Force

Original article: w:Force

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Force
Forces can be described as a push or pull on an object. They can be due to phenomena such as gravity, magnetism, or anything that might cause a mass to accelerate.
Common symbols	${\vec {F}}$, F, F
SI unit	newton (N)
Other units	dyne, pound-force, poundal, kip, kilopond
In SI base units	kg·m·s–2
Derivations from other quantities	F = ma (formerly P = mf)
Dimension	${\rm {{LMT}^{-2}}}$

물리학(physics)에서, 힘(force)은 질량을 갖는 대상의 움직임이 그것의 속도를 변경하도록 (예를 들어, 정지 상태에서 이동), 즉 가속하도록 하는 영향입니다. 그것은 항상 크기와 방향을 갖는 밀거나 당기는 것이 될 수 있으며, 그것을 벡터(vector) 양으로 만듭니다. 그것은 뉴턴 (N)의 SI 단위로 측정되고 기호 F (이전에는 P)로 표시됩니다.

뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's second law)의 원래 형식은 대상에 작용하는 알짜 힘이 그의 운동량(momentum)이 시간에 따라 변하는 율(rate)과 같다고 말합니다. 만약 대상의 질량이 일정하면, 이 법칙은 대상의 가속도(acceleration)가 대상에 작용하는 알짜 힘에 직접 비례하고, 알짜 힘의 방향에 있고, 대상의 질량(mass)에 반비례 함을 의미합니다.

힘과 관련된 개념으로는 다음을 포함합니다: 대상의 속도를 증가시키는 추력(thrust); 대상의 속도를 줄이는 항력(drag); 그리고 대상의 회전 속력에 변화를 일으키는 토크(torque). 연장된 몸체에서, 각 부분은 보통 인접한 부분에 힘을 가합니다; 몸체를 통한 그러한 힘의 분포는 내부의 기계적 스트레스(stress)입니다. 그러한 내부 기계적 스트레스는 힘이 서로 균형을 이루기 때문에 해당 몸체의 가속을 유발하지 않습니다. 몸체의 한 영역에 적용되는 많은 작은 힘의 분포인 압력(pressure)은 만약 불균형이 몸체를 가속하기 위한 원인이 되면 스트레스의 단순한 유형입니다. 스트레스는 보통 고체 물질의 변형(deformation) 또는 유체(fluid)에서 흐름을 유발합니다.

Development of the concept

고대의 철학자들은 정지된 물체와 움직이는 물체와 단순 기계를 연구할 때 힘의 개념을 사용했지만, 아리스토텔레스와 아르키메데스와 같은 사상가들은 힘을 이해하는 데 토대적인 오류를 가지고 있었습니다. 부분적으로 이것은 때때로 명확하지 않은 마찰(friction)의 힘에 대한 불완전한 이해고 기인하고, 결과적으로 자연 운동의 본질에 대한 부적절한 견해 때문이었습니다. 근본적인 오류는 힘은 일정한 속도에서도 운동을 유지하기 위해 필요하다는 믿음이었습니다. 운동과 힘에 대한 이전의 대부분의 오해는 결국 갈릴레오 갈릴레이와 아이작 뉴턴 경에 의해 수정되었습니다. 그의 수학적 통찰력으로, 아이작 뉴턴 경은 거의 300년 동안 개선되지 않은 운동의 법칙(laws of motion)을 형식화했습니다. 20세기 초, 아인슈타인은 빛의 속력의 근처에서 증가하는 운동량을 갖는 물체에 대한 힘의 작용을 정확하게 예측하고, 중력과 관성(inertia)에 의해 생성되는 힘에 대한 통찰력을 제공하는 상대성 이론(theory of relativity)을 개발했습니다.

입자를 빛의 속력에 가깝게 가속할 수 있는 양자 역학(quantum mechanics)과 기술에 대한 현대적인 통찰력과 함께, 입자 물리학(particle physics)은 원자보다 작은 입자 사이의 힘을 설명하기 위한 표준 모델(Standard Model)을 고안해 왔습니다. 표준 모델은 게이지 보손(gauge bosons)이라고 불리는 교환된 입자가 힘을 방출하고 흡수하는 근본적인 수단이라고 예측합니다. 네 가지 주요 상호 작용만 알려져 있습니다: 강도 감소 순서대로, 그것들은: 강력, 전자기력, 약력, 및 중력입니다. 1970년대와 1980년대 동안 이루어진 높은-에너지 입자 물리학 관찰은 약력과 전자기력이 보다 근본적인 전자약한(electroweak) 상호작용의 표현임을 확인했습니다.

Pre-Newtonian concepts

See also: Aristotelian physics and Theory of impetus

고대부터, 힘의 개념은 각 단순 기계(simple machines)의 기능화에 통합된 것으로 인식되어 왔습니다. 단순 기계에 의해 제공되는 기계적 이점(mechanical advantage)은 같은 양의 일(work)에 대해 더 먼 거리에 작용하는 힘과 교환하여 더 적은 힘을 사용할 수 있도록 합니다. 힘의 특성에 대한 분석은 궁극적으로 유체에 내재된 부력(buoyant forces)을 공식화한 것으로 특히 유명한 아르키메데스의 연구에서 절정에 달했습니다.

Aristotle famously described a force as anything that causes an object to undergo "unnatural motion"

아리스토텔레스는 아리스토텔레스 우주론(Aristotelian cosmology)의 중요한 부분으로서 힘의 개념에 대한 철학적 토론을 제공했습니다. 아리스토텔레스의 관점에서, 지구는 그 안의 서로 다른 "자연적인 장소"에서 안식하게 되는 네 가지 원소(elements)를 포함하고 있습니다. 아리스토텔레스는 주로 흙과 물의 원소로 구성된 지구 위의 움직이지 않는 물체는 땅 위의 자연적인 위치에 있으며 그대로 두면 그대로 있을 것이라고 믿었습니다. 그는 "자연스러운 움직임"으로 이어지는 "자연스러운 위치" (예를 들어, 무거운 물체가 떨어지는 경우)를 찾는 물체의 타고난 경향과 지속적인 힘의 작용이 필요한 부자연스럽거나 강제적인 움직임 사이를 구별했습니다. 수레를 계속 움직이는 데 필요한 힘의 지속적인 적용과 같이 물체가 어떻게 움직이는지에 대한 일상적인 경험을 기반으로 하는 이 이론은 화살의 비행과 같은 발사체의 동작을 설명하는 개념적 문제가 있었습니다. 궁수가 발사체를 움직이는 곳은 비행의 시작 점이었고, 발사체가 공중을 항해하는 동안에는 발사체에 식별 가능한 유효 원인이 작용하지 않았습니다. 아리스토텔레스는 이 문제를 인식하고 발사체의 경로를 통해 이동된 공기가 발사체를 목표물까지 운반한다고 제안했습니다. 이 설명은 일반적으로 장소의 변화를 위해 공기와 같은 연속체를 요구합니다.

아리스토텔레스 물리학(Aristotelian physics)은 6세기에 John Philoponus에 의해 처음으로 중세 과학에서 비판에 직면하기 시작했습니다.

아리스토텔레스 물리학의 결점은 17세기 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)의 연구 전까지 완전히 수정되지 않았으며, 그는 강제로 움직이는 물체가 타고난 추진력(impetus)을 지니고 있다는 중세 후기의 생각에 영향을 받았습니다. 갈릴레오는 아리스토텔레스의 운동 이론이 틀렸음을 입증하기 위해 돌과 포탄을 모두 경사면 아래로 굴리는 실험을 구성했습니다. 그는 물체가 질량과 무관한 정도까지 중력에 의해 가속된다는 것을 보여주었고 물체는 예를 들어 마찰(friction)과 같은 힘이 작용하지 않은 한 속도(velocity)를 유지한다고 주장했습니다.

17세기 초, 뉴턴의 Principia 이전에, "힘" (Latin: vis)이라는 용어는 많은 물리적 및 비-물리적 현상, 예를 들어 점의 가속도에 대해 적용되었습니다. 라이프니츠는 점 질량과 속도의 제곱의 곱을 vis viva (살아 있는 힘)라고 이름지었습니다. 현대의 힘 개념은 뉴턴의 vis motrix (가속하는 힘)에 해당합니다.

Newtonian mechanics

Main article: Newton's laws of motion

아이작 뉴턴 경은 관성(inertia)과 힘의 개념을 사용하여 모든 물체의 운동을 설명했고, 그렇게 함으로써 그는 물체가 특정한 보존 법칙(conservation laws)을 따른다는 것을 발견했습니다. 1687년에, 뉴턴은 그의 논문 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica를 발표했습니다. 이 연구에서, 뉴턴은 오늘날까지 물리학에서 힘을 설명하는 세 가지 운동 법칙을 제시했습니다.

First law

Main article: Newton's first law

뉴턴의 첫 번째 운동의 법칙은 물체가 외부 알짜 힘(net force, 결과 힘)이 작용하지 않은 한 일정한 속도의 상태로 계속 움직인다는 것입니다. 이 법칙은 일정한 속도가 알짜 힘의 부족과 관련이 있다는 갈릴레오의 통찰을 확장한 것입니다 (이에 대한 자세한 설명은 아래를 참조하십시오). 뉴턴은 아리스토텔레스의 "자연적 정지 상태"라는 아이디어 대신에 질량을 갖는 모든 각 물체는 근본적인 평형 "자연 상태"로 기능하는 타고난 관성(inertia)을 가지고 있다고 제안했습니다. 즉, 뉴턴의 경험적 첫 번째 법칙은 물체를 일정한 속도로 계속 움직이기 위해 알짜 힘이 필요하다는 직관적인 아리스토텔레스의 믿음과 모순됩니다. 정지 상태를 비-영 상수 속도와 물리적으로 구분할 수 없게 함으로써, 뉴턴의 첫 번째 법칙은 관성과 상대 속도(relative velocities)의 개념을 직접 연결합니다. 특히, 물체가 서로 다른 속도로 움직이는 시스템에서, 어떤 물체가 "움직이고" 있고 어떤 물체가 "정지" 상태인지 판단하는 것이 불가능합니다. 물리학의 법칙은 모든 각 참조의 관성 프레임(inertial frame of reference), 즉, 갈릴레이 변환(Galilean transformation)과 관련된 모든 프레임에서 같습니다.

