Glide reflection
이-차원 기하학(geometry)에서, 미끄러짐 반사 (glide reflection 또는 이동-반사(transflection))는 한 직선에 걸쳐 반사(reflection)하고 그런-다음 해당 직선을 따라 평행이동(translation)으로 구성하는, 단일 연산으로 결합된 대칭 연산(symmetry operation)입니다. 반사와 평행이동 사이의 중간 단계는 시작 구성과 다르게 보일 수 있으므로, 미끄러짐 대칭을 가진 대상은 일반적으로 반사 단독으로 대칭이 아닙니다. 그룹 이론(group theory)에서, 미끄러짐 평면(glide plane)은 유클리드 평면(Euclidean plane)의 반대 등거리변환(opposite isometry)의 유형으로 분류됩니다.
단일 미끄러짐은 프리즈 그룹(frieze group) p11g으로 표시됩니다. 미끄러짐 반사는 극한하는 회전반사(rotoreflection)로 보일 수 있으며, 여기서 회전은 평행이동이 됩니다. 역시 S2∞로 쇤플리스 표기법(Schoenflies notation), [∞+,2+]로 콕서터 표기법(Coxeter notation), ∞×로 오비폴드 표기법(orbifold notation)이 제공될 수 있습니다.
Description
직선에서 반사와 수직 방향에서 평행이동의 조합은 평행선에서 반사입니다. 어쨌든, 미끄러짐 반사는 그렇게 축소될 수 없습니다. 따라서 임의의 평행이독과 결합된 반사의 효과는 미끄러짐 반사이며, 특별한 경우에는 단지 반사만 있습니다. 이것들은 2D에서 두 가지 종류의 간접 등거리-변환입니다.
예를 들어, x-축에 대한 반사와 그에 평행한 일 단위의 평행이동으로 구성된 등거리-변환이 있습니다. 좌표에서, 그것은 다음을 취합니다:
- (x, y) → (x + 1, −y).
이 등거리변환은 x-축을 자신으로 매핑합니다; x-축에 평행한 임의의 다른 직선은 x-축에서 반사되므로, 평행 직선의 이 시스템은 불변으로 남겨집니다.
단지 미끄러짐 반사에 의해 생성된 등거리-변환 그룹(isometry group)은 무한 순환 그룹(cyclic group)입니다.[1]
두 개의 같은 미끄러짐 반사를 결합하면 글라이드 반사의 두 배인 평행이동 벡터로 순수한 평행이동을 제공하므로, 미끄러짐 반사의 짝수 거듭제곱은 평행이동 그룹을 형성합니다.
미끄러짐 반사 대칭의 경우에서, 대상의 대칭 그룹(symmetry group)은 미끄러짐 반사를 포함하고, 따라서 이에 의해 생성된 그룹입니다. 만약 그것이 그레 포함하는 전부라면, 이 유형은 프리즈 그룹(frieze group) p11g입니다.
이 대칭 그룹을 갖는 예제 패턴:
프리즈 그룹 nr. 6 (미끄러짐-반사, 평행이동 및 회전)은 미끄러짐 반사와 반사의 직선 위의 한 점에 대한 회전에 의해 생성됩니다. 그것은 Z와 C2의 반-직접 곱(semi-direct product)에 등거리변환적입니다.
이 대칭 그룹을 갖는 예제 패턴:
실생활에서 미끄러짐 반사의 전형적인 예제는 해변을 걷는 사람이 모래에 남긴 발자국의 흔적일 것입니다.
일부 미끄러짐 반사 대칭을 포함하는 임의의 대칭 그룹에 대해, 임의의 미끄러짐 반사의 평행이동 벡터는 평행이동 그룹의 원소의 절반입니다. 만약 미끄러짐 반사의 평행이동 벡터 자체가 평행이동 그룹의 원소이면, 해당하는 미끄러짐 반사 대칭은 반사 대칭(reflection symmetry)과 평행이동 대칭(translational symmetry)의 조합으로 축소됩니다.
같은 평행이동을 갖는 두 평행선에 관한 미끄러짐 반사 대칭은 이들 직선에 수직인 방향에서 평행이동 대칭이 있음을 의미하며, 평행이동 거리는 미끄러짐 반사 직선 사이 거리의 두 배입니다. 이것은 벽지 그룹(wallpaper group) pg에 해당합니다; 추가 대칭으로 역시 pmg, pgg, 및 p4g에서도 발생합니다.
만약 같은 방향에서 실제 반사 직선도 있으면, 그것들은 미끄러짐 반사 직선 사이에 균일한 간격이 있습니다. 실제 반사 직선에 평행한 미끄러짐 반사 직선은 이미 이러한 상황을 암시합니다. 이것은 벽지 그룹 cm에 해당합니다. 평행이동 대칭은 실제 반사 직선 위의 한 점에서 다음 직선 위의 두 점으로의 비스듬한 평행이동 벡터에 의해 제공되며, 대각선 중 하나로 실제 반사 직선을 갖는 마름모(rhombus)를 지원합니다. 추가 대칭과 함께, 그것은 역시 cmm, p3m1, p31m, p4m, 및 p6m에서도 발생합니다.
3D에서 미끄러짐 반사는 미끄러짐 평면(glide plane)이라고 합니다. 그것은 평면에 평행한 평행이동과 결합된 평면에서 반사입니다.
Wallpaper groups
유클리드 평면(Euclidean plane)에서, 17의 벽지 그룹(wallpaper group) 중 3은 미끄러짐 반사 생성기를 요구합니다. p2gg는 직교 미끄러짐 반사와 2-겹 회전을 가집니다. cm은 평행한 거울과 미끄러짐을 가지고, pg는 평행한 미끄러짐을 가집니다. (미끄러짐 반사는 아래에 점선으로 표시됩니다)
| 결정학적 이름 | pgg | cm | pg |
|---|---|---|---|
| 콘웨이 이름 | 22× | *× | ×× |
| 다이어그램 | 
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| 예제 | 
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Glide reflection in nature and games
미끄러짐 대칭은 에디아카라 생물군(Ediacara biota)의 특정 화석: machaeridians; 및 특정 palaeoscolecid 벌레에서 자연적으로 관찰될 수 있습니다.[2] 그것은 역시 현존하는 많은 바다 펜스(sea pen) 그룹에서 볼 수 있습니다.[3]
미끄러짐 반사는 Conway's Game of Life에서 Gun (cellular automaton)을 생산할 때 공통적입니다.
See also
- Screw axis, glide plane for the corresponding 3D symmetry operations
References
- ^ Martin, George E. (1982), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 64, ISBN 9780387906362.
- ^ Waggoner, B. M. (1996). "Phylogenetic Hypotheses of the Relationships of Arthropods to Precambrian and Cambrian Problematic Fossil Taxa". Systematic Biology. 45 (2): 190–222. doi:10.2307/2413615. JSTOR 2413615.
- ^ Zubi, Teresa (2016-01-02). "Octocorals (Stoloniferans, soft corals, sea fans, gorgonians, sea pens) - Starfish Photos - Achtstrahlige Korallen (Röhrenkorallen, Weichkorallen, Hornkoralllen, Seefedern, Fächerkorallen)". starfish.ch. Retrieved 2016-09-08.
External links