Fundamental theorem of algebra

Original article: w:Fundamental theorem of algebra

Not to be confused with Fundamental theorem of arithmetic.

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는, 역시 달랑베르의 정리(d'Alembert's theorem) 또는 달랑베르-가우스 정리(d'Alembert-Gauss theorem)로 알려져 있으며, 복소(complex) 계수(coefficient)를 갖는 모든 각 비-상수(constant) 단일-변수 다항식(polynomial)이 적어도 하나의 복소수 근(root)을 가진다고 말합니다. 이것은 실수 계수를 가진 다항식을 포함하는데, 왜냐하면 모든 각 실수는 그것의 허수 부분(imaginary part)에 영의 값을 갖는 복소수이기 때문입니다.

동등하게 (정의에 의해), 그 정리는 복소수(complex number)의 필드(field)가 대수적으로 닫혀 있음(algebraically closed)을 말합니다.

그 정리는 역시 다음과 같이 역시 말합니다: 복소 계수를 갖는 모든 각 비-영, 단일-변수, 차수(degree) n 다항식은, 중복도(multiplicity)를 세어서, 정확히 n 복소 근을 가집니다. 두 명제의 동등성은 연속적인 다항식 나눗셈(polynomial division)의 사용을 통해 입증될 수 있습니다.

그것의 이름에도 불구하고, 그 정리의 순수하게 대수적 증명은 없는데, 왜냐하면 임의의 증명은 대수적 개념이 아닌 실수의 해석적 완전성(completeness)의 어떤 형식을 반드시 사용하기 때문입니다. 추가적으로, 그것은 현대 대수학(modern algebra)에서 기본적이지 않습니다; 그것의 이름은 대수학이 방정식의 이론(theory of equations)과 동의어였던 시절에 주어졌습니다.

History

피터 로스(Peter Roth)는, 그의 저서 Arithmetica Philosophica (요한 란첸베르거(Johann Lantzenberger)에 의해, 뉘른베르크(Nürnberg)에서 1608년에 출판됨)에서, (실수 계수를 갖는) 차수 n의 다항 방정식이 n 해를 가질 수 있다고 썼습니다. 알버트 지라드(Albert Girard)는, 그의 저서 L'invention nouvelle en l'Algèbre에서 (1629년에 출판됨), 차수 n의 다항 다항식이 n 해를 가질 수 있지만, 그는 그것들이 반드시 실수여야 한다고 말하지는 않았습니다. 게다가, 그는 자신의 주장이 "그 방정식이 불완전하지 않은 한" 유지된다는 것을 덧붙였으며, 그것에 의해 그는 계수가 0과 같지 않다는 것을 의미했습니다. 어쨌든, 그가 의미하는 바를 상세하게 설명할 때, 그는 자신의 주장이 항상 참이라고 실제로 믿는 것이 분명합니다; 예를 들어, 그는 방정식 $x^{4}=4x-3$이, 비록 불완전할지라도, (중복도를 세어서) 넷의 해: 1 (두번), $-1+i{\sqrt {2}},$ 및 $-1-i{\sqrt {2}}$를 가짐을 보입니다.

아래에서 다시 언급하겠지만, 실수 계수를 갖는 모든 각 비-상수 다항식은 그것의 차수가 1 또는 2인 실수 계수를 갖는 다항식의 곱으로 쓸 수 있다는 대수학의 기본 정리를 따릅니다. 어쨌든, 1702년에 라이프니츠(Leibniz)는 유형 x⁴ + a⁴ (a는 실수이고 0이 아닌)의 다항식은 그러한 방법에서 쓸 수 없다고 잘못된 주장을 했습니다. 나중에 니콜라우스 베르누이(Nikolaus Bernoulli)는 다항식 x⁴ − 4x³ + 2x² + 4x + 4에 관련하여 같은 주장을 했지만, 그는 1742년 오일러(Euler)로부터 편지를 받았으며, 그것에서 이 다항식이 $\alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}$을 가진 다음과 같음을 보였습니다:

$\left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),$

역시, 오일러는 다음임을 지적했습니다:

$x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).$

그 정리를 증명하기 위한 첫 번째 시도는 1746년 달랑베르(d'Alembert)에 의해 이루어졌지만, 그의 증명은 불완전했습니다. 다른 문제들 사이에서, 그것은 나중에 1세기 이상까지 입증될 수 없었고 대수학의 기본 정리를 사용하는 (지름 퓌죄의 정리(Puiseux's theorem)로 알려져 있는) 정리를 암시적으로 가정했었습니다. 다른 시도는 오일러(Euler) (1749), 데 폰세넥스(de Foncenex) (1759), 라그랑주(Lagrange) (1772), 및 라플라스(Laplace) (1795)에 의해 이루어졌습니다. 이들 마지막 네 번의 시도는 암시적으로 지라드의 주장을 가정했습니다; 더 정확하게 말하면, 해의 존재가 가정되었고 증명되어야 할 나머지 모두는 어떤 실수 a와 b에 대해 그들의 형식이 a + bi라는 것을 가정했던 것입니다. 현대 용어에서, 오일러, 데 폰세넥스, 라그랑주, 및 라플라스는 다항식 p(z)의 분해 필드(splitting field)의 존재를 가정했습니다.