예를 들어, 움직이는 차량을 일정한 속도(velocity)로 여행하는 동안, 물리학의 법칙은 그 움직임의 결과로 변경되지 않습니다. 만약 차 안에 탄 사람이 공을 위로 던지면, 그 사람은 공이 수직으로 오르내리는 것을 관찰할 수 있고 차량이 움직이는 방향으로 힘을 가할 필요가 없습니다. 움직이는 차량이 지나가는 것을 관찰하는 또 다른 사람은 공이 차량의 움직임과 같은 방향으로 곡선 포물선 경로(parabolic path)를 따라가는 것을 관찰할 것입니다. 차량이 움직이는 방향으로 일정한 속도와 관련된 공의 관성은 공이 위로 던져졌다가 다시 떨어지는 경우에도 계속 앞으로 움직이도록 합니다. 차 안에 있는 사람의 관점에서 볼 때, 차와 차 안의 모든 것은 정지 상태입니다: 차의 반대 방향으로 일정한 속력으로 움직이는 외부 세계입니다. 정지해 있는 차량인지 정지해 있는 외부 세계 인지를 구분할 수 있는 실험은 없기 때문에, 두 상황은 물리적으로 비-구분가능(physically indistinguishable)인 것으로 고려됩니다. 따라서 관성은 정지 상태와 마찬가지로 일정한 속도 운동에도 동일하게 적용됩니다.

Though Sir Isaac Newton's most famous equation is
${\vec {F}}=m{\vec {a}}$, he actually wrote down a different form for his second law of motion that did not use differential calculus

Second law

Main article: Newton's second law

뉴턴의 두 번째 법칙에 대한 현대적인 설명은 벡터 방정식입니다: $${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}},$$ 여기서 ${\vec {p}}$는 시스템의 운동량(momentum)이고, ${\vec {F}}$는 알짜 (벡터 합) 힘입니다. 만약 물체가 평형 상태에 있으면, 정의에 의해 알짜 힘은 영입니다 (그럼에도 불구하고 균형-잡힌 힘이 존재할 수 있습니다). 반대로, 두 번째 법칙은 물체에 작용하는 불균형한 힘이 있으면 시간이 지남에 따라 물체의 운동량이 변하게 된다는 것입니다.

운동량(momentum)의 정의에 의해,$${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left(m{\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}},$$ 여기서 m은 질량(mass)이고 ${\vec {v}}$는 속도(velocity)입니다.

만약 뉴턴의 두 번째 법칙이 일정한 질량(constant mass)의 시스템에 적용되면, m은 미분 연산자 외부로 이동될 수 있습니다. 그 방정식은 그런-다음 다음과 같이 됩니다: $${\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.$$ 가속도(acceleration)의 정의를 치환함으로써, 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's second law)의 대수적 버전이 도출됩니다: $${\vec {F}}=m{\vec {a}}.$$ 뉴턴은 위의 축소된 형식으로 공식을 명시적으로 언급하지 않았습니다.

뉴턴의 두 번째 법칙은 힘에 대한 가속도의 직접 비례와 질량에 대한 가속도의 역 비례를 주장합니다. 가속도는 운동학적(kinematic) 측정을 통해 정의할 수 있으며, 이는 고급 물리학에서 참조 프레임(reference frame) 분석을 통해 잘-설명됩니다. 일반 상대성(General relativity)은 공간-시간(space-time)과 질량 사이의 등가성을 제공하지만, 양자 중력(quantum gravity)에 대한 일관된 이론이 없기 때문에, 이 연결이 마이크로-스케일과 어떻게 관련되는지 여부가 불분명합니다. 약간의 정당성과 함께, 뉴턴의 두 번째 법칙은 법칙을 상등으로 작성함으로써 질량의 양적 정의로 받아들일 수 있습니다; 그런-다음 힘과 질량의 상대적 단위가 고정됩니다.

일부 교과서에서는 뉴턴의 두 번째 법칙을 힘의 정의로 사용하지만, 다른 교과서에서는 이를 폄하했습니다. 힘의 개념에 대한 보다 명확한 정의를 추구한 저명해 온 물리학자, 철학자, 및 수학자에는 Ernst Mach와 Walter Noll이 포함됩니다.

뉴턴의 두 번째 법칙은 힘의 강도를 측정하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 행성 궤도의 가속도와 함께 행성의 질량에 대한 지식을 통해 과학자들은 행성의 중력을 계산할 수 있습니다.

Third law

Main article: Newton's third law

한 물체가 다른 물체에 힘을 가할 때마다, 후자는 동시에 첫 번째 물체에 같은 크기의 반대 힘을 가합니다. 벡터 형식에서, 만약 ${\vec {F}}_{1,2}$가 물체 2에 대한 물체 1의 힘이고 ${\vec {F}}_{2,1}$가 물체 1에 대한 물체 2의 힘이면, 다음과 같습니다: $${\vec {F}}_{1,2}=-{\vec {F}}_{2,1}.$$ 이 법칙은 때때로 작용-반작용 법칙(action-reaction law)이라고도 하며, ${\vec {F}}_{1,2}$를 작용이라고 하고 $-{\vec {F}}_{2,1}$을 반작용이라고 불립니다.

뉴턴의 세 번째 법칙은 힘이 다른 물체의 존재에 기인할 수 있는 상황에 대칭(symmetry)을 적용한 결과입니다. 세 번째 법칙은 모든 힘은 서로 다른 물체 사이의 상호 작용이고, 따라서 단방향 힘이나 한 물체에만 작용하는 힘은 없다는 것을 의미합니다.

물체 1과 물체 2로 구성된 시스템에서, 상호 작용으로 인한 시스템의 알짜 힘은 영입니다:$${\vec {F}}_{1,2}+{\vec {F}}_{2,1}=0.$$ 보다 일반적으로, 입자의 닫힌 시스템(closed system)에서, 모든 내부 힘이 균형을 이룹니다. 입자는 서로에 관해 가속될 수 있지만 시스템의 질량의 중심(center of mass)은 가속되지 않을 것입니다. 만약 외부 힘이 시스템에 작용하면, 시스템의 질량으로 나눈 외부 힘의 크기에 비례하여 질량 중심이 가속됩니다.

뉴턴의 두 번째 법칙과 세 번째 법칙을 결합하면, 시스템의 선형 운동량이 보존된다는 것을 보여줄 수 있습니다. 두 입자로 구성된 시스템에서, ${\vec {p}}_{1}$이 물체 1의 운동량이고 ${\vec {p}}_{2}$가 물체 2의 운동량이면, $${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{2}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{1,2}+{\vec {F}}_{2,1}=0.$$ 유사한 주장을 사용하여, 이것은 임의의 수의 입자를 갖는 시스템으로 일반화될 수 있습니다. 일반적으로, 모든 힘이 물체와 질량의 상호 작용에 기인하는 한, 알짜 운동량을 잃지도 얻지도 않는 시스템을 정의할 수 있습니다.

Special theory of relativity

특수 상대성 이론에서, 질량과 에너지는 동등합니다 (물체를 가속하는 데 필요한 일을 계산하면 알 수 있습니다). 물체의 속도가 증가할 때, 에너지도 증가하고 따라서 동등한 질량 (관성)도 증가합니다. 따라서 같은 속도로 가속하려면 더 낮은 속도에서 보다 더 많은 힘이 필요합니다. 뉴턴의 제2법칙은, $${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}},$$ 그것이 수학적 정의이기 때문에 유효하게 남습니다. 그러나 상대론적 운동량이 보존되려면, 다음과 같이 재정의되어야 합니다: $${\vec {p}}={\frac {m_{0}{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},$$ 여기서 $m_{0}$은 정지 질량(rest mass)이고 $c$는 빛의 속력(speed of light)입니다.

$x$ 방향으로 움직이는 일정한 비-영 정지 질량(rest mass) $m$을 갖는 입자에 대한 힘과 가속도에 관한 상대론적 표현은 다음과 같습니다:

$${\vec {F}}=\left(\gamma ^{3}ma_{x},\gamma ma_{y},\gamma ma_{z}\right),$$

여기서 다음은 $$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$$ 로렌츠 인수(Lorentz factor)라고 불립니다.

초기 상대성 이론의 역사에서, $\gamma ^{3}m$과 $\gamma m$이라는 표현은 종단 질량과 횡단 질량(longitudinal and transverse mass)으로 불렸습니다. 상대론적 힘은 일정한 가속도를 생성하는 것이 아니라, 물체가 빛의 속력에 가까워짐에 따라 점점-감소하는 가속도를 생성합니다. $\gamma$는 점근적으로 무한 값에 접근하고 빛의 속력에 접근함에 따라 비-영 정지 질량을 갖는 물체에 대해 정의되지 않고, 이론은 해당 속력에서 예측을 생성하지 않습니다.

만약 $v$가 $c$에 비해 매우 작으면, $\gamma$는 1에 매우 가깝고 다음은 근사입니다: $$F=ma$$ 심지어 상대성 이론에서 사용하더라도, 4-벡터(four-vectors)의 사용을 통해 다음의 형식으로 복원할 수 있습니다: $$F^{\mu }=mA^{\mu }$$ 이 관계는 $F^{\mu }$가 4-힘(four-force)이고, $m$이 불변 질량(invariant mass)이고, $A^{\mu }$가 4-가속도(four-acceleration)일 때 상대성 이론에서 정확합니다.

