Abel–Ruffini theorem

Original article: w:Abel–Ruffini theorem

Not to be confused with Abel's theorem.

수학(mathematics)에서, 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem, 역시 아벨의 불가능성 정리(Abel's impossibility theorem)로 알려짐)는 임의적인 계수(coefficients)를 가진 차수 5(degree five) 또는 더 높은 차수의 일반적인 다항 방정식(polynomial equations)에 대한 제곱근에서 해(solution in radicals)가 없다고 말합니다. 여기서, 일반적인은 방정식의 계수가 불확정(indeterminates)으로 보이고 조작됨을 의미합니다.

그 정리는 1799년에 불완전한 증명을 만들었던 파올로 루피니(Paolo Ruffini)와 1824년에 증명을 제공했던 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)의 이름을 따서 지어졌습니다.

아벨–루피니 정리는 역시 제곱근에 의해 풀릴 수 없는 차수 5와 더 높은 차수의 방정식이 있다는 약간 더 강한 결과를 참조합니다. 이것은 아벨의 정리의 명제를 따르지 않지만, 그의 증명의 따름정리인데, 왜냐하면 그의 증명은 방정식의 계수에서 일부 다항식이 영 다항식이 아니라는 사실을 기반으로 하기 때문입니다. 이 개선된 명제는 Galois theory § A non-solvable quintic example에서 직접 나온 것입니다. 갈루아 이론은 역시 다음 방정식이 제곱근에서 해결될 수 없는 가장 간단한 방정식이지만, 차수 5와 더 높은 차수의 거의 모든(almost all) 방정식이 제곱근에서 풀릴 수 없음을 의미합니다:

$x^{5}-x-1=0$.

차수 5와 더 높은 차수에서 푸는 거의 불가능성은 더 낮은 차수의 경우와 대조됩니다: 우리는 차수 이, 삼, 및 사에 대해, 각각, 이차 공식(quadratic formula), 삼차 공식(cubic formula), 및 사차 공식(quartic formula)을 가집니니다.

Context

차수 2의 다항 방정식(polynomial equation)은 고대(antiquity)이래로 알려져 왔었던 이차 공식(quadratic formula)으로 풀릴 수 있습니다. 유사하게, 차수 삼에 대해 삼차 공식(cubic formula)과 차수 사에 대해 사차 공식(quartic formula)은 16세기 동안 발견되었습니다. 그 당시에 근본적인 문제는 더 높은 차수의 방정식이 비슷한 방법으로 풀릴 수 있는지 여부였습니다.

양의 차수의 모든 각 다항식이 해, 아마도 비-실수(non-real)를 가진다는 사실은 17세기 동안 주장되었지만, 오직 19세기 초에 완전하게 입증되었습니다. 이것이 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)입니다. 이 정리는 해를 정확하게 계산하는 것에 대한 임의의 도구를 제공하지 않지만, 뉴턴의 방법(Newton's method)은 임의의 원했던 정확도로 그것들을 근사화하는 것을 허용합니다.

16세기부터 19세기 초까지, 대수학의 주요 문제는 차수 5와 더 높은 차수의 다항 방정식의 해, 따라서 이름 "대수학의 기본 정리"에 대한 공식을 찾는 것이었습니다. 이것은 제곱근에서 해(solution in radicals), 즉, 방정식의 계수와 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division) 및 n번째 근 추출(nth root extraction)의 연산을 오직 포함하는 표현(expression)을 의미했습니다.

아벨–루피니 정리는 이것이 불가능하다는 것을 입증합니다. 어쨌든, 이것은 임의의 차수의 특정 방정식이 제곱근에서 풀릴 수 없다는 것을 의미하지는 않습니다. 반대로, 제곱근에서 풀릴 수 있는 임의의 차수의 방정식이 있습니다. 이것은 임의의 n에 대해 방정식 $x^{n}-1=0$와 모든 해가 제곱근에서 표현될 수 있는 원분 다항식(cyclotomic polynomial)에 의해 정의된 방정식의 경우입니다.