18세기 말에서, 두 개의 새로운 증명이 근의 존재를 가정하지 않고 발표되었지만, 그것들 중 어떤 것도 완전하지 않았습니다. 제임스 우드(James Wood)에 기인하고 주로 대수적인, 그것들 중 하나는 1798년에 발표되었고 그것은 완전히 무시되었습니다. 우드의 증명은 대수적 갭(gap)을 가졌습니다. 나머지 다른 하나는 1799년 가우스(Gauss)에 의해 발표되었고 주로 기하학적이지만, 스메일(Smale) (1981)에서 논의된 것처럼, 1920년 알렉산더 오스트로우스키(Alexander Ostrowski)에 의해 채워진 토폴로지적 갭을 가졌습니다.

첫 번째 엄격한 증명은 1806년 아르강(Argand), 아마추어 수학자(amateur mathematician)에 의해 발표되었습니다 (그리고 1813년에 재검토되었습니다); 그것이 여기에 있는 것이며, 비로소, 대수학의 기본 정리는 단지 실수 계수가 아닌 복소 계수를 갖는 다항식에 대해 언급되었습니다. 가우스는 1816년에 다른 두 가지 증명을 만들었고 1849년에 그의 원래 증명의 또 다른 불완전한 버전을 만들었습니다.

그 정리의 증명을 포함하는 첫 번째 교과서는 코시(Cauchy)의 Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821)였습니다. 그것은, 비록 아르강(Argand)이 그것에 대해 공인되지 않았을지라도, 아르강의 증명을 포함했습니다.

지금까지 언급된 증명 중 어느 것도 구성적인(constructive) 것은 아닙니다. 19세기 중반에, 대수학의 기본 정리의 구성적 증명(constructive proof)을 찾는 문제를 처음으로 제기한 사람은 바이어슈트라스(Weierstrass)였습니다. 그는 1891년에 그의 해를 제시했으며, 현대 용어에서 호모토피 연속(homotopy continuation) 원리를 갖는 듀랜드–커너 방법의 조합(Durand–Kerner method)이었습니다. 이 종류의 또 다른 증명은 1940년 헬무트 크네저(Hellmuth Kneser)에 의해 얻어졌고 1981년에 그의 아들 마르틴 크네저(Martin Kneser)에 의해 단순화되었습니다.

셀-수-있는 선택(countable choice)을 사용없이, (셀-수-있는 선택없이 코시 실수에 구성적으로 동등하지 않는) 데데킨트 실수(Dedekind real numbers)를 기반으로 하는 복소수에 대해 대수학의 기본 정리를 구성적으로 입증하는 것이 가능하지 않습니다. 어쨌든, 프레드 리치만(Fred Richman)은 작동하는 재공식화된 버전의 정리를 입증했습니다.

Proofs

아래의 모든 증명은 일부 수학적 해석학(mathematical analysis), 또는 적어도 실수 또는 복소 함수의 연속성(continuity)의 토폴로지적(topological) 개념을 포함합니다. 일부는 역시 미분-가능(differentiable) 또는 심지어 해석적(analytic) 함수를 사용합니다. 이 사실은 대수학의 기본 정리가 기본적도 아니고, 대수학의 정리도 아니라는 지적으로 이어졌습니다.

그 정리의 일부 증명은 실수 계수를 갖는 임의의 비-상수 다항식이 어떤 복소수 근을 가진다는 오직 입증했습니다. 이것은 일반적인 경우에서 그 정리를 수립하기에 충분한데 왜냐하면, 복소 계수를 갖는 비-상수 다항식 p(z)가 주어지면, 다음 다항식이

$q(z)=p(z){\overline {p({\overline {z}})}}$

오직 실수 계수를 가지고, 만약 z가 q(z)의 영이면, z 또는 그것의 켤레가 p(z)의 근이기 때문입니다.

그 정리의 많은 비-대수적 증명은 지배 계수가 1인 n-차 다항 함수 p(z)가 |z|가 충분히 클 때 zⁿ처럼 행동한다는 사실을 사용합니다 (때때로 "성장 보조정리"라고 불립니다). 더 정확한 명제는 다음입니다: |z| > R일 때 다음을 만족하는 일부 양의 실수 R이 있습니다:

${\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|$.