Descriptions

Free body diagrams of a block on a flat surface and an inclined plane. Forces are resolved and added together to determine their magnitudes and the net force.

힘은 밀거나 당기는 것으로 인식되기 때문에, 이것은 힘을 설명하는 데 직관적인 이해를 제공할 수 있습니다. 다른 물리적 개념 (예를 들어, 온도)과 마찬가지로, 힘에 대한 직관적인 이해는 직접 관찰과 일치하고 표준 측정 스케일과 비교되는 정확한 작동 정의(operational definitions)를 사용하여 정량화됩니다. 실험을 통해, 힘의 실험실 측정이 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)에 의해 제공되는 힘의 개념적 정의(conceptual definition)와 완전히 일치한다는 것이 결정되었습니다.

힘은 특정 방향으로 작용하고 밀거나 당기는 힘이 얼마나 강한지에 따른 크기(sizes)를 가집니다. 이들 특성 때문에, 힘은 "벡터 량(vector quantities)"으로 분류됩니다. 이것은 힘이 방향이 없는 물리적 양 (스칼라 양으로 표시됨)과는 다른 수학적 규칙의 집합을 따른다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 같은 물체에 두 개의 힘이 작용할 때 어떤 일이 발생하는지 판단할 때, 결과를 계산하기 위해 두 힘의 크기와 방향을 모두 알아야 합니다. 각 힘에 대해 이들 두 가지 정보가 모두 알려지지 않으면, 상황이 모호합니다. 예를 들어, 만약 두 사람이 알려진 크기의 힘으로 같은 로프를 당기고 있다는 것을 알고 있지만, 두 사람이 어느 방향으로 당기고 있는지 알지 못하는 경우 로프의 가속도를 결정하는 것은 불가능합니다. 줄다리기처럼 두 사람이 서로를 끌어당길 수도 있고, 두 사람이 같은 방향으로 끌어당길 수도 있습니다. 이 간단한 일-차원 예제에서, 힘의 방향을 모르면, 알짜 힘이 두 힘 크기를 더한 결과인지 아니면 다른 힘에서 하나를 뺀 결과인지를 결정할 수 없습니다. 힘을 벡터와 연관시키면 그러한 문제를 피할 수 있습니다.

역사적으로, 힘은 여러 힘이 서로 상쇄되는 정적 평형(static equilibrium) 상태에서 처음으로 정량적으로 조사되었습니다. 이들 실험은 힘이 가산 벡터 양(vector quantities)이라는 중요한 속성을 보여줍니다: 그것들은 크기와 방향을 가집니다. 점 입자(point particle)에 두 개의 힘이 작용할 때, 결과 힘(resultant, 알짜 힘이라고도 함)은 벡터 덧셈의 평행사변형 규칙(parallelogram rule)에 따라 결정될 수 있습니다: 평행사변형의 변으로 표현되는 두 벡터를 더하면, 평행사변형의 가로 방향과 크기와 방향이 같은 동등한 결과 벡터를 생성합니다. 결과 힘의 크기는 그것들의 작용의 선 사이의 각도에 따라 두 힘의 크기 차이에서 합까지 다양합니다. 만약 연장된 몸체에 작용하면, 몸체의 움직임에 미치는 영향을 설명하기 위해 각각의 적용의 선도 지정해야 합니다.

자유-물체 다이어그램(Free-body diagrams)은 시스템에 작용하는 힘을 추적하는 편리한 방법으로 사용될 수 있습니다. 이상적으로, 이들 다이어그램은 그래픽 벡터 덧셈이 알짜 힘을 결정하기 위해 수행될 수 있도록 힘 벡터의 각도와 상대 크기가 보존된 상태로 그려집니다.

힘은 추가될 뿐만 아니라 서로 직각으로 독립된 성분으로 분해될 수도 있습니다. 따라서 북동쪽을 가리키는 수평 힘은 북쪽을 가리키는 힘과 동쪽을 가리키는 힘의 두 가지 힘으로 나눌 수 있습니다. 벡터 추가를 사용하여 이들 성분 힘을 합하면 원래 힘이 산출됩니다. 힘 벡터를 기저 벡터(basis vectors)의 집합의 성분으로 해석하는 것은 종종 크기와 방향을 사용하는 것보다 수학적으로 힘을 설명하는 더 깔끔한 방법입니다. 이것은 직교 성분에 대해, 벡터 합의 성분이 개별 벡터 성분의 스칼라 덧셈에 의해 고유하게 결정되기 때문입니다. 직교 성분은 서로 90도 각도로 작용하는 힘이 서로의 크기나 방향에 영향을 주지 않기 때문에 서로 독립적입니다. 직교 기저 벡터의 집합을 선택하는 것은 종종 어떤 기저 벡터의 집합이 수학을 가장 편리하게 만들 것인지 고려하여 수행됩니다. 힘 중 하나와 같은 방향에 있는 기저 벡터를 선택하는 것이 바람직한데, 왜냐하면 그 힘이 그때에 오직 하나의 비-영 성분을 가지기 때문입니다. 직교 힘 벡터는 세 번째 성분이 다른 두 성분과 직각을 이루는 삼-차원적일 수 있습니다.

Equilibrium

물체에 작용하는 모든 힘이 균형을 이룰 때, 그 물체는 평형(equilibrium) 상태에 있다고 말합니다. 따라서, 점 입자에 작용하는 결과 힘이 영일 때 (즉, 모든 힘의 벡터 합이 영일 때) 평형이 발생합니다. 연장된 몸체를 다룰 때, 알짜 토크가 영이어야 합니다.

평형에는 정적 평형(static equilibrium)과 동적 평형(dynamic equilibrium)의 두 종류가 있습니다.

Static

Main articles: Statics and Static equilibrium

정적 평형은 고전 역학이 발명되기 훨씬 전에 이해되었습니다. 정지해 있는 물체는 그것에 작용하는 영 알짜 힘을 가집니다.

정적 평형의 가장 간단한 경우는 두 힘이 크기에서 같지만 방향에서 반대일 때 발생합니다. 예를 들어, 평평한 표면 위에 물체는 중력에 의해 지구의 중심을 향해 아래쪽으로 당겨집니다 (끌어들입니다). 동시에, 같은 위 방향 힘 (수직 항력(normal force)이라고 함)으로 아래 방향 힘에 저항하는 힘이 표면 위에 적용됩니다. 상황은 영 알짜 힘을 생성하고 따라서 가속도가 없습니다.

마찰 표면에 놓인 물체를 밀면 물체와 테이블 표면 사이에 발생된 정적 마찰(static friction)에 의해 적용된 힘이 반대되기 때문에 물체가 움직이지 않는 상황이 발생할 수 있습니다. 움직임이 없는 상황에 대해, 정적 마찰력은 가해진 힘과 정확하게 균형을 이루어 가속되지 않습니다. 정지 마찰은 표면과 물체 사이의 접촉의 특성에 의해 결정되는 위쪽 경계까지 적용된 힘에 따라 증가하거나 감소합니다.

두 힘 사이의 정적 평형은 무게 저울(weighing scales) 및 용수철 저울(spring balances)과 같은 간단한 장치를 사용하여 힘을 측정하는 가장 보통의 방법입니다. 예를 들어, 수직 스프링 저울(spring scale)에 매달린 물체는 물체의 무게와 같은 "스프링 반작용 힘"에 의해 가해지는 힘과 균형을 이루는 물체에 작용하는 중력을 경험합니다. 그러한 도구를 사용하여, 몇 가지 정량적 힘의 법칙이 발견되었습니다: 중력은 밀도가 일정한 물체에 대해 부피에 비례합니다 (표준 중량을 정의하기 위해 수천 년 동안 널리 사용됨); 부력에 대한 아르키메데스의 원리; 지렛대에 대한 아르키메데스의 분석; 기체 압력에 대한 보일의 법칙; 스프링에 대한 훅의 법칙. 이것들은 아이작 뉴턴이 그의 세 가지 운동 법칙을 설명하기 전에 공식화되고 실험적으로 검증되었습니다.

Dynamic

Main article: Dynamics (physics)

Galileo Galilei was the first to point out the inherent contradictions contained in Aristotle's description of forces.

동적 평형은 아리스토텔레스 물리학의 특정 가정이 관찰과 논리(logic)에 의해 모순된다는 것을 알아차린 갈릴레오에 의해 처음으로 설명되었습니다. 갈릴레오는 단순 속도 덧셈(simple velocity addition)이 "절대 휴식 프레임(rest frame)"의 개념이 존재하지 않는다는 것을 깨달았습니다. 갈릴레오는 일정한 속도(velocity)에서 운동이 정지와 완전하게 동등하다고 결론지었습니다. 이것은 질량을 갖는 물체가 자연스럽게 접근하는 정지의 "자연 상태"의 아리스토텔레스의 개념에 반하는 것입니다. 간단한 실험을 통해 일정한 속도와 정지의 동등성에 대한 갈릴레오의 이해가 옳았다는 것을 알 수 있었습니다. 예를 들어, 선원이 일정한 속도로 움직이는 배의 까마귀 둥지에서 포탄을 떨어뜨리면, 아리스토텔레스 물리학은 배가 그 아래로 움직이는 동안 포탄이 똑바로 아래로 떨어지도록 할 것입니다. 따라서 아리스토텔레스의 우주에서 떨어지는 포탄은 움직이는 배의 돛대 발 뒤에 떨어질 것입니다. 이 실험을 실제로 했을 때, 포탄은 마치 포탄이 배에서 떨어져 있음에도 불구하고 배와 함께 이동할 줄 아는 것처럼 항상 돛대 밑에 떨어집니다. 포탄이 떨어질 때 포탄에 가해지는 전방 수평 힘이 없기 때문에, 남은 유일한 결론은 포탄이 보트가 떨어질 때 같은 속도로 계속 움직인다는 것입니다. 따라서, 포탄이 일정한 전진 속도로 계속 움직이도록 하는 데 아무런 힘이 필요하지 않습니다.

