module)와 아벨 그룹의 랭크(rank of an abelian group) 둘 다는 벡터 공간의 차원과 유사한 여러 속성을 가지고 있습니다.

볼프강 크룰(Wolfgang Krull, 1899-1971)의 이름을 따서 지은 교환 링의 크룰 차원(Krull dimension)은 링에서 주요 아이디얼(prime ideals)의 증가하는 체인에서 엄격한 포함의 최대 숫자로 정의됩니다.

Trace

벡터 공간의 차원은 대안적으로 항등 연산자(identity operator)의 대각합(trace)으로 특성화될 수 있습니다. 예를 들어, $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2$ 입니다. 이것은 순환 정의처럼 보이지만, 그것은 유용한 일반화를 허용합니다.

첫째, 그것은 대각합을 가지지만 자연적 기저 의미가 없을 때 차원 개념의 정의를 허용합니다. 예를 들어, 맵 $\eta :K\to A$ (단위(unit)라고 하는 스칼라의 포함)과 맵 $\epsilon :A\to K$ (공단위(counit)라고 하는 대각합에 해당)을 갖는 대수(algebra) $A$ 를 가질 수 있습니다. 합성 $\epsilon \circ \eta :K\to K$ 는 "항등의 대각합"에 해당하는 스칼라 (1-차원 공간 위에 선형 연산자임)이고, 추상 대수에 대한 차원의 개념을 제공합니다. 실제로, 쌍-대수(bialgebras)에서, 이 맵은 공단위를 차원으로 나눔으로써 ( $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$ ) 정규화함으로써 얻을 수 있는 항등이어야 하므로, 이들 경우에서 차원에 해당하는 상수를 정규화합니다.

대안적으로, 무한 차원 공간 위에 연산자의 대각합을 찾는 것이 가능할 수도 있습니다; 이 경우에서 (유한) 차원이 존재하지 않더라도, (유한) 대각합이 정의되고, "연산자의 차원"의 개념을 제공합니다. 이것들은 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 "대각합 클래스(trace class) 연산자", 또는 보다 일반적으로 바나흐 공간(Banach space) 위에 핵 연산자(nuclear operators)의 표제 아래에 떨어집니다.

더 미묘한 일반화는 연산자의 가족(family)의 대각합을 일종의 "뒤틀린" 차원으로 고려하는 것입니다. 이것은 표시 이론(representation theory)에서 상당히 발생하며, 여기서 표시의 캐릭터(character)는 표시의 대각합이며, 따라서 그룹 $\chi :G\to K$ 위에 스칼라-값 함수이며, 항등원 $1\in G$ 위에 그것의 값은 표시의 차원인데, 왜냐하면 표시가 그룹에서 항등원을 항등 행렬: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V$ 으로 보내기 때문입니다. 캐릭터의 다른 값 $\chi (g)$ 는 "뒤틀린" 차원으로 볼 수 있고, 차원에 대한 명제를 캐릭터 또는 표시에 대한 명제로의 아날로그 또는 일반화를 찾을 수 있습니다. 이것의 정교한 예제는 가공할 헛소리(monstrous moonshine)의 이론에서 발생합니다: $j$ -불변은 몬스터 그룹(monster group)의 무한 차원 등급화된 표시의 등급화된 차원이고, 차원을 캐릭터로 대체하면 몬스터 그룹의 각 원소에 대해 멕케이-탐슨 급수(McKay–Thompson series)를 제공합니다.^[3]