그 정리의 아벨의 증명은 제곱근에 의해 풀릴 수 없는 특정 방정식이 있다는 주장을 명시적으로 포함하지 않습니다. 그러한 주장은 그 정리의 아벨의 명제의 결과가 아닌데, 왜냐하면 "모든 각 특정 오차 방정식(quintic equation)이 각 방정식에 대한 특별한 공식과 함께, 풀릴 수 있다"는 가능성을 배제하지 않기 때문입니다. 어쨌든, 제곱근에서 풀릴 수 없는 특정 방정식의 존재는 아벨의 증명의 결론인 것으로 보이는데, 왜냐하면 증명은 계수에서 일부 다항식이 영 다항식이 아니고, 유한한 숫자의 다항식이 주어지면, 다항식의 어떤 것도 값 0을 취하지 않는 변수의 값이 있다는 사실을 사용합니다.

아벨의 증거의 그의 발표후에 곧, 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는, 임의의 주어진 방정식에 대해, 그것이 제곱근에서 풀릴 수 있는지 여부를 결정할 수 있는 이론, 지금 갈루아 이론(Galois theory)이라고 불리는 것을 도입했습니다 (이것은 이론적인데, 왜냐하면, 실제에서, 이 결정은 심지어 강력한 컴퓨터(computer)와 함께 어려울 수 있는 엄청난 계산이 필요할 수 있기 때문습니다.) 이 결정은 그것의 계수가 원래 다항식의 계수에 다항적으로 의존하는 분해(resolvents)라고 불리는 보조 다항식을 도입함으로써 행해집니다. 다항식이 제곱근에서 풀릴 수 있는 것과 일부 분해가 유리수(rational) 근을 갖는 것은 필요충분 조건입니다.

Proof

다음 증명은 갈루아 이론(Galois theory)을 기반으로 하고 특성(characteristic) 0의 임의의 필드에 대해 유효합니다. 역사적으로 루피니 및 아벨의 증명은 갈루아 이론보다 우선합니다. 아벨의 증명의 현대적 표시에 대해, 로젠(Rosen)의 기사 또는 티뇰(Tignol) 또는 페이식(Pesic)의 책을 참조하십시오.

갈루아 이론의 기본 정리의 하나는 다항식 $P(x)\in F\left[x\right]$이 $F$에 걸쳐 제곱근에 의해 풀릴 수 있는 것과 $F$에 걸쳐 그것의 분할 필드(splitting field) $K$가 해-가능(solvable) 갈루아 그룹(Galois group)을 가진다고 말하므로, 아벨–루피니 정리의 증명은 오차의 일반적인 다항식의 갈루아 그룹을 계산하고, 그것이 풀릴 수 없음을 보이는 것으로 귀결됩니다.

다섯 불확정(indeterminate) $y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$, 및 $y_{5}$를 생각해 보십시오. $E=\mathbf {Q} \left(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5}\right)$라고 놓고, 다음을 놓습니다:

$P(x)=\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{4}\right)\left(x-y_{5}\right)\in E[x]$.

$P(x)$를 전개하는 것은 $y_{i}$의 초등(elementary) 대칭 함수(symmetric function)를 산출합니다:

$s_{1}=y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_{5}$,

$s_{2}=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+y_{1}y_{4}+y_{1}y_{5}+y_{2}y_{3}+y_{2}y_{4}+y_{2}y_{5}+y_{3}y_{4}+y_{3}y_{5}+y_{4}y_{5}$,

$s_{3}=y_{1}y_{2}y_{3}+y_{1}y_{2}y_{4}+y_{1}y_{2}y_{5}+y_{1}y_{3}y_{4}+y_{1}y_{3}y_{5}+y_{1}y_{4}y_{5}+y_{2}y_{3}y_{4}+y_{2}y_{3}y_{5}+y_{2}y_{4}y_{5}+y_{3}y_{4}y_{5}$,

$s_{4}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}+y_{1}y_{2}y_{3}y_{5}+y_{1}y_{2}y_{4}y_{5}+y_{1}y_{3}y_{4}y_{5}+y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}$,

$s_{5}=y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}y_{5}$.