게다가, 일정한 속도로 움직이는 임의의 물체는 알짜 힘 (결과 힘)이 0이 되어야 합니다. 이것이 동적 평형의 정의입니다: 물체에 가해지는 모든 힘이 균형을 이루지만 물체는 여전히 일정한 속도로 움직일 때입니다.

동적 평형의 간단한 경우는 운동 마찰(kinetic friction)을 갖는 표면을 가로지르는 일정한 속도 운동에서 발생합니다. 그러한 상황에서, 운동 마찰 힘이 적용된 힘에 정확히 반대되는 동안 운동 방향으로 힘이 가해집니다. 이로 인해 알짜 힘은 0이 되지만, 물체가 비-영 속도로 시작했기 때문에, 그것은 비-영 속도로 계속 이동합니다. 아리스토텔레스는 이 운동이 적용된 힘에 의해 발생하는 것으로 잘못 해석했습니다. 운동 마찰이 고려될 때, 일정한 속도 운동을 유발하는 알짜 힘이 없다는 것이 분명합니다.

Quantum mechanics

Main articles: Quantum mechanics and Pauli exclusion principle

"힘"이라는 개념은 양자 역학(quantum mechanics)에서 그 의미를 유지하지만, 지금은 고전적 변수 대신 연산자를 다루고 있고 물리학은 이제 뉴턴 방정식(Newtonian equations) 대신 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)으로 설명됩니다. 이것은 측정의 결과가 이제 때때로 "양자화"되는 즉, 그것들은 개별 부분으로 나타내는 결과를 가집니다. 이것은, 물론, "힘"의 맥락에서 상상하기 어렵습니다. 일반적으로 힘이 파생될 수 있는 퍼텐셜 V(x, y, z) 또는 필드(fields)는 고전적인 위치 변수, 즉, $V(x,y,z)\to {\hat {V}}({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})$와 유사하게 처리됩니다.

이것은 이들 필드가 역시 양자화되는 양자 필드 이론(quantum field theory)의 틀에서만 달라집니다.

양자 역학에는 경고가 있습니다; 서로 작용하는 입자는 공간 변수뿐만 아니라 "스핀(spin)"이라고 하는 이산 고유의 각 운동량-같은 변수를 가지고, 공간과 스핀 변수와 관련하는 파울리 제외 원리(Pauli exclusion principle)가 있습니다. 스핀의 값에 따라, 동일한 입자는 페르미온(fermions)과 보손(bosons)이라는 두 가지 다른 클래스로 나뉩니다. 만약 두 개의 동일한 페르미온 (예를 들어, 전자)이 대칭 스핀 함수 (예를 들어, 평행 스핀)를 가지고 있으면, 공간 변수는 반대칭적(antisymmetric)이어야 하고 (즉, 그것들은 마치 반발력이 있는 것처럼 서로를 그것들의 위치에서 배제합니다), 그 반대도 마찬가지이며, 즉, 반-평행 스핀에 대해 위치 변수는 대칭적이어야 합니다 (즉, 겉보기 힘은 인력이 있어야 합니다). 따라서 두 개의 페르미온의 경우에서, 공간 변수와 스핀 변수 사이에 엄격하게 음의 상관관계가 있고, 반면 두 보손 (예를 들어, 전자기파의 양자, 광자)의 상관관계는 엄격하게 양의 상관관계입니다.

따라서 "힘"이라는 개념은 이미 그 의미의 일부를 상실합니다.

Feynman diagrams

Main article: Feynman diagrams

Feynman diagram for the decay of a neutron into a proton. The W boson is between two vertices indicating a repulsion.

현대 입자 물리학(particle physics)에서, 입자의 힘과 가속도는 운동량-전달하는 게이지 보손(gauge bosons)의 교환의 수학적 부산물로 설명됩니다. 양자 필드 이론(quantum field theory)과 일반 상대성(general relativity)의 발달과 함께, 힘은 운동량의 보존 (상대성 이론에서 4-운동량과 양자 전기역학에서 가상 입자(virtual particles)의 운동량)에서 나오는 잉여 개념이라는 것을 깨달았습니다. 운동량 보존은 공간(space)의 균질성 또는 대칭성에서 직접 파생될 수 있고 따라서 보통 힘의 개념보다 더 근본적인 것으로 고려됩니다. 따라서 현재 알려진 토대적 힘(fundamental forces)은 "토대적 상호작용(fundamental interactions)"으로 더 정확하게 고려됩니다. 입자 A가 가상 입자 B를 방출 (생성)하거나 흡수 (소멸)할 때, 운동량 보존은 입자 A의 반동으로 인해 B와 교환하는 입자 A A' 사이의 반발 또는 인력의 인상을 줍니다. 이 설명은 토대적 상호작용에서 발생하는 모든 힘에 적용됩니다. 그러한 상호작용의 정확한 결과를, 완전히 자세하게 예측하려면, 정교한 수학적 설명이 필요하지만, 파인만 다이어그램의 사용을 통해 그러한 상호작용을 설명하는 개념적으로 간단한 방법이 있습니다. 파인만 다이어그램에서, 각 물질 입자는 시간을 통해 이동하는 직선 (세계선 참조)으로 표시되며, 통상적으로 다이어그램에서 위쪽 또는 오른쪽으로 증가합니다. 물질과 반-물질 입자는 파인만 다이어그램을 통한 전파 방향을 제외하고는 동일합니다. 입자의 세계선은 상호작용 꼭짓점에서 교차하고, 파인만 다이어그램은 입자 세계선 방향에서 결합된 순간 변화를 갖는 꼭짓점에서 발생할 때 상호작용에서 발생하는 임의의 힘을 나타냅니다. 게이지 보손은 물결 모양의 선으로 꼭짓점에서 멀리 방출되고, 가상 입자 교환의 경우에서, 인접한 꼭짓점에서 흡수됩니다.

파인만 다이어그램의 유용성은 토대적 상호작용의 일반적인 그림의 일부이지만 힘과 개념적으로 분리된 다른 유형의 물리적 현상도 같은 규칙을 사용하여 설명될 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 파인만 다이어그램은 중성자가 어떻게 전자, 양성자, 및 중성미자로 붕괴하는지, 약한 핵력을 담당하는 같은 게이지 보손에 의해 매개되는 상호작용을 간결하게 자세히 설명할 수 있습니다.

Fundamental interactions

Main article: Fundamental interaction

우주의 모든 알려진 힘은 네 가지 토대적 상호작용(fundamental interactions)으로 분류됩니다. 강한 힘과 약한 힘은 매우 짧은 거리에서만 작용하고, 핵자(nucleons)와 복합 핵(nuclei)을 포함한 아원자 입자(subatomic particles) 사이의 상호작용을 담당합니다. 전자기 힘(electromagnetic force)은 전하(electric charges) 사이에 작용하고, 중력(gravitationa force)은 질량(masses) 사이에 작용합니다. 자연에서 모든 다른 힘은 이들 네 가지 토대적 상호작용에서 파생됩니다. 예를 들어, 마찰(friction)은 두 표면의 원자(atoms) 사이에 작용하는 전자기 힘과 원자가 서로를 통과하는 것을 허용하지 않는 파울리 제외 원리(Pauli exclusion principle)의 표현입니다. 마찬가지로, 훅의 법칙(Hooke's law)에 의해 모델링된 스프링에서 힘은 물체를 평형(equilibrium) 위치로 되돌리기 위해 함께 작용하는 전자기 힘과 파울리 제외 원리의 결과입니다. 원심력(Centrifugal force)은 회전하는 참조 프레임의 가속으로 인해 발생하는 가속(acceleration) 힘입니다.

힘에 대한 토대적 이론은 서로 다른 아이디어의 통합(unification)에서 발전했습니다. 예를 들어, 아이작 뉴턴 경은, 그의 중력의 보편적 이론과 함께, 물체가 지구 표면 근처에서 떨어지는 원인이 되는 힘을 지구 (달)와 태양 (행성) 주위에서 떨어지는 원인이 되는 힘을 통합했습니다. 마이클 패러데이(Michael Faraday)와 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 전자기 이론을 통해 전기 힘과 자기 힘이 통합되었음을 입증했습니다. 20세기에서, 양자 역학(quantum mechanics)의 발전으로 처음 세 가지 토대적 힘 (중력을 제외한 모든 힘)이 게이지 보손(gauge bosons)이라고 하는 가상 입자(virtual particles)를 교환함으로써 상호작용하는 물질 (페르미온)의 발현이라는 현대적인 이해가 이루어졌습니다. 입자 물리학의 이러한 표준 모델(Standard Model)은 힘 사이의 유사성을 가정하고 과학자들을 전기약한 이론에서 약한 힘과 전자기 힘의 통합을 예측하도록 이끌었고, 이는 이후 관찰에 의해 확인되었습니다. 표준 모델의 완전한 형식화는 아직 관찰되지 않은 힉스 메커니즘(Higgs mechanism)을 예측하지만, 중성미자 진동(neutrino oscillations)과 같은 관측은 표준 모델이 불완전함을 시사합니다. 전기약한 힘과 강한 힘의 조합을 가능하게 하는 대통합 이론(Grand Unified Theory)은 물리학에서 해결되지 않은 몇 가지 뛰어난 미해결 문제를 수용하기 위해 제안된 초월-대칭(supersymmetry)과 같은 후보 이론과 함께 가능성으로 제시됩니다. 물리학자들은 네 가지 토대적인 상호작용 모두를 모든 것의 이론(theory of everything)으로 결합하는 자기-일관된 통합 모델을 개발하려고 여전히 시도하고 있습니다. 아인슈타인은 이 노력을 시도했고 실패했지만, 현재 이 질문에 답하는 가장 인기 있는 접근 방식은 끈 이론(string theory)입니다.