Complex-analytic proofs

|z| ≥ r일 때마다 |p(z)| > |p(0)|를 만족하는 원점에 중심을 둔 반지름 r의 닫힌 디스크(disk) D를 찾습니다. D가 컴팩트(compact)이기 때문에 반드시 존재하는 D 위에 |p(z)|의 최솟값은 따라서 D의 내부에 있지만, 그것의 경계의 임의의 점에 있지 않는 일부 점 z₀에서 달성됩니다. 최대 모듈러스 원리(Maximum modulus principle) (1/p(z)에 적용됨)는 그때에 p(z₀) = 0임을 의미합니다. 다시 말해서, z₀는 p(z)의 하나의 영입니다.

이 증명의 변형은 최대 모듈러스 원리의 사용을 요구하지 않습니다 (사실, 약간의 변경을 갖는 같은 논증이 역시 정칙 함수에 대해 최대 모듈러스 원리의 증명을 제공합니다). 만약 우리가 모순에 의해 a := p(z₀) ≠ 0이라고 가정하면, p(z)를 z − z₀의 거듭제곱으로 확장하면 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

여기서, c_j는 단순히 다항식 z → p(z + z₀)의 계수이고, 우리는 k를 비-영인 상수 항 다음에 오는 첫 번째 계수의 인덱스라고 놓습니다. 그러나 이제 우리는 z₀에 충분하게 가까운 z에 대해, (확인하기 쉽기 때문에) 다음 함수가

$\left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|$

z₀의 일부 이웃에서 어떤 양의 상수 M에 의해 경계진다는 의미에서, 이것이 더 간단한 다항식 $q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}$과 점근적으로 유사한 행동을 가집니다. 그러므로, 만약 우리가 $\theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k$를 정의하고 $z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}$라고 놓으면, (위에 언급된 경계 M이 유지되도록) 임의의 충분하게 작은 양수 r에 대해, 삼각형 부등식을 사용하여 우리는 다음임을 압니다:

${\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}$

r이 0에 충분하게 가까울 때, |p(z)|에 대해 이 위쪽 경계는 z₀의 정의와 달리 |a|보다 엄격하게 작습니다. (기하학적으로. 우리는 만약 해당 방향에서 z₀에 접근하면 |p(z₀)|보다 절댓값에서 더 작은 p(z) 값을 얻을 수 있음을 만족하는 명시적 방향 θ₀을 발견합니다.)

또 다른 해석적 증명은, D 밖에서 |p(z)| > |p(0)|이기 때문에, 전체 복소 평면 위에 |p(z)|의 최솟값이 z₀에서 달성된다는 사고 관찰 방식을 따라 얻어질 수 있습니다. 만약 |p(z₀)| > 0이면, 1/p은 전체 복소 평면에서 경계진 정칙 함수(holomorphic function)인데 왜냐하면, 각 복소수 z에 대해, |1/p(z)| ≤ |1/p(z₀)|이기 때문입니다. 경계진 전체 함수가 상수여야 한다고 말하는 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 적용하면, 이것은 1/p이 상수이고 따라서 p가 상수임을 의미합니다. 이것은 모순을 제공하고, 따라서 p(z₀) = 0입니다.

아직 또 다른 해석적 증명은 편각 원리(argument principle)를 사용합니다. R을 p(z)의 모든 각 근이 R보다 더 작은 절댓값을 갖도록 충분하게 큰 양의 실수로 놓습니다; 그러한 숫자는 반드시 존재하는데 왜냐하면 차수 n의 모든 각 비-상수 다항 함수는 많아야 n 영들을 갖기 때문입니다. 각 r > R에 대해, 다음 숫자를 생각해 보십시오:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,$

여기서 c(r)는 반시계방향으로 방향화된 반지름 r을 갖는 0에 중심을 둔 원입니다; 그런-다음 편각 원리(argument principle)는 이 숫자가, r > R이기 때문에, p(z)의 영들의 총 숫자인 반지름 r을 갖는 0에 중심을 둔 열린 공에서 p(z)의 영들의 숫자 N이라고 말합니다. 다른 한편으로, c(r)를 따라 n/z의 적분을 2πi로 나눈 값은 n과 같습니다. 그러나, 두 숫자 사이의 차이는 다음입니다:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.$

적분되어질 유리 표현의 분자의 차수 많아야 n − 1을 가지고 분모의 차수는 n + 1입니다. 그러므로, 위의 숫자는 r → +∞일 때 0으로 경향입니다. 그러나 그 숫자는 역시 N − n과 같고 따라서 N = n입니다.