$P(x)$에서 $x^{n}$의 계수는 따라서 $(-1)^{5-n}s_{5-n}$입니다. $F=\mathbf {Q} (s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},s_{5})$를 초등 대칭 함수를 유리수로 인접함으로써 얻어진 필드로 놓습니다. 그런-다음 $P(x)\in F\left[x\right]$입니다. $y_{i}$들은 불확정이기 때문에, 5 문자 $S_{5}$에 대한 대칭 그룹에서 모든 각 순열 $\sigma$는 고정된 $\mathbf {Q}$를 남기고 원소 $y_{i}$를 순열하는 $E$에 대한 구별되는 자기-동형(automorphism) $\sigma '$를 유도합니다. 곱 형식의 근의 임의저인 재-정렬은 같은 다항식을 생성하며, 예를 들어, 다음은:

$\left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{5}\right)\left(x-y_{4}\right)$

다음과 같은 다항식이며,

$\left(x-y_{1}\right)\left(x-y_{2}\right)\left(x-y_{3}\right)\left(x-y_{4}\right)\left(x-y_{5}\right)$,

자기 동형 $\sigma '$는 역시 고정된 $F$를 남기므로, 그것들은 갈루아 그룹 $\operatorname {Gal} (E/F)$의 원소입니다. 그러므로, 우리는 $S_{5}\subseteq \operatorname {Gal} (E/F)$임을 보여야 합니다; 어쨌든 $S_{5}$ 안에 있지 않는 거기에는 자기-동형이 있을 수 있습니다. 그러나, 오차 다항식의 분할 필드의 갈루아 그룹은 많아야 $5!$를 가지기 때문이고, $E$가 $P(x)$의 분할 필드이기 때문에, $\operatorname {Gal} (E/F)$는 $S_{5}$에 동형(isomorphic)임을 따릅니다. 이 논증을 일반화하는것은 차수 $n$의 모든 각 일반적인 다항식의 갈루아 그룹이 $S_{n}$에 동형임을 보입니다.

오직 $S_{5}$의 합성 급수(composition series)가 $S_{5}\geq A_{5}\geq \lbrace e\rbrace$입니다 (여기서 $A_{5}$는 다섯 문자에 대한 교대하는 그룹(alternating group)이며, 역시 이십면체 그룹(icosahedral group)으로 알려져 있습니다). 어쨌든, 몫 그룹(quotient group) $A_{5}/\lbrace e\rbrace$ ($A_{5}$ 자체에 동형임)은 아벨(abelian)이 아니고, 따라서 $S_{5}$가 풀릴 수 없으므로, 그것은 오차의 일반적인 다항식이 제곱근에서 해가 없다는 것이어야 합니다. $n$ 문자에 대한 대칭 그룹의 첫 번째 비-자명한 정규 부분그룹(normal subgroup)은 항상 $n$ 문자에 대한 교대하는 그룹이기 때문이고, $n\geq 5$에 대해 $n$ 문자에 대한 교대하는 그룹은 항상 단순(simple)이고 비-아벨이고, 따라서 해-가능이 아님이기 때문에, 그것은 항상 오차보다 더 높은 모든 차수의 일반적인 다항식은 항상 제곱근에서 해를 가지지 않는다고 말합니다. Q.E.D.

오차 다항식에 대해 갈루아 그룹의 위의 구성은 오직 일반적인 다항식에 적용됩니다; 오차의 특정 다항식은 매우 다른 속성을 가진 다른 갈루아 그룹을 가질 수 있습니다. 예를 들어, $x^{5}-1$는 단위원의 원시 5번째 근(primitive 5th root of unity)에 의해 생성된 분할 필드이고, 따라서 그것의 갈루아 그룹은 아벨이고 제곱근에 의해 풀릴 수 있는 방정식 자체입니다; 게다가, 논증은 $S_{5}$ 또는 $A_{5}$를 그것의 갈루아 그룹으로 가지는 임의의 유리-값된 오차를 제공하지 않습니다. 어쨌든, 그 결과는 일반적인 다항식에 대한 것이기 때문이고, 그것은 계수의 관점에서 오직 산술 연산과 제곱근의 유한 조합을 사용하여 오차의 근에 대해 일반적인 "오차 공식"이 불가능한 것임을 말합니다.

그 증명은 만약 그것의 차수가 5보다 작은 다항식에 적용되면 유효하지 않습니다. 실제로:

• 그룹 $A_{4}$는 단순이 아닌데, 왜냐하면 부분그룹 $\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$은, 클라인 4-그룹(Klein four-group)에 동형이며, 정규 부분그룹입니다;
• 그룹 $A_{2}$와 $A_{3}$는 단순이지만, 그것들이 역시 아벨이기 때문에 ($A_{2}$는 자명한 그룹이고 $A_{3}$는 차수 3의 순환 그룹(cyclic group)입니다), 그것은 문제가 아닙니다.