The four fundamental forces of nature

Property/Interaction	Gravitation	Weak	Electromagnetic	Strong
		(Electroweak)		Fundamental	Residual
Acts on:	Mass - Energy	Flavor	Electric charge	Color charge	Atomic nuclei
Particles experiencing:	All	Quarks, leptons	Electrically charged	Quarks, Gluons	Hadrons
Particles mediating:	Graviton (not yet observed)	W+ W− Z0	γ	Gluons	Mesons
Strength in the scale of quarks:	10−41	10−4	1	60	Not applicable to quarks
Strength in the scale of protons/neutrons:	10−36	10−7	1	Not applicable to hadrons	20

Gravitational

Main article: Gravity

Images of a freely falling basketball taken with a stroboscope at 20 flashes per second. The distance units on the right are multiples of about 12 millimeters. The basketball starts at rest. At the time of the first flash (distance zero) it is released, after which the number of units fallen is equal to the square of the number of flashes.

우리가 지금 중력이라고 부르는 것은 아이작 뉴턴의 연구 이전까지 보편적인 힘으로 식별되지 않았습니다. 뉴턴 이전에, 물체가 지구를 향해 떨어지는 경향이 천체의 운동과 관련이 있는 것으로 이해되지 않았습니다. 갈릴레오는 자유-낙하(free-fall)하는 모든 각 물체의 가속도(acceleration)가 일정하고 물체의 질량과 무관하다는 것을 결정함으로써 낙하 물체의 특성을 설명하는 데 중요한 역할을 했습니다. 오늘날 지구 표면을 향한 이러한 중력으로 인한 가속도는 보통 ${\vec {g}}$로 지정되고 제곱 초당 약 9.81 미터의 크기를 가지고 (해수면에서 측정되고 위치에 따라 다를 수 있음), 지구의 중심을 향합니다. 이 관찰은 지구의 표면에서 물체에 대한 중력이 물체의 질량에 직접 비례한다는 것을 의미합니다. 따라서 $m$의 질량을 가지는 물체는 다음과 같은 힘을 받게 됩니다: $${\vec {F}}=m{\vec {g}}.$$

자유 낙하하는 물체에 대해, 이 힘은 반대되지 않고 물체에 작용하는 알짜 힘은 그것의 무게입니다. 자유 낙하하지 않는 물체에 대해, 중력은 그것의 지원에 의해 적용된 반작용 힘에 의해 반대됩니다. 예를 들어, 지면에 서 있는 사람은 수직 힘 (반작용 힘)이 아래쪽으로 향하는 체중의 균형을 맞추는 사람에게 위쪽으로 가해지기 때문에 영 알짜 힘을 경험합니다.

중력 이론에 대한 뉴턴의 공헌은 아리스토텔레스가 지구에서 관찰되는 낙하 운동과 함께 지속적인 운동의 자연 상태에 있다고 가정했던 천체의 운동을 통합한 것입니다. 그는 이전에 케플러의 행성 운동 법칙을 사용하여 설명해 왔던 천체 운동을 설명할 수 있는 중력 법칙(law of gravity)을 제안했습니다.

뉴턴은 중력의 효과가 더 먼 거리에서 다른 방식으로 관찰될 수 있다는 것을 깨닫게 되었습니다. 특히, 뉴턴은 중력에 의한 가속도가 역 제곱의 법칙(inverse square law)에 따라 감소한다면 지구 주위를 도는 달의 가속도도 같은 중력에 기인한다고 판단했습니다. 게다가, 뉴턴은 중력에 의한 물체의 가속도가 다른 끄는 물체의 질량에 비례한다는 사실을 깨달았습니다. 이들 아이디어를 결합하면 지구의 질량 ($m_{\oplus }$)과 반지름 ($R_{\oplus }$)을 중력 가속도와 관련시키는 공식이 제공됩니다:$${\vec {g}}=-{\frac {Gm_{\oplus }}{{R_{\oplus }}^{2}}}{\hat {r}},$$

여기서 벡터 방향은 ${\hat {r}}$으로 주어지며, 지구 중심에서 바깥쪽으로 향하는 단위 벡터(unit vector)입니다.

이 방정식에서, 차원 상수 $G$는 중력의 상대 강도를 설명하기 위해 사용됩니다. 이 상수는 뉴턴의 생애 동안 그 값이 알려지지 않았지만 뉴턴의 중력 상수(Newtonian constant of gravitation)로 알려지게 되었습니다. 1798년이 되어서야, 헨리 캐번디시(Henry Cavendish)는 토션 저울(torsion balance)을 사용하여 $G$를 최초로 측정할 수 있었습니다; $G$를 알면 위의 방정식이 주어진 지구의 질량을 풀 수 있기 때문에, 이것은 언론에 지구의 질량 측정으로 널리 보고되었습니다. 뉴턴은 모든 천체가 같은 운동 법칙(laws of motion)을 따르기 때문에, 그의 중력 법칙이 보편적이어야 한다는 것을 깨달았습니다. 간결하게 말하자면, 뉴턴의 중력 법칙은 질량 $m_{2}$의 중력으로 인해 질량 $m_{1}$의 구형 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다고 말합니다:$${\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}},$$ 여기서 $r$은 두 물체의 질량 중심 사이의 거리이고 ${\hat {r}}$는 첫 번째 물체의 중심에서 멀어지는 방향으로 두 번째 물체의 중심을 향하는 단위 벡터입니다.

이 공식은 20세기까지 태양 시스템 내에서 운동에 대한 이후의 모든 설명의 기초가 될 만큼 충분히 강력했습니다. 그 기간 동안, 행성, 달, 혜성, 또는 소행성에 대한 여러 몸체의 영향으로 인한 궤도(orbits) 편차를 계산하기 위해 정교한 섭동 분석(perturbation analysis) 방법이 발명되었습니다. 형식주의는 수학자들이 행성 해왕성(Neptune)이 관찰되기 전에 그 존재를 예측할 수 있을 만큼 충분히 정확했습니다.

Instruments like GRAVITY provide a powerful probe for gravity force detection.

수성(Mercury)의 궤도는 뉴턴의 중력 법칙이 예측한 것과 일치하지 않았습니다. 일부 천체 물리학자들은 불일치를 설명할 수 있는 미-발견 행성 (Vulcan)의 존재를 예측했습니다. 알베르트 아인슈타인이 일반 상대성 (GR)의 이론을 공식화했을 때, 그는 문제가 있는 수성의 궤도에 초점을 맞추었고 그의 이론이 불일치를 설명할 수 있는 수정 사항을 추가했음을 발견했습니다. 이것이 뉴턴의 중력 이론이 부정확한 것으로 드러난 첫 번째 시기였습니다.

이후, 일반 상대성은 중력을 가장 잘 설명하는 이론으로 인정받게 되었습니다. GR에서, 중력은 힘으로 고려되지 않고, 오히려, 중력 필드에서 자유롭게 움직이는 물체는 두 시공간 사건 사이의 최단 공간-시간 경로로 정의되는 곡선화된 공간-시간을 통해 직선으로 자체 관성 아래에서 여행합니다. 물체의 관점으로부터, 모든 운동은 중력이 전혀 없는 것처럼 발생합니다. 공간-시간의 곡률이 관찰될 수 있고 힘이 물체의 곡선화된 경로에서 추론될 수 있는 것은 전역적 의미에서 운동을 관찰할 때만 가능합니다. 따라서, 공간-시간에서 직선 경로는 공간에서 곡선화된 선으로 보이고, 이를 물체의 탄도 궤적(ballistic trajectory)이라고 합니다. 예를 들어, 땅에서 던진 농구공은 균일한 중력 필드에 있는 것처럼 포물선 모양으로 움직입니다. 그것의 공간-시간 궤적은 거의 직선이며, 약간 구부러져 있습니다(곡률의 반지름은 수-광년 수준입니다). 물체의 변화하는 운동량의 시간 도함수는 우리가 "중력"이라고 부르는 것입니다.

Electromagnetic

Main article: Electromagnetic force

전기정적 힘(electrostatic force)은 1784년 쿨롱에 의해 두 전하(charges) 사이에 본질적으로 존재하는 힘으로 처음 설명되었습니다. 전기정적 힘의 속성은 방사형 방향(radial direction)으로 향하는 역 제곱의 법칙(inverse square law)으로 변하고, 인력과 반발력 (고유 극성이 있음)이고, 하전된 물체의 질량과 무관하고, 중첩 원리(superposition principle)를 따랐다는 것입니다. 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)은 모든 이들 관찰을 하나의 간결한 명제로 통합합니다.

이후의 수학자와 물리학자들은 전기 필드(electric field)의 구성이 공간의 어느 지점에서나 전하에 대한 전기정적 힘을 결정하는 데 유용하다는 것을 발견했습니다. 전기 필드는 공간에서 어느 곳에서나 가상의 "테스트 전하"를 사용하고 그런-다음 전기정적 힘을 결정하기 위해 쿨롱의 법칙을 사용하는 것을 기반으로 합니다. 따라서 공간의 어디든지 전기 필드는 다음과 같이 정의됩니다:$${\vec {E}}={{\vec {F}} \over {q}},$$ 여기서 $q$는 가상 테스트 전하의 크기입니다.