여전히 또 다른 복소-해석적 증명은 선형 대수(linear algebra)와 코시 정리(Cauchy theorem)를 결합함으로써 제공될 수 있습니다. 차수 n > 0의 모든 각 복소 다항식이 영을 가짐을 수립하기 위해, 크기 n > 0의 모든 각 복소 정사각 행렬(square matrix)이 (복소수) 고윳값(eigenvalue)을 가짐을 보여주는 것으로 충분합니다. 후자 명제의 증명은 모순에 의한(by contradiction) 것입니다.

A를 크기 n > 0의 복소 정사각 행렬로 놓고 I_n를 같은 크기의 단위 행렬로 놓습니다. A가 고윳값을 가지지 않음을 가정합니다. 다음 분해(resolvent) 함수를 생각해 보십시오:

$R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},$

이것은 행렬의 벡터 공간에서 값을 갖는 복소 평면 위에 유리형 함수(meromorphic function)입니다. A의 고윳값은 정확하게 R(z)의 극점입니다. A가, 가정에 의해, 고윳값을 가지지 않기 때문에, 함수 R(z)는 전체 함수(entire function)이고 코시 정리(Cauchy theorem)는 다음임을 의미합니다:

$\int _{c(r)}R(z)\,dz=0.$

다른 한편으로, 기하 급수로 확장된 R(z)는 다음을 제공합니다:

$R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot$

이 공식은 반지름 $\|A\|$ (A의 연산자 노름(operator norm))의 닫힌 디스크(disc) 밖에서 유효합니다. $r>\|A\|$라고 놓습니다. 그런-다음

$\int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}$

(이것에서 오직 피합수 k = 0가 비-영 적분을 가집니다). 이것은 하나의 모순이고, 따라서 A는 고윳값을 가집니다.

마지막으로, 루셰의 정리(Rouché's theorem)는 그 정리의 아마도 가장 짧은 증명을 제공합니다.

Topological proofs

전체 복소 평면 위에 |p(z)|의 최솟값은 z₀에서 달상됨을 가정합니다. 그러한 숫자가 반드시 존재한다는 리우빌의 정리를 사용하는 증명에서 알 수 있었습니다. 우리는 p(z)를 z − z₀에서 다항식으로 쓸 수 있습니다: 어떤 자연수 k가 있고 c_k ≠ 0와 다음을 만족하는 일부 복소수 c_k, c_k + 1, ..., c_n이 있습니다:

$p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.$

만약 p(z₀)가 비-영이면, 그것은 만약 a가 −p(z₀)/c_k의 k^번째 근이고 t가 양수이고 충분하게 작으면, 불가능한 것인 |p(z₀ + ta)| < |p(z₀)|인데, 왜냐하면 |p(z₀)|가 D에서 |p|의 최솟값임을 따릅니다.

또 다른 모순에 의한 토폴로지적 증명에 대해, 다항식 p(z)가 근을 가지지 않고, 결과적으로 결코 0과 같지 않음을 가정합니다. 다항식을 복소 평면에서 복소 평면으로의 맵으로 생각하십시오. 그것은 임의의 원 |z| = R을 닫힌 루프, 곡선 P(R)으로 매핑합니다. 우리는 R이 매우 크고 R = 0일 때 극단에서 P(R)의 감김 숫자(winding number)에 어떤 일이 발생하는지 고려할 것입니다. R이 충분하게 큰 숫자일 때, p(z)의 선행하는 항 zⁿ은 결합된 모든 다른 항을 지배합니다; 다시 말해서,

$\left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.$

z가 원 $Re^{i\theta }$를 반-시계방향으로 한 번 $(0\leq \theta \leq 2\pi )$ 선회할 때, $z^{n}=R^{n}e^{in\theta }$는 원점 (0,0) 주위로 반-시계방향으로 n번 $(0\leq \theta \leq 2\pi n)$ 감고, P(R)도 마찬가지입니다. 다른 극단에서, |z| = 0와 함께, 곡선 P(0)는 단일 점 p(0)일 뿐이며, p(z)는 결코 0이 아니므로 비-영이어야 합니다. 따라서 p(0)는 복소 평면에서 0을 나타내는 원점 (0,0)과 구별되어야 합니다. 원점 (0,0)을 중심으로 한 P(0)의 감김 숫자는 따라서 0입니다. 이제 R을 계속 변경하면 연속적으로 루프를 변형할 것입니다. 일부 R에서 감김 숫자는 변경되어야 합니다. 그러나 그것은 만약 곡선 P(R)이 일부 R에 대해 원점 (0,0)을 포함하면 오직 발생할 수 있습니다. 그러나 그때에 해당 원 |z| = R의 일부 z에 대해, 우리는 원래 가정과 모순되는 p(z) = 0을 가집니다. 그러므로, p(z)는 적어도 하나의 영을 가집니다.