증명은 만약, 다섯 불확정과 작동하는 대신에, 우리가 다섯 구체적인 대수적으로 독립(algebraically independent) 복소수와 작동하면, 유효하게 남는데, 왜냐하면, 같은 논증 $\operatorname {Gal} (E/F)=S_{5}$에 의한 것이기 때문입니다.

History

1770년경에서, 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)는 그 시점까지 방정식을 풀기 위해 사용되었던 많은 다른 트릭을 통합하는 기초-작업을 시작했으며, 이것을 라그랑주 분해(Lagrange resolvents)의 형식에서, 순열(permutation) 그룹의 이론과 관련시킵니다. 라그랑주에 의한 이 혁신적인 연구는 갈루아 이론의 전조였고, 오차와 더 높은 차수의 방정식에 대해 해를 개발에 대한 실패는 그러한 해가 불가능할 수 있음을 암시했지만, 그것이 결정적인 증명을 제공하지는 못했습니다. 제곱근에 의한 오차를 푸는 문제는 해결하는 것이 불가능하다고 추측했던 최초의 사람은 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)였으며, 그는 1798년에 그의 저서 Disquisitiones Arithmeticae (이것은 1801년에 오직 출판되었을 것임)의 섹션 359에서, "이 문제는 그것이 불가능을 제안하는만큼 현대의 해석학의 방법을 무시하지 않는 것은 의심할 여지가 없습니다"라고 썼습니다. 다음 해, 그의 논문(thesis)에서, 그는 "많은 기하학의 노력이 대수적으로 일반 방정식의 해결에 도달할 희망을 거의 남기지 않은 후, 이 해결이 불가능하고 모순될 가능성이 점점 더 나타납니다"라고 썼습니다. 그리고 그는 "아마도 오차에 대한 불가능성을 철저히 증명하는 것이 그렇게 어렵지 않을 것입니다. 나는 이것에 대한 나의 조사를 또 다른 곳에서 더 길게 발표할 것입니다"라고 덧붙였습니다. 사실, 가우스는 이 주제에 대해 아무것도 발표하지 않았습니다.

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

그 정리는 1799년에 파올로 루피니(Paolo Ruffini)에 의해 처음으로 거의 입증되었습니다. 그는 자신의 증명을 그것을 인정받기 위해 여러 수학자에게 보냈으며, 그중에는 라그랑주 (답장하지 않았음)와 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)가 그에게 다음 내용을 편지를 보냈습니다: "방정식의 일반적인 해에 대한 당신의 연구논문은 제가 항상 믿어 왔던 수학자들에 의해 염두에 두어야 했었고, 제 생각에는, 사차보다 더 높은 차수의 일반적인 방정식의 비-해-가능성을 결론적으로 입증하는 연구입니다." 어쨌든, 일반적으로, 루피니의 증명은 설득력있는 것으로 여겨지지 않았습니다. 아벨은 다음과 같이 썼습니다: "내가 착각하지 않았다면, 나 이전에, 일반적인 방정식의 대수적 해의 불가능성을 증명하기 위해 추구해 왔던 유일한 사람은 수학자 루피니입니다. 그러나 그의 연구논문은 너무 복잡해서 그의 논증의 타당성을 판단하는 것이 매우 어려웠습니다. 나에게 그의 논증은 완전하게 만족스럽지 않은 것으로 보입니다."