한편, 자기(magnetism)의 로렌츠 힘(Lorentz force)은 두 전류(electric currents) 사이에 존재하는 것으로 밝혀졌습니다. 그것은 같은 전류는 끌어당기고 다른 전류는 밀어낸다는 단서가 있는 쿨롱의 법칙과 같은 수학적 특성을 가집니다. 전기 필드와 마찬가지로, 자기 필드(magnetic field)는 공간의 어느 지점에서나 전류의 자기 힘을 결정하기 위해 사용될 수 있습니다. 이 경우에서, 자기 필드의 크기는 다음과 같이 결정되었습니다: $$B={F \over {I\ell }},$$ 여기서 $I$는 가상 테스트 전류의 크기이고 $\ell$은 테스트 전류가 흐르는 가상 전선의 길이입니다. 자기 필드는 예를 들어 나침반에 사용되는 자석을 포함하여 모든 자석에 힘을 가합니다. 지구의 자기 필드는 지구 축의 방향과 밀접하게 정렬되어 있다는 사실은 자침을 당기는 자기 힘 때문에 나침반 자석이 방향을 갖게 합니다.

전류의 정의를 전하의 시간 변화율로 결합하여 로렌츠의 법칙(Lorentz's Law)이라고 하는 벡터 곱셈(vector multiplication)의 규칙은 자기 필드 내에서 움직이는 전하의 힘을 설명합니다. 전기와 자기의 연결을 통해 전하에 작용하는 통합된 전자기 힘(electromagnetic force)을 설명할 수 있습니다. 이 힘은 전기정적 힘 (전기장으로 인한)과 자기 힘 (자기장으로 인한)의 합으로 쓸 수 있습니다. 엄밀히 말하면, 이것은 다음과 같은 법칙입니다:$${\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right),$$ 여기서 ${\vec {F}}$는 전자기 힘, $q$는 입자 전하의 크기, ${\vec {E}}$는 전기 필드, ${\vec {v}}$는 자기 필드와 교차하는 입자의 속도 (${\vec {B}}$)입니다.

전기 필드와 자기 필드의 기원은 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)이 20개의 스칼라 방정식의 집합으로 다수의 초기 이론을 통합한 1864년까지 완전히 설명되지 않았으며, 나중에 Oliver Heaviside와 Josiah Willard Gibbs에 의해 4개의 벡터 방정식으로 재구성되었습니다. 이들 "맥스웰 방정식"은 필드의 소스를 정류 전하와 이동 전하, 및 필드 자체의 상호 작용으로 완전하게 설명했습니다. 이로 인해 맥스웰은 빛의 속력으로 계산한 속력으로 이동하는 파동을 통해 전기 필드와 자기 필드가 "자체-생성"될 수 있음을 발견했습니다. 이 통찰력은 전자기 이론의 초기 분야를 광학(optics)과 통합하고 전자기 스펙트럼(electromagnetic spectrum)에 대한 완전한 설명으로 직접 이어졌습니다.

전자기 이론을 두 가지 관찰, 광전 효과(photoelectric effect)와 자외선 파탄(ultraviolet catastrophe)의 부재와 조화시키려는 시도는 골치 아픈 것으로 입증되었습니다. 선도적인 이론 물리학자들의 연구를 통해, 양자 역학을 사용하여 전자기학의 새로운 이론이 개발되었습니다. 전자기 이론에 대한 이 최종 수정은 궁극적으로 모든 전자기 현상을 광자로 알려진 파동-입자에 의해 매개되는 것으로 완전히 설명하는 양자 전기역학 (또는 QED)으로 이어졌습니다. QED에서, 광자는 전자기 힘을 포함하여 전자기와 관련된 모든 상호작용을 설명하는 토대적인 교환 입자입니다.

Strong nuclear

Main article: Strong interaction

오늘날 보통 입자 물리학의 양자 이론에서 발생하는 상호작용으로 설명되는 두 가지 "핵력"이 있습니다. 오늘날 일반적으로 입자 물리학의 양자 이론에서 발생하는 상호 작용으로 설명되는 두 가지 "핵력"이 있습니다. 강한 핵력(strong nuclear force)은 원자 핵(atomic nuclei)의 구조적 무결성을 담당하는 힘인 반면 약한 핵력(weak nuclear force)은 특정 핵자(nucleons)가 경입자(leptons) 및 기타 유형의 강입자(hadrons)로 붕괴하는 데 책임이 있습니다.

강한 힘은 오늘날 양자 색역학(quantum chromodynamics, QCD) 이론에 의해 자세히 설명된 쿼크(quarks)와 글루온(gluons) 사이의 상호작용을 나타내는 것으로 이해됩니다. 강한 힘은 쿼크, 반쿼크(antiquarks), 및 글루온 자체에 작용하는 글루온에 의해 매개되는 토대적인 힘(fundamental force)입니다. (적절하게 이름-지은) 강한 상호작용은 네 가지 토대적인 힘 중 "가장 강한" 힘입니다.

강한 힘은 소립자에만 직접적으로 작용합니다. 핵력으로 알려진 강입자 (특히, 원자핵에서 핵자) 사이에 잔류물이 관찰됩니다. 여기서 강한 힘은 간접적으로 작용하며, 핵력의 고전적 전달자인 가상 파이 및 로 중간자(mesons)의 일부를 형성하는 글루온으로 전달됩니다. 자유 쿼크(free quarks)에 대한 많은 검색의 실패는 영향을 받는 기본 입자가 직접 관찰할 수 없음을 보여주었습니다. 이 현상은 색 제한(color confinement)이라고 불립니다.

Weak nuclear

Main article: Weak interaction

약한 힘은 무거운 W와 Z 보손(W and Z bosons)의 교환으로 인한 것입니다. 약한 힘은 두 가지 유형의 보손에 의해 매개되기 때문에, 그것은 두 가지 유형의 상호작용 또는 "꼭짓점" — 전기적으로 하전된 W⁺와 W⁻ 보손을 포함하는 하전된 전류(charged current), 및 전기적으로 중성 Z⁰ 보손을 포함하는 중립 전류(neutral current)로 나뉠 수 있습니다. 약한 상호작용의 가장 친숙한 효과는 (원자 핵에서 중성자의) 베타 붕괴(beta decay)와 결합된 방사능(radioactivity)입니다. 이것은 하전된-전류 상호작용의 한 유형입니다. "약한"이라는 단어는 필드 강도가 강한 힘(strong force)의 강도보다 약 10¹³배 작다는 사실에서 파생됩니다. 여전히, 그것은 짧은 거리에서는 중력보다 강합니다. 일관된 전기약한 이론도 개발되어 왔으며, 이는 전자기 힘과 약한 힘이 근사적으로 10¹⁵ 켈빈(kelvins)을 초과하는 온도에서 구별할 수 없음을 보여줍니다. 그러한 온도는 현대 입자 가속기(particle accelerators)에서 조사되어 왔고 빅뱅(Big Bang) 초기 순간에서 우주(universe) 상태를 보여줍니다.

Non-fundamental types

일부 힘은 토대적 힘의 결과입니다. 그러한 상황에서, 이상화된 모델은 물리적 통찰력을 얻기 위해 사용될 수 있습니다.

Normal

F_N represents the normal force exerted on the object.

Main article: Normal force

수직 힘은 긴밀한 접촉에서 원자 사이의 반발 힘에 기인합니다. 그것들의 전자 구름이 겹칠 때, (전자의 페르미온 성질로 인한) 파울리 반발이 뒤따라 두 물체 사이의 표면 경계면에 수직인 방향으로 작용하는 힘이 발생합니다. 예를 들어, 수직 힘은 테이블과 바닥의 구조적 무결성을 담당할 뿐만 아니라 외부 힘이 단단한 물체를 밀 때마다 반응하는 힘입니다. 작용 중인 수직 힘의 예제는 물체가 움직이지 않은 표면에 충돌하는 충격 힘입니다.

Friction

Main article: Friction

마찰은 상대 운동에 반대되는 표면 힘입니다. 마찰 힘은 접촉의 점에서 두 개의 단단한 물체를 분리하기 위해 작용하는 수직 힘과 직접적으로 관련됩니다. 마찰 힘은 정적 마찰(static friction)과 운동 마찰(kinetic friction)이라는 두 가지 광범위한 분류가 있습니다.

정지 마찰 힘 ($F_{\mathrm {sf} }$)은 수직 힘($F_{N}$)을 곱한 정적 마찰의 계수(coefficient of static friction, $\mu _{\mathrm {sf} }$)로 지정된 한계까지 표면 접촉에 평행한 물체에 적용되는 힘에 정확히 반대됩니다. 다시 말해서, 적지 마찰 힘의 크기는 다음 부등식을 만족시킵니다:$$0\leq F_{\mathrm {sf} }\leq \mu _{\mathrm {sf} }F_{\mathrm {N} }.$$

운동 마찰 힘 ($F_{\mathrm {kf} }$)은 가해지는 힘과 물체의 움직임 모두와 무관합니다. 따라서, 힘의 크기는 다음과 같습니다: $$F_{\mathrm {kf} }=\mu _{\mathrm {kf} }F_{\mathrm {N} },$$

여기서 $\mu _{\mathrm {kf} }$는 운동 마찰의 계수(coefficient of kinetic friction)입니다. 대부분의 표면 경계면에서, 운동 마찰의 계수는 정적 마찰의 계수보다 작습니다.