Algebraic proofs

대수학의 기본 정리의 이들 증명은 대수적이지 않지만 오직 적은 양의 해석을 요구하는 실수에 대한 다음 두 가지 사실을 사용해야 합니다 (보다 정확하게, 경우 둘 다에서 사잇값 정리(intermediate value theorem)):

• 홀수 차수와 실수 계수를 갖는 모든 각 다항식은 일부 실수 근을 가집니다;
• 모든 각 비-음의 실수는 제곱근을 가집니다.

두 번째 사실은, 이차 공식(quadratic formula)과 함께, 실수 이차 다항식에 대해 그 정리를 의미합니다. 다시 말해서, 기본 정리의 대수적 증명은 실제로 만약 R이 임의의 실수-닫힌 필드(real-closed field)이면, 그것의 확장 C = R(√−1)는 대수적으로 닫힌 것임을 보입니다.

By Induction

위에서 언급했듯이, 그것은 "실수 계수를 갖는 모든 각 비-상수 다항식 p(z)는 복소수 근을 가집니다"라는 명제를 확인하는 것으로 충분합니다. 이 명제는 2^k가 p(z)의 차수 n을 나누는 것을 만족하는 가장 큰 비-음의 정수 k에 대한 귀납법에 의해 입증될 수 있습니다. a를 p(z)에서 zⁿ의 계수로 놓고 F를 C에 걸쳐 p(z)의 분할 필드(splitting field)라고 놓습니다; 다시 말해서, 필드 F는 C를 포함하고 다음을 만족하는 F에서 원소 z₁, z₂, ..., z_n이 있습니다:

$p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).$

만약 k = 0이면, n은 홀수이고, 그러므로 p(z)는 하나의 실수 근을 가집니다. 이제, (m 홀수와 k > 0를 갖는) n = 2^km이고 그 정리가 다항식의 차수가 m′ 홀수를 갖는 형식 2^k − 1m′를 가졌을 때 이미 입증되었다고 가정합니다. 실수 t에 대해, 다음을 정의합니다:

$q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).$

그런-다음 q_t(z)의 계수는 실수 계수를 갖는 z_i에서 대칭 다항식(symmetric polynomial)입니다. 그러므로, 그것들은 기본 대칭 다항식(elementary symmetric polynomial), 즉, −a₁, a₂, ..., (−1)ⁿa_n에서 실수 계수를 갖는 다항식으로 표현될 수 있습니다. 따라서 q_t(z)는 사실 실수 계수를 가집니다. 게다가, q_t(z)의 차수는 n(n − 1)/2 = 2^k−1m(n − 1)이고, m(n − 1)은 홀수입니다. 따라서, 귀납 가설을 사용하여, q_t는 적어도 하나의 복소 근을 가집니다; 다시 말해서, z_i + z_j + tz_iz_j는 {1, ..., n}에서 둘의 구별되는 원소 i와 j에 대해 복소수입니다. 쌍 (i, j)인 더 많은 실수가 있기 때문에, 우리는 (일부 i와 j에 대해) z_i + z_j + tz_iz_j와 z_i + z_j + sz_iz_j가 복소수임을 만족하는 구별되는 실수 t와 s를 찾을 수 있습니다. 따라서 z_i + z_j와 z_iz_j 둘 다는 복소수입니다. 모든 각 복소수가 복소 제곱근을 가지고, 따라서 차수 2의 모든 각 복소 다항식은 이차 공식에 의해 하나의 복소 근을 가짐을 확인하는 것은 쉽습니다. z_i와 z_j는 복소수인데, 왜냐하면 그것들은 이차 공식의 근 z² −  (z_i + z_j)z + z_iz_j이기 때문임을 따릅니다.

조셉 쉽맨(Joseph Shipman)은 2007년에 홀수 차수 다항식이 근을 가진다는 가정이 필요 이상으로 강력하다는 것을 보여주었습니다; 소수 차수의 다항식이 근을 가지는 임의의 필드는 대수적으로 닫힌 것입니다 (따라서 "홀수"는 "홀수 소수"로 대체될 수 있고 이것은 모든 특성의 필드에 유지됩니다). 대수적으로 닫힌 필드의 공리화에 대해, 만약 단일 소수가 제외되면 반대예제가 있기 때문에 이것이 가능한 최선입니다. 어쨌든, 이들 반대예제는 제곱근을 갖는 −1에 의존합니다. 만약 우리가 −1이 제곱근을 가지지 않는 필드를 취하고, 차수 n ∈ I의 모든 각 다항식이 하나의 근을 가지면, 여기서 I는 홀수의 임의의 고정된 무한 집합이며, 홀수 차수의 모든 각 다항식 f(x)는 하나의 근을 가집니다 (왜냐하면 (x² + 1)^kf(x)는 하나의 근을 가지기 때문이며, 여기서 k는 deg(f) + 2k ∈ I가 되도록 선택됩니다). 모센 알리아바디(Mohsen Aliabadi)는 2013년 쉽맨의 결과를 일반화했으며, (임의의 특성의) 임의적인 필드에 대해 대수학적으로 닫히기에 충분 조건은 그것이 소수 차수의 모든 각 다항식에 대해 하나의 근을 가진다는 독립적인 증명을 제공합니다.