그 증명은 역시, 나중에 발견된 것처럼, 불완전한 것이었습니다. 루피니는 그가 다루었던 모든 제곱근이 단독으로 필드 연산을 사용하여 다항식의 근으로부터 포현될 수 있음을 가정했습니다; 현대 용어에서, 그는 제곱근이 다항식의 분할 필드에 속한다고 가정했습니다. 이것이 실제로 여분의 가정인 이유를 보이기 위해, 예를 들어, 다항식 $P(x)=x^{3}-15x-20$을 생각해 보십시오. 카르다노의 공식(Cardano's formula)에 따르면, 그것들의 근 중 하나 (실제로, 그것들의 전부)는 $10-5i$의 세제곱 근과 함께 $10+5i$의 세제곱 근의 합으로 표현될 수 있습니다. 다른 한편으로, $P(-3)<0$, $P(-2)>0$, $P(-1)<0$, 및 $P(5)>0$이기 때문에, $P(x)$의 근 $r_{1}$, $r_{2}$, 및 $r_{3}$는 모두 실수이고 따라서 필드 $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$는 $\mathbf {R}$의 부분필드입니다. 그러나 그때에 숫자 $10\pm 5i$는 $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$에 결코 속하지 않습니다. 코시는 루피니의 가정을 알아차리지 못했거나 그것이 부수적 가정이라고 느꼈을 것이지만, 대부분의 역사가들은 아벨이 자연적 비합리성에 대한 그 정리를 증명할 때까지 증명이 완전하지 않다고 믿으며, 이것은 그 가정이 일반적인 다항식의 경우에서 유지된다고 주장합니다. 아벨–루피니 정리는 따라서 일반적으로 1824년에 단지 여섯 페이지로 압축된 증명을 출판했던 아벨에게 귀속됩니다. (아벨은 종이와 돈을 절약하기 위해 매우 간결한 스타일을 채택했습니다: 그 증명은 그 자신의 자비로 인쇄되었습니다.) 더 정교한 버전의 증명이 1826년에 출판되었을 것입니다.

일반적인 오차 (및 더 높은 차수) 방정식이 제곱근에 의해 풀릴 수 없다는 것을 입증하는 것은 문제를 완전하게 해결하지는 못했는데, 왜냐하면 아벨–루피니 정리는 어떤 오차 (및 더 높은 차수) 방정식이 제곱근에 의해 풀릴 수 없는지 정확하게 말하는 것에 대한 필요충분 조건을 제공하지 못하기 때문입니다. 아벨은 1829년에 사망했을 때 완전한 특성화를 연구중이었습니다.

네이선 제이컵슨(Nathan Jacobson)에 따르면, "루피니와 아벨의 증명은 [...] 곧 이 연구의 선의 최고의 업적: 갈루아의 방정식의 이론에서 발견으로 대체되었습니다." 1830년에, 갈루아는 (당시에 18살) 파리 과학원(Paris Academy of Sciences)에 제곱근에 의한 해결-가능성의 그의 이론에 대한 연구논문을 제출했는데, 이것은 궁극적으로 1831년에 너무 개략적이고 그것의 계수 대신에 방정식의 근의 관점에서 조건을 부여한 것으로 거부되었습니다. 갈루아는 루피니와 아벨의 공헌을 인식하고 있었는데, 왜냐하면 그가 "오늘날 차수 4보다 더 큰 차수의 일반적인 방정식은 제곱근에 의해 풀릴 수 없다는 것이 공통적인 진실입니다... 이 진실은 (소문에 의해) 기하학이 아벨과 루피니의 증명을 무시해 왔다는 사실에도 불구하고 공통으로 되어 왔습니다..." 갈루아는 1832년에 사망할 당시에 그의 논문 Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux은 1846년까지 출판되지 않고 남겨져 있었으며, 그것은 조제프 리우빌(Joseph Liouville)에 의해 그 자신의 몇 가지 설명과 함께 출판되었습니다. 이 출판에 앞서, 리우빌은 1843년 7월 4일 연설에서 갈루아의 결과를 과학원에 발표했다고 말했습니다. 아벨의 증명의 단순화는 1845년에 피에르 방첼(Pierre Wantzel)에 의해 출판되었습니다. 그가 그것을 출판했을 때, 그는 갈루아에 의한 공헌을 이미 알고 있었고 아벨의 증명은 오직 일반적인 다항식에 유효하지만, 갈루아의 접근 방식은 그것의 근이 그것의 계수로부터 제곱근에서 표현될 수 없는 차수 5의 구체적인 다항식을 제공하기 위해 사용될 수 있다고 언급했습니다.

1963년에, 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)는 아벨–푸리니 정리의 토폴로지적 증명(topological proof)을 발견했으며, 이것은 토폴로지적 갈루아 이론(topological Galois theory)의 출발점 역할을 합니다.