Tension

Main article: Tension (physics)

장력은 질량-없고, 마찰-없고, 깨지지-않고, 늘어나지-않는 이상적인 끈(ideal strings)을 사용하여 모델링될 수 있습니다. 그것들은 이상적인 끈이 물리적 방향을 전환할 수 있도록 하는 이상적인 도르래(pulleys)와 결합될 수 있습니다. 이상적인 끈은 만약 두 물체가 이상적인 끈으로 연결되어 있으면, 첫 번째 물체에 의해 끈을 따라 가하는 임의의 힘은 두 번째 물체에 의해 끈을 따라 반대 방향으로 향하는 힘을 동반하도록 작용-반작용 쌍으로 장력을 순간적으로 전달합니다. 이동식 도르래를 사용하는 설정의 사용을 통해 같은 물체에 같은 끈을 여러 번 연결함으로써, 하중에 가해지는 장력은 배가될 수 있습니다. 하중에 작용하는 모든 각 끈에 대해, 끝에서 장력의 또 다른 요인이 하중에 작용합니다. 그러한 기계는 하중을 이동하는 데 필요한 변위된 끝의 길이에서 해당하는 증가에 대해 기계적 이점(mechanical advantage)을 허용합니다. 기계가 아무리 복잡해도 하중에 가해지는 일은 같기 때문에 이들 협동하는 효과는 궁극적으로 기계 에너지를 보존하는 결과를 가져옵니다.

Elasticity

Main articles: Elasticity (physics) and Hooke's law

F_k is the force that responds to the load on the spring

탄성 힘이 작용하여 스프링을 원래 길이로 되돌립니다. 이상적인 스프링(ideal spring)은 질량-없고, 마찰-없고, 깨지지-않고, 무한히 늘어날 수 있는 것입니다. 그러한 스프링은 그것의 평형 위치에서 스프링의 변위(displacement)에 비례하여 수축할 때 밀거나 늘어날 때 당기는 힘을 발휘합니다. 이 선형 관계는 1676년에 로버트 훅(Robert Hooke)에 의해 설명되었으며, 훅의 법칙으로 이름-지어졌습니다. 만약 $\Delta x$가 변위이면, 이상적인 스프링에 의해 가해지는 힘은 다음과 같습니다: $${\vec {F}}=-k\Delta {\vec {x}},$$ 여기서 $k$는 스프링 상수 (또는 힘 상수)이며, 이는 스프링에 고유합니다. 빼기 부호는 적용된 하중에 반대 방향으로 작용하는 힘의 경향을 나타냅니다.

Continuum mechanics

When the drag force ($F_{d}$) associated with air resistance becomes equal in magnitude to the force of gravity on a falling object ($F_{g}$), the object reaches a state of dynamic equilibrium at terminal velocity.

Main articles: Pressure, Drag (physics), and Stress (mechanics)

뉴턴의 법칙과 뉴턴 역학은 일반적으로 힘이 삼-차원 물체가 아닌 이상화된 점 입자(point particles)에 어떻게 영향을 미치는지 설명하기 위해 처음 개발되었습니다. 실제 생활에서, 물질은 확장된 구조를 가지고 있고 물체의 한 부분에 작용하는 힘은 물체의 다른 부분에 영향을 미칠 수 있습니다. 물체에서 원자를 함께 고정하는 격자가 흐름, 수축, 신장, 또는 그렇지 않은 모양을 변경할 수 있는 상황에 대해, 연속체 역학(continuum mechanics)의 이론은 힘이 물질에 영향을 미치는 방법을 설명합니다. 예를 들어, 확장된 유체에서, 압력에서 차이로 인해 다음과 같이 압력 그래디언트를 따라 힘이 전달됩니다: $${\frac {\vec {F}}{V}}=-{\vec {\nabla }}P,$$

여기서 $V$는 유체에 있는 물체의 부피이고 $P$는 공간의 모든 위치에서 압력을 설명하는 스칼라 함수(scalar function)입니다. 압력 그래디언트와 미분은 중력 필드에 부유하는 유체, 대기 과학(atmospheric science)에서 바람, 및 공기-역학(aerodynamics)과 비행(flight)과 관련된 양력에 대해 부력(buoyant force)을 초래합니다.

동역학적 압력(dynamic pressure)과 관련된 그러한 힘의 특정 사례는 유체 저항: 점성(viscosity)으로 인해 유체를 통해 물체의 움직임에 저항하는 몸체 힘입니다. 소위 "스토크스의 항력(Stokes' drag)"에 대해, 힘은 근사적으로 속도에 비례하지만, 방향에서 반대입니다: $${\vec {F}}_{\mathrm {d} }=-b{\vec {v}},$$ 여기서:

• $b$는 유체의 속성과 물체의 치수 (일반적으로 교차-단면 넓이)에 따라 달라지는 상수이고,
• ${\vec {v}}$는 물체의 속도입니다.

보다 형식적으로, 연속체 역학(continuum mechanics)에서 힘은 다음과 같이 대략적으로 정의되는 항을 사용하여 스트레스-텐서(stress–tensor)로 완전하게 설명됩니다: $$\sigma ={\frac {F}{A}},$$

여기서 $A$는 스트레스-텐서가 계산되는 부피에 대한 관련 교차-단면 넓이입니다. 이 형식화는 교차-단면 넓이에 수직으로 작용하는 힘(텐서의 대각선 행렬)과 관련된 압력 항과 교차-단면 넓이에 평행(parallel)하게 작용하는 힘 (비-대각선 원소)과 관련된 전단(shear) 항을 포함합니다. 스트레스 텐서는 인장 스트레스(tensile stresses)와 압축(compressions)을 포함하여 모든 스트레인 (변형)을 유발하는 힘을 설명합니다.

Fictitious

Main article: Fictitious forces

프레임 의존(frame dependent)하는 힘이 있으며, 그것들이 비-뉴턴 (즉, 비-관성) 참조 프레임의 채택으로 인해 나타남을 의미합니다. 그러한 힘은 원심력(centrifugal force)과 코리올리 힘(Coriolis force)을 포함합니다. 이들 힘은 가속하지 않는 참조의 프레임에 존재하지 않기 때문에 가상의 힘으로 고려됩니다. 이들 힘은 진짜가 아니기 때문에, 그것들은 "유사 힘"이라고도 참조됩니다.

일반 상대성(general relativity)에서, 중력(gravity)은 시공간이 평평한 기하학에서 벗어나는 상황에서 발생하는 가상의 힘이 됩니다. 확장으로서, Kaluza–Klein theory과 끈 이론(string theory)은 각각 전자기 힘과 다른 토대적인 힘(fundamental forces)을 크기가 다른 차원의 곡률에 기인하며, 이는 궁극적으로 모든 힘이 가상의 것임을 암시합니다.

Rotation and torque

Relationship between force (F), torque (τ), and momentum vectors (p and L) in a rotating system.

Main article: Torque

연장된 물체를 회전시키는 힘은 토크(torques)와 결합되어 있습니다. 수학적으로, 힘 ${\vec {F}}$의 토크는 임의적인 기준 점에 관해 교차-곱(cross-product)으로 정의됩니다: $${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}},$$ 여기서 ${\vec {r}}$은 기준 점에 관한 힘 적용 점의 위치 벡터(position vector)입니다.

토크는 각도(angle)가 위치(position)에 대한 회전적 동등물, 속도(velocity)에 대한 각속도(angular velocity), 및 운동량(momentum)에 대한 각 운동량(angular momentum)과 같은 방법으로 힘의 회전 동등물입니다. 뉴턴의 첫 번째 운동 법칙의 결과로, 불균형한 토크에 의해 작용되지 않은 한 모든 물체가 그것들의 각 운동량을 유지함을 보장하는 회전적 관성(rotational inertia)이 존재합니다. 마찬가지로, 뉴턴의 두 번째 운동 법칙은 강체의 순간 각 가속도(angular acceleration)에 대한 유사한 방정식을 도출하기 위해 사용될 수 있습니다:$${\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }},$$

여기서

• $I$는 물체의 관성의 모멘트(moment of inertia)입니다.
• ${\vec {\alpha }}$는 물체의 각 가속도입니다.

이는 질량에 대한 회전 동등물인 관성의 모멘트에 대한 정의를 제공합니다. 시간 구간에 걸쳐 회전이 설명되는 역학의 고급 처리에서, 관성의 모멘트는 적절하게 분석될 때 세차(precession)와 장동(nutation)을 포함한 회전의 특성을 완전히 결정하는 텐서(tensor)로 대체되어야 합니다.

동등하게, 뉴턴의 두 번째 법칙의 미분 형식은 토크의 대안적인 정의를 제공합니다: $${\vec {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {dt} }},$$ 여기서 ${\vec {L}}$는 입자의 각 운동량입니다.

뉴턴의 세 번째 운동 법칙은 토크 자체를 발휘하는 모든 물체가 같고 반대되는 토크를 경험할 것을 요구하고, 따라서 내부 토크의 작용을 통해 회전을 경험하는 닫힌 시스템에 대한 각 운동량의 보존을 직접적으로 의미합니다.

Centripetality

Main article: Centripetal force

원 운동에서 가속하는 물체에 대해, 물체에 작용하는 불균형 힘은 다음과 같습니다: $${\vec {F}}=-{\frac {mv^{2}{\hat {r}}}{r}},$$여기서 $m$은 물체의 질량, $v$는 물체의 속도, $r$은 원형 경로의 중심까지의 거리이고, ${\hat {r}}$는 중심에서 바깥쪽으로 방사형 방향을 가리키는 단위 벡터(unit vector)입니다. 이것은 임의의 물체가 느끼는 불균형한 구심력이 항상 곡선 경로의 중심을 향하고 있음을 의미합니다. 그러한 힘은 물체의 움직임과 결합된 속도 벡터에 수직으로 작용하고, 따라서 물체의 속력 (속도의 크기)는 변경하지 않고, 속도 벡터의 방향만 변경합니다. 물체를 가속하는 불균형한 힘은 경로에 수직인 성분과 경로에 접하는 성분으로 분해될 수 있습니다. 이것은 물체를 느리게 하거나 빠르게 함으로써 물체를 가속하는 접선 힘과 그것의 방향을 바꾸는 방사형 힘 (구심력)을 모두 산출합니다.