From Galois Theory

기본 정리의 또 다른 대수적 증명은 갈루아 이론(Galois theory)을 사용하여 제공될 수 있습니다. C가 적절한 유한 필드 확장(field extension)을 가질 수 없음을 보여주는 것으로 충분합니다. K/C를 유한 확장으로 놓습니다. R에 걸쳐 K의 정규 클로저(normal closure)는 여전히 C (또는 R)에 걸쳐 유한 차수를 가지기 때문에, 우리는 일반성의 손실 없이(without loss of generality) K가 R의 정규 확장(normal extension)이라고 가정할 수 있습니다 (따라서 그것은 갈루아 확장(Galois extension)인데, 왜냐하면 특성(characteristic) 0의 필드의 모든 각 대수적 확장이 분리-가능(separable)이기 때문입니다). G를 이 확장의 갈루아 그룹(Galois group)이라고 놓고, H를 H의 차수(order)가 2의 거듭제곱이고, G에서 H의 인덱스(index)가 홀수가 되도록 G의 쉴로브(Sylow) 2 부분그룹이라고 놓습니다. 갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory)에 의해, Gal(K/L) = H를 만족하는 K/R의 부분확장 L이 존재합니다. [L:R] = [G:H]가 홀수이고, 홀수 차수의 비선형 기약 실수 다항식이 없으므로, 우리는 L = R를 가져야 하고, 따라서 [K:R]와 [K:C]는 2의 거듭제곱입니다. 모순의 방법에 의해 [K:C] > 1임을 가정하면, 우리는 2-그룹(2-group) Gal(K/C)가 인덱스 2의 부분그룹을 포함하고, 따라서 차수 2의 부분확장 M이 존재합니다. 어쨌든, C는 차수 2의 확장을 가지지 않는데, 왜냐하면 모든 각 이차 복소 다항식은 위에서 언급한 것처럼 하나의 복소수 근을 갖기 때문입니다. 이것은 [K:C] = 1이고, 따라서 K = C임을 보여주며, 이로써 증명이 완료됩니다.

Geometric proofs

J. M. Almira와 A. Romero로 기인한, 대수학의 기본 정리에 접근하는 여전히 또 다른 방법: 리만 기하학적(Riemannian geometric) 논증에 의한 것이 있습니다. 여기서 주요 아이디어는 영없는 비-상수 다항식 p(z)의 존재가 구 S²에 걸쳐 플랫 리만 메트릭(flat Riemannian metric)의 존재를 의미한다는 것을 입증하는 것입니다. 이것은 구가 평평하지 않기 때문에 모순으로 이어집니다.

리만 표면 (M, g)는 만약 K_g로 표시되는 가우스 곡률이 동일하게 널이면 플랫이라고 말합니다. 이제, 가우스–보네 정리(Gauss–Bonnet theorem)는, 구 S²에 적용될 때, 다음임을 주장합니다:

$\int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,$

이것은 그 구가 플랫이 아님을 입증합니다.

이제 n > 0과 각 복소수 z에 대해 다음임을 가정합니다:

$p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0$.

다음을 정의합니다:

$p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.$

분명하게, C에서 모든 z에 대해 p*(z) ≠ 0입니다. 다항식 f(z) = p(z)p*(z)을 생각해 보십시오. 그런-다음 C에서 각 z에 대해 f(z) ≠ 0입니다. 게다가,

$f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).$

우리는 이 함수형 방정식을 C에서 w에 대해 다음에 의해 제공된 것과

$g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}$

w ∈ S²\{0}에 대해 다음에 의해

$g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}$

제공된 g는 구 S²에 걸쳐 잘 정의된 리만 메트릭임을 입증하기 위해 사용할 수 있습니다 (이것은 우리가 확장된 복소 평면 C ∪ {∞}으로 식별합니다).

이제, 간단한 계산은 다음임을 보여주는데

$\forall w\in \mathbf {C} :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,$

왜냐하면 해석적 함수의 실수 부분은 조화이기 때문입니다. 이것은 K_g = 0임을 입증합니다.

Corollaries

대수학의 기본 정리는 복소수의 필드가 대수적으로 닫힌(algebraically closed) 것이라는 명제로 보일 수 있으므로, 대수적으로 닫힌 필드에 관한 임의의 정리는 복소수의 필드에 적용됩니다. 다음은 실수 필드 또는 실수의 필드와 복소수의 필드 사이의 관계에 대한 정리의 몇 가지 추가적인 결과입니다:

• 복소수의 필드는 실수의 필드의 대수적 클로저(algebraic closure)입니다.
• 복소 계수를 갖는 한 변수 z에서 모든 각 다항식은 복소 상수와 a 복소수를 갖는 형식 z + a의 다항식의 곱입니다.
• 실수 계수를 갖는 한 변수 x에서 모든 각 다항식은 상수, 실수 a를 갖는 형식 x + a의 다항식, 및 실수 a와 b와 a² − 4b < 0 (이것은 다항식 x² + ax + b가 실수 근을 가지지 않는다고 말하는 것과 같습니다)를 갖는 형식 x² + ax + b의 다항식의 곱으로 고유하게 쓸 수 있습니다. (아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)에 의해, 실수 a와 b는 반드시 다항식의 계수, 기본 산술 연산, 및 n-번째 근의 추출의 항으로 표현될 수 없습니다.) 이것은 비-실수 복소 근의 개수가 항상 짝수이고 심지어 그것들의 중복도를 세어질 때 유지됨을 의미합니다.
• 실수 계수를 갖는 하나의 변수 x에서 모든 각 유리 함수(rational function)는 형식 a/(x − b)ⁿ의 유리 함수 (여기서 n은 자연수이고, a와 b는 실수입니다), 및 형식 (ax + b)/(x² + cx + d)ⁿ의 유리 함수를 갖는 다항 함수의 합으로 쓸 수 있습니다 (여기서 n은 자연수이고, a, b, c, 및 d는 c² − 4d < 0를 만족하는 실수입니다). 이것의 따름정리(corollary)는 하나의 변수와 실수 계수에서 모든 각 유리 함수는 기본(elementary) 원시(primitive)를 가진다는 것입니다.
• 실수 필드의 모든 각 대수적 확장(algebraic extension)은 실수 필드로 또는 복소수 필드로 동형적입니다.

Bounds on the zeros of a polynomial

Main article: Properties of polynomial roots

대수학의 기본 정리는 일반적인 존재 결과를 말하지만, 주어진 다항식의 영들의 위치에 대한 정보를 갖는 것은. 이론적인 관점과 실제적인 관점 둘 다에서, 어느 정도 흥미로울 것입니다. 이 방향에서 더 간단한 결과는 모듈러에 대한 경계입니다: 일계수 다항식 $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$의 모든 영 ζ은 부등식 |ζ| ≤ R_∞을 만족시키며, 여기서

$R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.$

말했던 것처럼, 이것은 아직 존재 결과가 아니지만 선험(a priori) 경계라고 하는 것의 예제입니다: 그것은 만약 해가 있으면 그것들은 원점 중심과 반지름 R_∞의 닫힌 디스크 내부에 있다고 말합니다. 어쨌든, 일단 대수학의 기본 정리와 결합되면, 그것은 디스크는 실제로 적어도 하나의 해를 포함하고 있다고 말합니다. 보다 일반적으로, 경계는 계수 $a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1})$의 n-벡터의 임의의 p-노름(p-norm)의 관점에서 직접 제공될 수 있으며, 즉 |ζ| ≤ R_p, 여기서 R_p는 정확히 2-벡터 $(1,\|a\|_{p})$의 q-노름이며, q는 p의 켤레 지수, 임의의 1 ≤ p ≤ ∞에 대해 ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$입니다. 따라서, 임의의 해의 모듈러스는 역시 1 < p < ∞에 대해 다음에 의해 경계집니다:

$R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},$

$R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},$

그리고, 특히,

$R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}$

(여기서 우리는 a_n을 1을 의미하기 위해 정의하며, 1은 실제로 다항식의 n-번째 계수이기 때문에 합리적입니다). 차수 n의 일반 다항식의 경우는,

$P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},$

물론 모든 계수를 a_n ≠ 0으로 나누어서 일계수의 경우로 줄입니다. 역시, 0이 근이 아닌, 즉 a₀ ≠ 0이 경우에서, 근 ζ에서 아래로부터 경계는 ${\tfrac {1}{\zeta }}$, 즉 다음의 근에서 위로부터 경계로 즉시 따릅니다:

$a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.$

마지막으로, 근 ζ에서 임의의 점 $\zeta _{0}$까지의 거리 $|\zeta -\zeta _{0}|$는 아래와 위로부터 추정될 수 있으며, $\zeta -\zeta _{0}$를 다항식 $P(z+\zeta _{0})$의 영으로 보며, 그것의 계수는 $z=\zeta _{0}$에서 P(z)의 테일러 전개(Taylor expansion)입니다.