Kinematic integrals

Main articles: Impulse, Mechanical work, and Power (physics)

힘은 운동학적 변수(kinematic variables)에 관해 적분함으로써 여러 물리적 개념을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 시간에 관해 적분함으로써 충격(impulse)의 정의를 제공합니다: $${\vec {J}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {F}}\,\mathrm {d} t},$$ 이는 뉴턴의 두 번째 법칙에 의해 운동량에서 변화와 동등해야 합니다 (충격 운동량 정리(Impulse momentum theorem)를 산출합니다).

마찬가지로, 위치에 관해 적분함으로써 힘에 의해 수행된 일에 대한 정의를 제공합니다:$$W=\int _{{\vec {x}}_{1}}^{{\vec {x}}_{2}}{{\vec {F}}\cdot {\mathrm {d} {\vec {x}}}},$$

이는 운동 에너지(kinetic energy)의 변화와 동등합니다 (일 에너지 정리(work energy theorem)를 산출합니다).

일률(Power) P는 궤적(trajectory)이 시간 구간 dt에서 위치 변화 $d{\vec {x}}$로 확장됨에 따라 일 W의 변화율 dW/dt입니다: $$\mathrm {d} W={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}}={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {x}},$$ 따라서 $$P={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}},$$ 여기서 ${\vec {v}}=\mathrm {d} {\vec {x}}/\mathrm {d} t$는 속도(velocity)입니다.

Potential energy

Main article: Potential energy

힘 대신에, 종종 수학적으로 관련된 개념인 퍼텐셜 에너지(potential energy) 필드는 편의를 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 물체에 작용하는 중력은 물체의 위치에 존재하는 중력 필드(gravitational field)의 작용으로 볼 수 있습니다. (일의 정의를 통해) 에너지의 정의를 수학적으로 다시 말하면, 퍼텐셜 스칼라 필드 $U({\vec {r}})$는 그래디언트(gradient)가 모든 각 점에서 생성된 힘과 같고 반대인 해당 필드로 정의됩니다: $${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}U.$$

힘은 보존적 또는 비-보존적으로 분류될 수 있습니다. 보존적 힘은 퍼텐셜(potential)의 그래디언트와 동등하지만 비-보존적 힘은 그렇지 않습니다.

Conservation

Main article: Conservative force

닫힌 시스템(closed system)에 작용하는 보존적 힘은 에너지를 운동(kinetic) 형식과 퍼텐셜(potential) 형식 사이에서만 변환되도록 허용하는 결합된 기계적 일을 가지고 있습니다. 이것인 닫힌 시스템에 대해, 알짜 기계적 에너지(mechanical energy)가 시스템에 보존적 힘이 작용할 때마다 보존됨을 의미합니다. 힘은, 따라서, 공간에서 서로 다른 두 위치 사이의 퍼텐셜 에너지 차이와 직접적으로 관련되고, 물 흐름의 방향과 총양이 지역의 고도의 등고선 맵(contour map)의 인공물이라고 고려될 수 있는 것과 같은 방법으로 퍼텐셜 필드의 인공물이라고 고려될 수 있습니다.

보존적 힘은 중력(gravity), 전자기(electromagnetic) 힘, 및 스프링 힘을 포함합니다. 이들 힘의 각각은 종종 구형적으로 대칭(spherically symmetric) 퍼텐셜에서 나오는 방사형 벡터(radial vector) ${\vec {r}}$로 주어진 위치에 의존하는 모델을 가지고 있습니다. 이에 대한 예제는 다음과 같습니다:

중력에 대해:$${\vec {F}}_{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}},$$ 여기서 $G$는 중력 상수(gravitational constant)이고, $m_{n}$은 물체 n의 질량입니다.

전기-정적 힘에 대해: $${\vec {F}}_{e}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\hat {r}},$$ 여기서 $\varepsilon _{0}$는 자유 공간의 전기 유전율(electric permittivity of free space)이고, $q_{n}$는 물체 n의 전하(electric charge)입니다.

스프링 힘에 대해: $${\vec {F}}_{s}=-kr{\hat {r}},$$ 여기서 $k$는 스프링 상수(spring constant)입니다.

특정 물리적 시나리오에 대해, 퍼텐셜의 그래디언트로 인한 것으로 힘을 모델링하는 것은 불가능합니다. 이것은 종종 미세-상태(microstates)의 거시적 통계적 평균에서 발생하는 힘을 산출하는 거시-물리적 고려 사항에 기인입니다. 예를 들어, 마찰은 원자 사이의 수많은 전기-정적 퍼텐셜의 그래디언트로 인해 발생하지만, 임의의 거시적 위치 벡터와 독립적인 힘 모델로 나타납니다. 마찰 이외의 비-보존적 힘은 기타 접촉력(contact forces), 장력(tension), 압축(compression), 및 항력(drag)을 포함합니다. 임의의 충분하게 자세한 설명을 위해, 이들 거시적 힘 각각은 미시적 퍼텐셜의 그래디언트의 최종 결과이기 때문에 모든 이들 힘은 보수적 힘의 결과입니다.

거시적 비보존적 힘과 미시적 보존 힘 사이의 연결은 통계적 역학(statistical mechanics)을 갖는 상세한 처리로 설명됩니다. 거시적 닫힌 시스템에서, 비-보존적 힘은 시스템의 내부 에너지(internal energies)를 변경하기 위해 작용하고, 종종 열 전달과 결합됩니다. 열역학의 두 번째 법칙(Second law of thermodynamics)에 따르면, 비-보존적 힘은 엔트로피(entropy)가 증가함에 따라 닫힌 시스템 내에서 순서화된 상태에서 보다 무작위적인 상태로 에너지 변환을 필연적으로 초래합니다.

Units of measurement

힘의 SI 단위는 뉴턴 (기호 N)이며, 이는 1킬로그램의 질량을 1제곱 미터당 1미터 또는 kg·m·s⁻²의 율로 가속하기 위해 필요한 힘입니다. 해당 CGS 단위는 다인(dyne)으로, 1그램의 질량을 제곱 초당 1센티미터 또는 g·cm·s⁻²만큼 가속하기 위해 필요한 힘입니다. 따라서 1뉴턴은 100,000 다인과 같습니다.

중력 피트-파운드-초(foot-pound-second) 힘의 영국식 단위(English unit)는 9.80665 m·s⁻²의 표준 중력(standard gravitational) 필드에서 파운드-질량(pound-mass)에 중력이 가하는 힘으로 정의되는 파운드-힘(pound-force, lbf)입니다. 파운드-힘은 대안적인 질량의 단위를 제공합니다: 1슬러그(slug)는 1파운드-힘이 작용할 때 제곱 초당 1피트씩 가속되는 질량입니다.

다른 피트-파운드-초 시스템, 절대 fps 시스템에서 대안적인 힘의 단위는 파운달(poundal)이며, 이는 제곱 초당 1피트의 율에서 1-파운드 질량을 가속하기 위해 필요한 힘으로 정의됩니다. 슬러그(slug)와 파운달(poundal)의 단위는 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's Second Law)에서 비례 상수를 피하기 위해 설계되었습니다.

파운드-힘은 뉴턴보다 덜 공통적으로 사용되는 메트릭 짝을 가집니다: 킬로그램-힘(kilogram-force, kgf) (때로는 킬로폰드)은 표준 중력에 의해 1kg의 질량에 가하는 힘입니다. 킬로그램-힘은 대안이지만, 거의 사용되지 않는 질량의 단위로 이어집니다: 메트릭 슬러그(metric slug, 때로는 mug 또는 hyl)는 1 kgf의 힘을 받을 때 1 m·s⁻²에서 가속되는 질량입니다. 킬로그램-힘은 최신 SI 시스템의 일부가 아니고, 일반적으로 더 이상 사용되지 않고, 때때로 항공기 중량, 제트 추진력, 자전거 스포크 장력, 토크 렌치 설정, 및 엔진 출력 토크를 표현하는 데 사용됩니다. 다른 신비한 단위는 1000 N과 동등한 스테네(sthène)와 1000 lbf와 동등한 킵(kip)을 포함합니다.

Units of force

	newton (SI unit)	dyne	kilogram-force, kilopond	pound-force	poundal
1 N	≡ 1 kg⋅m/s2	= 105 dyn	≈ 0.10197 kp	≈ 0.22481 lbf	≈ 7.2330 pdl
1 dyn	= 10−5 N	≡ 1 g⋅cm/s2	≈ 1.0197 × 10−6 kp	≈ 2.2481 × 10−6 lbf	≈ 7.2330 × 10−5 pdl
1 kp	= 9.80665 N	= 980665 dyn	≡ gn ⋅ (1 kg)	≈ 2.2046 lbf	≈ 70.932 pdl
1 lbf	≈ 4.448222 N	≈ 444822 dyn	≈ 0.45359 kp	≡ gn ⋅ (1 lb)	≈ 32.174 pdl
1 pdl	≈ 0.138255 N	≈ 13825 dyn	≈ 0.014098 kp	≈ 0.031081 lbf	≡ 1 lb⋅ft/s2
The value of gn as used in the official definition of the kilogram-force is used here for all gravitational units.

역시 톤-힘(Ton-force)을 참조하십시오.

Force measurement

See force gauge, spring scale, load cell

See also

• Orders of magnitude (force)
• Parallel force system

External links

• Video lecture on Newton's three laws by Walter Lewin from MIT OpenCourseWare
• A Java simulation on vector addition of forces
• Force demonstrated as any influence on an object that changes the object's shape or motion (video)