부등식 |ζ| ≤ R_p를 입증하기 위해, ζ를 다음 다항식의 근으로 놓고

$z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};$

우리는, 물론 |ζ| > 1라고 가정할 수 있습니다. 그 표현을 다음으로 쓰고

$-\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},$

횔더의 부등식(Hölder's inequality)을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다:

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.$

이제, 만약 p = 1이면, 이것은 다음입니다:

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},$

따라서

$|\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.$

경우 1 < p ≤ ∞에서, 기하 진행(geometric progression)에 대해 합 공식을 취하면, 우리는 다음을 가집니다:

$|\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},$

따라서

$|\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}$

그리고 단순화하면,

$|\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.$

그러므로, 다음은 모든 1 ≤ p ≤ ∞에 대해 유지됩니다:

$|\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}$.

See also

• Weierstrass factorization theorem, a generalization of the theorem to other entire functions
• Eilenberg–Niven theorem, a generalization of the theorem to polynomials with quaternionic coefficients and variables

References

Historic sources

• Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (published 1992), ISBN 978-2-87647-053-8 (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Euler, Leonhard (1751), "Recherches sur les racines imaginaires des équations", Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, pp. 222–288. English translation: Euler, Leonhard (1751), "Investigations on the Imaginary Roots of Equations" (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, vol. 5, Berlin, pp. 222–288
• Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
• Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, vol. Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31., p. 1, at Google Books – first proof.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56., p. 32, at Google Books – second proof.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64., p. 57, at Google Books – third proof.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103., p. 71, at Google Books – fourth proof.
• Kneser, Hellmuth (1940), "Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus", Mathematische Zeitschrift, vol. 46, pp. 287–302, doi:10.1007/BF01181442, ISSN 0025-5874, S2CID 120861330 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
• Kneser, Martin (1981), "Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra", Mathematische Zeitschrift, vol. 177, no. 2, pp. 285–287, doi:10.1007/BF01214206, ISSN 0025-5874, S2CID 122310417 (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
• Ostrowski, Alexander (1920), "Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra", Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
• Weierstraß, Karl (1891), "Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen", Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, pp. 1085–1101 (tr. New proof of the theorem that every integral rational function of one variable can be represented as a product of linear functions of the same variable).

Recent literature

• Almira, J.M.; Romero, A. (2007), "Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere", Bulletin of the Belgian Mathematical Society, vol. 14, pp. 341–342
• Almira, J.M.; Romero, A. (2012), "Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra" (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, vol. 14, pp. 1–4
• de Oliveira, O.R.B. (2011), "The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof", Mathematical Intelligencer, vol. 33, no. 2, pp. 1–2, doi:10.1007/s00283-011-9199-2, S2CID 5243991
• de Oliveira, O.R.B. (2012), "The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations", American Mathematical Monthly, vol. 119, no. 9, pp. 753–758, arXiv:1110.0165, doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753, S2CID 218548926
• Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356
• Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), "On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra", Proceedings of the AMS, vol. 103, no. 1, pp. 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574
• Gilain, Christian (1991), "Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral", Archive for History of Exact Sciences, vol. 42, no. 2, pp. 91–136, doi:10.1007/BF00496870, ISSN 0003-9519, S2CID 121468210 (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
• Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), "Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental", in Meyer, François; Molk, Jules (eds.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay (published 1992), ISBN 978-2-87647-101-6 (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
• Remmert, Reinhold (1991), "The Fundamental Theorem of Algebra", in Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (eds.), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2
• Shipman, Joseph (2007), "Improving the Fundamental Theorem of Algebra", Mathematical Intelligencer, vol. 29, no. 4, pp. 9–14, doi:10.1007/BF02986170, ISSN 0343-6993, S2CID 123089882
• Smale, Steve (1981), "The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 4 (1): 1–36, doi:10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 [3]
• Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, Dover, ISBN 978-0-486-64690-9
• Smithies, Frank (2000), "A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra", Notes & Records of the Royal Society, vol. 54, no. 3, pp. 333–341, doi:10.1098/rsnr.2000.0116, ISSN 0035-9149, S2CID 145593806
• Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra – English translation of Gauss's second proof.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, vol. I (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40624-4

External links

• Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics
• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs
• From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
• Gauss's first proof (in Latin) at Google Books
• Gauss's first proof (in Latin) at Google Books
• Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74